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第 3 章变量之间的关系（易错 30 题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•东阳市期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，
点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记
△APD的面积为y，若表示y与x函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2 B．4+2 C．12+4 D．6+4
【分析】由图象可知：面积最大时，S等于 ，再根据三角形的面积计算公式可得关于BC的
方程，解得BC的长，最后根据三角形三边关系可得AB和AC的长．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝ BC，AB＝2BC，
由图象可知：面积最大时，S＝S△ACD ＝ S△ABC ＝ AC×BC＝ ，
∴ • BC•BC＝ ，
解得BC＝2（负值舍去），
∴AC＝2 ，AB＝4，
∴△ABC的周长为2+4+2 ＝6+2 ，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握三角形的面积计算公式与勾
股定理是解题的关键．
2．（2021秋•淮安期末）小明晚饭后出门散步，行走的路线如图所示，则小明离家的距离h与散
步时间t之间的函数关系可能是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可．
【解答】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他
走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意．
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从
中获取准确的信息．
3．（2021秋•沙坪坝区期末）已知甲、乙两地相距720米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，
图中分别表示甲、乙两人离B地的距离y（单位：米），下列说法正确的是（ ）
A．乙先走5分钟
B．甲的速度比乙的速度快
C．12分钟时，甲乙相距160米
D．甲比乙先到2分钟
【分析】根据图象可判断选项A、D，根据题意结合图象分别求出甲乙两人的速度，进而判断
选项B、C．
【解答】解：A．由图象可知，甲先走5分钟，故本选项不合题意；
B．甲的速度为：720÷12＝60（米/分），乙的速度为：720÷（14﹣5）＝80（米/分），60＜80，
故本选项不合题意；C．12分钟时，甲乙相距：80×（12﹣5）＝560（米），故本选项不合题意；
D．由图象可知，甲比乙先到2分钟，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解题的关键．
4．（2021秋•丹东期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC的中点，动点P从点C
出发沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如
图2所示，则AB的长为（ ）
A．10 B．12 C． D．
【分析】由图象可知：当x＝3时，S等于3，由此可得出CD的长，进而得出BC的长；当x
＝8时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得AC＝8，最后由勾股定理可
得结论．
【解答】解：由图象可知：当x＝3时，CP＝3，
S＝ •PC•CD＝3，即 •CD＝3，
解得CD＝2，
∵点D是BC的中点，
∴BC＝4，
当x＝8时，面积发生转折，此时点P和点A重合，
∴AC＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，
由勾股定理可得，AB＝2 ．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，
通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能
力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出AC和BC的长．
5．（2021秋•全椒县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A
出发，沿路径A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系
用图象表示大致是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据题意找到点P到达D、C前后的一般情况，列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意可知
当0≤x≤6时，y＝ •AD•AP＝ •4x＝2x，
当6≤x≤10时，y＝4×6﹣ ×4×2﹣ ×6（x﹣6）﹣ ×4（10﹣x）＝﹣x+18，
当10≤x≤14时，y＝ （14﹣x）＝28﹣2x．
根据函数解析式，可知D正确．
故选：D．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查列函数关系式以及函数图象性质，解答关
键是确定动点到达临界点前后的图形变化规律．
6．（2021秋•本溪期末）如图，在射线AM上顺次取两点B，C，以BC为边作长方形BCDE（长
方形的对边平行且相等），若AB＝BC＝1，BE＝CD＝2，点G在线段CD上（点G不与点C，
D重合），作射线AG交BE于点F，设BF＝x，DG＝y，则下列函数图象中，能反映y与x之
