文档内容
2.2 直线方程
【题组一 点斜式方程】
1．（2020·江苏建邺.高一期中）已知直线 过点 且与直线 垂直，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 与直线 垂直，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，故选B.
2．（2020·云南高一期末）过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为所求直线垂直于直线 ，又直线 的斜率为 ，
所以所求直线的斜率 ，所以直线方程为 ，即 .故选：A
3．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））过点A(3，3)且垂直于直线 的直线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点A(3，3)且垂直于直线 的直线斜率为 ，代入过的点得到 .
故答案为D.
4．（2020·全国高二单元测试）过点（1，-3）且平行于直线x+2y-3=0的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0，
∵直线过点（1，–3），代入x+2y+c=0可得1–6+c=0，解得c=5，
∴所求直线方程为x+2y+5=0，故选D．
【题组二 斜截式方程】
1．（2019·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中）直线 的斜率为 ，在 轴上的截
距为 ，则有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】由直线方程 化为斜截式： .可得斜率 ，在 轴上的截距为 .
故选：A.
2．（2018·新疆高二学业考试）直线 的斜率是 ，在 轴上的截矩是4，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意直线的斜率为-2，在 轴上的截距为4，则直线的斜截式方程为： .故选：C.
3．（2019·江苏昆山.高二期中）过点 且与直线 垂直的直线方程为__________.
【答案】
【解析】由题意直线 的斜率为 ，故所求直线的斜率 ，所以所求直线方程为 即 .故答案为： .
4．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考（文））过点 且垂直于直线 的直线方程为
______．
【答案】x－2y＋4＝0
【解析】直线2x+y–5=0的斜率为 ，所以所求直线斜率为 ，直线方程为 ，整理得
【题组三 两点式方程】
1．（2020·江苏省南通中学高一期中）若直线过点 和点 ，则该直线的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】（法一）因为直线过点 和点 ，
所以直线的方程为 ，整理得 ；
（法二）因为直线过点 和点 ，所以直线的斜率为 ，
所以直线的方程为 ，整理得 ；故选：A．
【题组四 截距式方程】
1．（2019·伊美区第二中学高二月考（理））设直线 在 轴上截距为 ，在 轴上的截距为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由直线 令 令 即 故选B
2．（2020·景东彝族自治县第一中学高一月考）过点 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有
多少条（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】当截距为0时，是直线 ,只有一条，
当截距大于0时，设截距分别为 则直线方程为 ，∵直线过点 ,
∴ ①，∵ ,∴ ,结合①可得， ,∴ ,
又∵ 为整数， ，
由①解得 , 为12的因数，
∴ ,对应 ,相应
对应的直线又有6条，上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D.
3．（2020·福建高三其他（文））“直线 在坐标轴上截距相等”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】由题知： ，由 得 ；由 得， .
因为在坐标轴上的截距相等，所以 ，解得 或 .
所以直线 在坐标轴上截距相等”是“ ”的必要不充分条件.故选：B.
4．（2020·黑龙江爱民牡丹江一中高一期末）经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即y=x；
当直线不过原点时，设直线的方程是： ，把点M（1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是
x+y=2．
综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2故选C.
5．（2020·定远县育才学校高一期末）已知m≠0，直线ax+3my+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2，则直
线的斜率为( )
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】令x=0，得y=- ，令y=0，得x=-2，因为在两坐标轴上的截距之和为2，所以- +(-2)=2，所
以a=-6m，原直线化为-6mx+3my-12m=0，所以k=2,故选D.
【题组五 一般式方程】
1．（2019·四川德阳.高一期末（理））已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求
（1）过点A且平行于BC边的直线的方程；
（2）BC边的中线所在直线的方程．
【答案】（1）3x﹣4y﹣19＝0（2）7x﹣y﹣11＝0【解析】（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0），故BC的斜率为 ，
故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4 （x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝0．
（2）BC的中点为D（2，3），由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为 ，
即7x﹣y﹣11＝0．
2．（2020·赤峰二中高一月考（文））已知 的三个顶点坐标分别为 .
（1）求边 上的中线所在直线的一般式方程；
（2）求边 上的高所在直线的一般式方程.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵ ,∴ 的中点为 ,
∴边 的中线 的斜率为 ,
∴边 上的中线 的一般式方程为
（2）∵ ,∴ ,
故边 上的高所在直线斜率为 ,
由点斜式得 ,
∴边 上的高所在直线的一般式方程为
3．（2020·江苏江阴。高一期中）已知直线 过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上截距的两倍，则直线 的方程为____
【答案】 或
【解析】若 在坐标轴的截距均为 ，即 过原点，满足题意
此时 方程为： ，即
当 在坐标轴截距不为 时，设其在 轴截距为
则 方程为： ，代入 ，解得：
方程为：
综上，直线 方程为： 或
本题正确结果： 或
【题组六 直线方程综合运用】
1．（2020·四川金牛.成都外国语学校高一期末（理））已知直线 恒过定点A，点A也在
直线 上，其中 均为正数，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】 变形为 ，所以过定点 ，代入直线得
，当且仅当 时等号成立，取得最小值
8
2．（2020·景东彝族自治县第一中学高一月考）已知实数 满足 ，则直线 必过定点，这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵a+2b=1，∴a=1-2b.∵直线ax+3y+b=0，∴(1-2b)x+3y+b=0，即b(1-2x)+(x+3y)=0.
∴直线必过点 .本题选择D选项.
3．（2020·包头市田家炳中学高二期中）直线 ,当 变动时,所有直线都通过定点______.
【答案】(3,1)
【解析】由 ,得 ,
对于任意 ,式子恒成立,则有 ,解出 ,故答案为:(3,1).
4．（2020·吉林长春.高一期中）直线 必过定点，该定点为 ．
【答案】（2、3）
【解析】 变形为 ，令 得定点
5．（2019·山东省北镇中学高一期末）设直线 的方程为 .
(1)若 在两坐标轴上的截距相等,求 的方程;
(2)若 不经过第二象限,求实数 的取值范围;
(3)若 与 轴正半轴的交点为 ,与 轴负半轴的交点为 ,求 ( 为坐标原点)面积的最小值.
【答案】(1) 或 ;(2) ；(3)6.
【解析】(1)若 ,解得 ,化为 .若 ,解得 ,可得直线 的方程为: .
综上所述，直线 的方程为 或 .
(2) ,
∵ 不经过第二象限,∴ ,解得 .
∴实数 的取值范围是 .
(3)令 ,解得 ,解得 ;
令 ,解得 ,解得 或 .
因此 ,解得 .
∴
,
当且仅当 时取等号.
∴ ( 为坐标原点)面积的最小值是6.
6．（2019·浙江温州.高二期中）已知直线 ： （ ）.
（1）若直线 不经过第四象限，求 的取值范围；
（2）若直线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 ， 为坐标原点，设 的面积为 ，求
的最小值及此时直线 的方程.【答案】（1） ；（2） ，直线 ：
【解析】（1）由题意，直线 ： ，即 ，
因为直线 不经过第四象限，所以 ，解得 ；
（2）由题意知， ，
当 时， ，即点 ，
当 时， ，即点 ，
所以 ， ，
所以 的面积 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值 ，
时，直线 ： .
