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5.1.1 5.1.2 第二课时 导数的几何意义
[A级 基础巩固]
1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
解析：选B 由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．
2．设f(x)存在导函数，且满足Δx→0＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选B Δx→0
＝Δx→0＝f′(1)＝－1.
3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1 B.
C. D．－
解析：选B ∵y′＝Δx→0
＝Δx→0＝x2，
∴切线的斜率k＝y′| ＝1.
x＝1
∴切线的倾斜角为，故选B.
4．(多选)设P 为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P 处的切线平行于直线y＝4x－1，则P 点的坐标
0 0 0
为( )
A．(1,0) B．(2,8)C．(－1，－4) D．(－2，－12)
解析：选AC f′(x)＝lim
＝lim ＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P 处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P 处的导数值等于4.设P(x ，
0 0 0 0
y)，则有f′(x)＝3x＋1＝4，解得x＝±1，P 的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
0 0 0 0
5．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′＝Δx→0
＝Δx→0.
当Δx→0时，cos Δx→1，
∴f′＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
解析：∵y′| ＝Δx→0＝
x＝1
Δx→0＝Δx→0(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
答案：1
7．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，
f′(x)<0，故②符合．
答案：②
8．已知曲线 f(x)＝，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线 f(x)在交点处的切线方程为
________．
解析：由，得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，
得f′(x)＝Δx→0＝Δx→0＝，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
即x－2y＋1＝0.
答案：x－2y＋1＝0
9．已知抛物线y＝x2，直线x－y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最
短，设切点坐标为(x，x)，则y′|x＝x＝Δx→0＝2x＝1，所以x＝，所以切点坐标为，
0 0 0 0
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x，y)，
0 0
∵＝
＝(Δx)2＋(3x－2)Δx＋3x－4x.
0 0
∴Δx→0＝3x－4x，即f′(x)＝3x－4x，
0 0 0由导数的几何意义，得3x－4x＝4，
0
解得x＝－或x＝2.
0 0
∴切点的坐标为或(2,3)，
当切点为时，
有＝4×＋a，∴a＝，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
当a＝时，切点为；
当a＝－5时，切点为(2,3)．
[B级 综合运用]
11．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选D ∵y′| ＝Δx→0＝3，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′| ＝3，由条件知，3×＝－
x＝1 x＝1
1，∴＝－.
12.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．0f′(a
＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．
∴00，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值
为________．解析：由导数的定义，得f′(0)＝Δx→0
＝Δx→0＝Δx→0 (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
答案：2
14．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有
公共切线，求a，b的值．
解：∵f′(x)＝Δx→0＝Δx→0＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k＝2a.
1
∵g′(x)＝Δx→0＝Δx→0
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k＝3＋b.
2
∵在交点(1，c)处有公共切线，
∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
[C级 拓展探究]
15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实
数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝Δx→0＝Δx→0 (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x ，y)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x ＝2x ，由点斜式可得所求切线方程为y－y ＝2x(x－
0 0 0 0 0 0
x)．
0
又∵切线过点(1，a)，且y＝x＋1，
0∴a－(x＋1)＝2x(1－x)，
0 0
即x－2x＋a－1＝0.∵切线有两条，
0
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