间大致关系的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据矩形的性质得到CF∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形BCDE是矩形，
∴BE∥CD，
∴△ABF∽△ACG，
∴ ，
∵AB＝BC＝1，BE＝CD＝2，
∴AC＝2，
∴ ，
∴CG＝2x，
∵CD＝2，
∴y＝2﹣2x（0＜x＜1），
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的还是图象，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的
理解题意是解题的关键．
7．（2021秋•西乡县期末）如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额y（元）与购买x（千
克）之间的函数图象如图所示，则一次性购买6千克．这种水果比平均分2次购买可节省（
）元．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题意分别求出当x≤4时购买的单价以及当x＞4时购买的单价，即可得出结论．
【解答】根据图象可知，当x≤4时，购买的单价为：20÷4＝5（元/千克），故平均分2次购
买需要：6×5＝30（元）；当x＞4时，前4千克需要20元，多于4千克部分的单价为：（44﹣20）÷（10﹣4）＝4
（元/千克），故一次性购买6千克需要：20+（6﹣4）×4＝28（元），
一次性购买可节省：30﹣28＝2（元），
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解题的关键．
8．（2021秋•庐阳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝0.6，AD＝0.8，P是射线CA上动点，
E在射线CA上，AC＝AE．点P从C点运动，设CP＝x，y＝BP2+DP2，则能反映y与x之间
函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】不妨设点P在线段AC上，如图，过点P作PM⊥BC于点M，过点P作PN⊥CD于
点N，可得PM∥AB，则根据平行线分线段成比例可用x表达出PM和CN，进而标识BM和
DN的值，再根据勾股定理可表示y，结合函数性质和选项可得结果．
【解答】解：不妨设点P在线段AC上，如图，过点P作PM⊥BC于点M，过点P作PN⊥CD
于点N，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵∠BCD＝90°，∴四边形PMCN是矩形，
∴PM＝CN，PN＝CM，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴PM∥AB，
∴PM：AB＝CM：BC＝PC：AC，
∵AB＝0.6，AD＝0.8，
∴AC＝1，
∴PM：0.6＝CM：0.8＝x：1，
∴PM＝CN＝0.6x，CM＝PN＝0.8x，
∴BM＝0.8﹣0.8x，DN＝0.6﹣0.6x，
∴BP2＝PM2+BM2＝（0.6x）2+（0.8﹣0.8x）2，DP2＝（0.8x）2+（0.6﹣0.6x）2，
∴y＝BP2+DP2＝2x2﹣2x+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ，与y轴的交点为（0，1）．
当点P在点A的上方时，可求得y＝BP2+DP2＝2x2﹣2x+1，同上．
故选：A．
【点评】本题属于动点问题的函数图象﹣二次函数图象，涉及平行线分线段成比例，矩形的
性质等知识，作出辅助线表达出BP2和DP2是解题关键．
9．（2021秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，E是△ABC
边上一动点，沿A→C→B的路径移动，过点E作ED⊥AB，垂足为D．设AD＝x，△ADE的
面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由勾股定理可得BC＝6，根据点E的运动，需要分段讨论：当点E在AC上时，0≤
≤8，即0≤x≤6.4，易证△ADE∽△ACB，由AD＝x，可得AE＝ ，DE＝ x；根据三角形面积公式得到；当点E在BC上时，6.4＜x≤10，根据三角形面积公式得到y与x的关系，
再结合选项判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
由勾股定理可得BC＝6，
根据点E的运动，需要分段讨论：
①当点E在AC上时，如图，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：DE：AE＝AC：BC：AB＝4：3：5，
∵AD＝x，
∴AE＝ ，DE＝ x；
此时0≤ ≤8，即0≤x≤6.4，
∴y＝ •x• x＝ x2；是开口向上的一段抛物线；排除A，B，
当点E在BC上时，6.4＜x≤10，如图，
∵∠BDE＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴DE：BD：BE＝AC：BC：AB＝4：3：5，
∵AD＝x，
∴BD＝10﹣x，∴
∴DE＝ （10﹣x），
∴y＝ • （10﹣x）•x＝﹣ x2+ x，开口向下的抛物线，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，
通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能
力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
10．（2021秋•长丰县期末）小明上午8：00从家里出发，跑步去他家附近的抗日纪念馆参加抗美援朝70周年纪念活动，然后从纪念馆原路返回家中，小明离家的路程y（米）和经过的时
间x（分）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．从小明家到纪念馆的路程是1800米
B．小明从家到纪念馆的平均速度为180米/分
C．小明在纪念馆停留45分钟
D．小明从纪念馆返回家中的平均速度为100米/分
【分析】仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，可对选项A、C作出判断；
根据“速度＝路程÷时间”，可对选项B作出判断；
根据小聪从超市返回家中的平均速度，求出小聪返回所用时间，可对选项D作出判断．
【解答】解：A．观察图象发现：从小明家到超市的路程是1800米，故本选项正确，不合题
意；
B．小明去超市共用了10分钟，行程1800米，速度为1800÷10＝180（米/分），故本选项正
确，不合题意；
C．小明在超市逗留了45﹣10＝35（分钟），故本选项错误，符合题意；
D．（1800﹣1300）÷（50﹣45）＝500÷5＝100（米/分），所以小明从超市返回的速度为100
米/分，故本选项正确，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•福田区期末）元旦期间，大兴商场搞优惠活动，其活动内容是：凡在本商场一次
性购买商品超过100元者，超过100元的部分按8折优惠．在此活动中，小明到该商场一次性
购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品数x（件）之间的关系式，化
简后的结果是 y ＝ 4 8 x +2 0 ．
【分析】应付款的钱数等于100元加上超过100元的按8折优惠后的钱即可解答．
【解答】解：由题意可得：
y＝100+0.8×（60x﹣100）
＝100+48x﹣80
＝48x+20，
故答案为：y＝48x+20．
【点评】本题考查了函数关系式，根据题意找出等量关系是解题的关键．
12．（2021秋•大丰区期末）如图1，△ABC中，AB＞AC，D是边BC上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线
段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝ ，即BD＝1时，AD＝ ，当x＝7时，y＝ ，
即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝ ，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以
点A为顶点腰长为 的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝ ，即BD＝1时，AD＝ ，
当x＝7时，y＝ ，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝ ，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为 的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝ ，CH＝DH＝ CD＝3，
∴AH＝2，
在Rt△ABH中，AB＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和
图形的对应关系，进而求解．
13．（2021秋•龙口市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，适当长为半径画弧，
交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在
第二象限交于点C，若点C的坐标为（x﹣2，2y），则y与x的函数关系式为 y ＝﹣
x +1 ．【分析】由题意可知点C第二象限的角平分线上，根据第二象限的角平分线上点的坐标特征
即可解答．
【解答】解：由题意可得：
2y＝﹣（x﹣2），
∴y＝﹣ x+1，
故答案为：y＝﹣ x+1．
【点评】本题考查了函数关系式，熟练掌握第二象限的角平分线上点的坐标特征是解题的关
键．
14．（2021秋•清城区期中）小明家离学校距离3千米，上学时小明骑自行车以10千米/小时速
度走了x小时，这时离学校还有y千米．写出y与x的函数表达式 y ＝ 3 ﹣ 1 0 x ．
【分析】理解题意，找到x，y的等量关系即可．
【解答】解：小明离学校的距离＝家校距离﹣骑行距离．
∴y＝3﹣10x．
故答案为：y＝3﹣10x．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，找到x，y的等量关系是求解本题的关键．
15．（2021•内乡县一模）如图，矩形ABCD中，AB＝ BC＝4，点P、Q分别是BC、AB上两动
点，将△PCD沿着DP对折得△PED，将△PBQ沿着PQ对折，使P、E、F三点在一直线上，
设BP的长度为x，AQ的长度为y，在点P的移动过程中，y与x的函数图象如图2，则函数图
象最低点的纵坐标为 ．
【分析】证明△QBP∽△PCD，则QB：PC＝PB：CD；BP＝x，PC＝6﹣x，QB＝4﹣y，依题
意可得：4（4﹣y）＝x（6﹣x），故y＝ （x﹣3）2+ （0≤x≤6），即可求解．【解答】解：由折叠性质可知∠DPQ＝90°，
∵∠BPQ+∠DPC＝∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠BPQ＝∠PDC，
又∵∠ABC＝∠BCD，
∴△QBP∽△PCD，
∴QB：PC＝PB：CD，
由AB＝ BC＝4，得BC＝6，
∵BP＝x，PC＝6﹣x，QB＝4﹣y，
依题意可得：4（4﹣y）＝x（6﹣x），整理得：y＝ （x﹣3）2+ （0≤x≤6），
∴函数的顶点为（3， ），即函数顶点的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、三角形相似、解直角三角形等知识，
此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
16．（2021春•寻乌县期末）小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，
小明购买了x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的函数关系式为 y ＝ 10 0 ﹣ 1. 5 x ．
【分析】根据剩余费用＝总金额﹣单价×数量解答即可．
【解答】解：由题意，得
y＝100﹣1.5x．
故答案为：y＝100﹣1.5x．
【点评】本题考查了函数关系式．能够正确利用剩余费用＝总金额﹣单价×数量列出关系式是
解题的关键．
17．（2021秋•开化县期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P从点C出发，沿三角形的
边以1cm/秒的速度顺时针运动一周，点P运动时线段CP的长度y（cm）随运动时间x（秒）
变化的关系如图2所示，若点M的坐标为（11，5），则点P运动一周所需要的时间为 2 4
秒．
【分析】图2中的图象有三段，正好对应图1中的线段CA，AB，BC，所以CA＝6，由点M的坐标为（11，5）可得，AC+AP＝11，CP＝5，过点P作PE⊥AC于点E，则
△AEP∽△ACB，由比例可得AB＝10，BC＝8，进而可得三角形ABC的周长，即可得出运动
时间．
【解答】解：图2中的图象有三段，正好对应图1中的线段CA，AB，BC，
由图象可得，CA＝6，
假设点P运动到如图所示位置，对应图2中的点M（11，5），
∴CA+AP＝11，CP＝5，
∴AP＝5，
过点P作PE⊥AC于点E，
∴∠AEP＝∠ACB＝90°，
∵AP＝CP，
∴点E是AC的中点，
∴AE＝CE＝3，
∴EP＝4，
又∵∠AEP＝∠ACB＝90°，
∴EP∥CB，
∴AE：AC＝AP：AB＝EP：BC，即3：6＝5：AB＝4：BC，
∴AB＝10，BC＝8，
∴△ABC的周长为：6+8+10＝24，
∴运动时间为24÷1＝24（s），
故答案为：24．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题关键是理解图2中的点M（11，5），在图1
中找到对应的位置求出△ABC的周长．
18．（2021秋•顺德区期末）一艘轮船装载2800吨货物，写出平均卸货速度v（单位：吨/天）与
卸货天数t之间的关系式为 v ＝ ．
【分析】根据题中等量关系直接列出函数关系式．
【解答】解：由题意得：2800＝vt．
∴v＝ ．故答案为：v＝ ．
【点评】本题考查求函数关系式，理解题意，找到等量关系是求解本题的关键．
19．（2021秋•大东区期末）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫
苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人
数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接
种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关
系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为 4 万人．
【分析】由接种速度＝接种人数÷接种天数解答出a的值，再利用待定系数法求解y关于x的
函数解析式．将x＝80代入上述解析式得出y＝36，然后由40﹣36＝4．
【解答】解：乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），
∴0.5a＝30﹣5，解得a＝50．
设y＝kx+b，将（50，30），（100，40）代入解析式得：
，
解得 ，
∴y＝ x+20（50≤x≤100）．
把x＝80代入y＝ x+20得y＝ ×80+20＝36，
∴40﹣36＝4（万人）．
故答案为：4．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．
20．（2021秋•姑苏区期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，
AB∥x轴，cosB＝ ．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，
沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系
如图②中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．以下说法正确的是 ③ ．（填序号）
①点Q的运动速度为3cm/s；
②点B的坐标为（9，18）；
③线段EF段的函数解析式为S＝ t；
④曲线FG段的函数解析式为S＝﹣ t2+9t；
⑤若△BPQ的面积是四边形OABC的面积的 ，则时间t＝ 或t＝ ．
【分析】结合函数图象得出当3秒时，BP＝3，此时△BPQ的面积为13.5cm2，进而求出AO
为9cm，即可得出Q点的速度，进而求出AB的长即可，进而判断①②；过点Q作QM⊥AB
于点M，根据三角形的面积公式可表达此时的S，进而判断③；画出图形可得出PB＝t，BQ
＝30﹣3t，则QM＝ （30﹣3t）＝18﹣ t，求出即可面积可判断④；首先得出△BPQ的面
积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断⑤．
【解答】解：由题意可得出：当3秒时，△BPQ的面积的函数关系式改变，则Q在AO上运
动3秒，
当3秒时，BP＝3，此时△BPQ的面积为13.5cm2，
∴AO为9cm，
∴点Q的运动速度为：9÷3＝3（cm/s），故①正确；
当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO＝6cm，
∵cosB＝ ，
∴可求出AB＝6+12＝18（cm），
∴B（18，9）；故②错误；当点Q在OC上时，如图，QM⊥AB于点M，
S＝ t•9＝ t，故③正确；
如图，PB＝t，BQ＝30﹣3t，过点Q作QM⊥AB于点M，
则QM＝ （30﹣3t）＝18﹣ t，
∴S△PBQ ＝ t（18﹣ t）＝﹣ t2+9t（5≤t≤10），
即曲线FG段的函数解析式为：S＝﹣ t2+9t；故④正确；
∵S梯形OABC ＝ （6+18）×9＝108，
∴S＝ ×108＝12，
当0＜t＜3时，S＝ t2，S＝12时，t＝2 或﹣2 （舍弃），
当5＜t＜10时，12＝﹣ t2+9t；
解得t＝ 或 （舍弃），
综上所述：t＝2 或t＝ ，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的 ．故⑤错．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解
析式等知识，具体的关键是学会以分类讨论的思想思考问题，学会理由方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
三．解答题（共7小题）
21．（2021春•大洼区月考）红星粮库需要把晾晒场上的1200t玉米入库封存，
（1）入库所需的时间d（单位：天）与入库平均速度v（单位：t/天）的函数关系是 d ＝
；
（2）已知粮库有60名职工晾晒，每天最多可入库300t玉米，预计玉米入库最快可在几天内
完成？
（3）60名职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全
部入库，则至少需要增加多少职工？
【分析】（1）根据题意可知入库所需时间d（天）与入库速度v（吨/天）的函数关系式为d＝
；
（2）直接把v＝300代入解析式求解即可；
（3）根据题意求出剩余的600吨玉米一天内全部入库需职工人数为120（名），所以需增加
的人数即可求出．
【解答】解：（1）入库所需时间d（天）与入库速度v（t/天）的函数关系式为d＝ ；
故答案为：d＝ ；
（2）当v＝300时，则有d＝ ＝4．所以预计玉米入库最快可在4日内完成；
（3）粮库的职工连续工作了两天后，还没有入库的玉米有：1200﹣300×2＝600（t）每名职
工每天可使玉米入库的数量为：300÷60＝5（t），
将剩余的600吨玉米一天内全部入库需职工人数为：600÷5＝120（名）．
所以需增加的人数为：120﹣60＝60（名）．
【点评】主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际
意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应
的函数值．
22．（2021春•榆阳区期末）张华上午8点骑自行车外出办事，中途休息了一会，之后赶到目的
地将事情办完回家，如图表示他离家的距离（千米）与所用时间（时）之间的函数图象．根
据图象回答下列问题：
（1）张华何时休息？休息了多少时间？这时离家多远？
（2）他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？
（3）目的地离家多远？【分析】（1）根据息的时候，时间增加而路程不再增加可得张华何时休息以及休息的时间，
此时的纵坐标就是离家的距离；
（2）由离家最远时，路程不再随时间的增加而增加，此时的横坐标就是到达目的地的时间，
再利用横坐标作差即可得出在那里逗留的时间；
（3）由离家最远时，路程不再随时间的增加而增加，此时的纵坐标就是目的地离家的路程．
【解答】解：（1）由题意，得张华何在9.5时开始休息，休息的时间为：10﹣9.5＝0.5（小
时），这时离家15千米；
（2）张华在11时到达目的地，在那里逗留的时间为：12﹣11＝1（小时）；
（3）目的地离家的距离为30千米．
【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的
相关信息，因此本题实际上是考查同学们的识图能力．
23．（2021秋•临清市期末）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为m米
的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选
用地砖的价格是60元/米2．
（1）写出买地砖需要的钱数y（元）与m（米）的函数关系式 y ＝ 312 0 m ﹣ 6 0 m 2 ．
（2）计算当m＝3时，地砖的费用．
【分析】（1）先求出小路的面积，然后根据买地砖需要的钱数＝小路的面积×每平方米地砖
的价格，进行计算即可解答；
（2）把m＝3代入（1）中所求的关系式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：两条小路的面积为：32m+20m﹣m2＝（52m﹣m2）米2，
∴y＝60×（52m﹣m2）＝（3120m﹣60m2），
故答案为：y＝3120m﹣60m2；（2）当m＝3时，3120m﹣60m2＝3120×3﹣60×9＝8820（元），
答：当m＝3时，地砖的费用为8820元．
【点评】本题考查了函数关系式，根据题目的已知条件结合图形求出小路的面积是解题的关
键．
24．（2021秋•单县期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天
利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定
不变）：
x（人） … 200 250 300 350 400 …
y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到 30 0 人以上时，该公交车才不会亏损；
（2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝ 2 x ﹣ 60 0 ；
（3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可；
（2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100
元，然后列出关系式即可解答；
（3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，
故答案为：300；
（2）由题意得：
y＝0+ ×100＝2x﹣600，
∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x﹣600，
故答案为：2x﹣600；
（3）把y＝1000代入y＝2x﹣600中可得：
2x﹣600＝1000，
解得：x＝800，
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点评】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．
25．（2021秋•南岸区期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到
达目的地，并按照原路返回甲地．
（1）返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？
（2）如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度；
（3）如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，
休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．【分析】（1）利用路程＝平均速度×时间，进而得出汽车的速度v与时间t的函数关系；
（2）结合该司机要在3个小时回到甲地，进而得出平均速度．
（3）算出每个阶段司机所用时间，再相加即可．
【解答】解：（1）由题意可得：两地路程有：60×4＝240（km），
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v＝ ；
（2）由题意可得：3v＝240，
解得：v＝80．
答：返程时的平均速度为80km/h．
（3）休息后所用时间为：（240﹣70）÷85＝2（h），
∴所用时间为1+ +2＝3.5（h），
∴司机返程所用的总时间为3.5h．
【点评】此题主要考查了函数图象的应用，行程问题的图象等，根据路程＝平均速度×时间得
出函数关系是解题关键．
26．（2021•辉县市模拟）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，点D为AB
边上的动点（点D不与点A，B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E．在点D由点A
到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．
根据学习函数的经验，可对函数y随x的变化而变化的情况进行了探究，请将探究过程补充完
整：
（1）通过取点、画图、测量或计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm … 1 2 3 …
y/cm … 0.4 0.8 1.0 1. 2 1.0 0 4.0 …
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）在图2的平面直角坐标系xOy中，以表格中各对x，y的值为坐标描点，并画出该函数的
大致图象；
（3）结合（2）中画出的函数图象，解决问题：当AE＝ AD时，AD的长度约为 2. 4 或 3. 3
cm．【分析】（1）（2）根据题意测量、作图即可；
（3）满足AE＝ AD条件，实际上可以转化为正比例函数y＝ x．
【解答】解：根据题意，测量得1.2
∴故答案为：1.2；
（2）根据已知数据，作图得：
（3）当AE＝ AD时，y＝ x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：
AD＝2.4cm或3.3cm，
故答案为：2.4或3.3．
【点评】本题以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的
数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
27．（2021•河南模拟）问题情境：如图，等腰三角形ABC中，AB＝8cm，AC＝BC，点P为AB
上一个动点，连接PC，过点B作BM⊥PC于点M．
小华同学根据学习函数的经验，设线段AP的长为xcm，线段PM的长为y cm，线段BM的长
1
为y cm．分别对函数y ，y ，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
2 1 2
下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y ，y 与x的几组对应值：
1 2
x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y /cm 6.39 4.95 3.30 1.59 0 0.95 1.11 0.71 0
1
y /cm 4.79 4.95 4.99 4.79 a 2.83 1.65 0.71 0
2
其中a＝ 4 ；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y ），（x，
1
y ），小华同学已经画出函数y 的图象，请你画出y 的图象．
2 1 2
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当∠PBM＝30°时，AP的长度约为 2. 3 或 5. 7 cm．
（精确到0.1cm）
【分析】（1）当x＝4，y ＝0时，点P在AB的中点，此时CM⊥AB，此时BM＝PB＝4，由
1
此可得结果；
（2）描点、连线，可得出y 的图象．
2
（3）由∠PBM＝30°，可得y＝4﹣ x，在图中画出函数图象，找该图象与y 交点的横坐标即
1
可．
【解答】解：（1）∵AB＝8cm，AP＝4cm，
∴点P是AB的中点，
∵AC＝BC，
∴CP⊥AB，此时点M和点P重合，
∴BM＝BP＝4，即a＝4，
故答案为：4；
（2）通过描点，连线，可得出y 的图象，如下图所示：
2（3）当∠PBM＝30°时，BP＝2BM，
∵AP＝x，
∴BP＝8﹣x，
∴MP＝ BP＝ （8﹣x）＝4﹣ x，
作y＝4﹣ x的图象，如下图所示，该函数与y 交点的横坐标即为所求．
1
由图象可知，AP的长度约为2.3或5.7．
【点评】本题考查函数的图象，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，
学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
