文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）期中模拟试题一
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设直线l的斜率为k，且 ，则直线l的倾斜角 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，利用斜率的范围，求角的范围.
【详解】直线l的倾斜角为 ，则 ，由 ，得 ，
∴ ．
故选：D．
2．已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出双曲线方程中的 即得解.【详解】解：∵抛物线 的焦点是（2，0），∴ ， ，∴ ，
∴ ．
所以双曲线的渐近线方程为 .
故选：D
3．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设该正面体的棱长为 ，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以 ，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有 ，，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为 ，
故选：B
4．与直线 切于点 ，且经过点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆的方程为 ，根据题意列出方程组，求得 ，即可得出答案.
【详解】解：设圆的方程为 ，
根据题意可得 ，
解得 ，
所以该圆的方程为 .
故选：D.
5．在平面直角坐标系 中，直线 被圆 截得的弦长为2，则实数a的值
为（ ）
A． B．2 C． 或 D．1或
【答案】C【分析】利用圆心到直线的距离公式，及弦心距计算即可得出结果.
【详解】圆心到直线 的距离为 ，
又 ，解得： 或 ．
故选：C
6．如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明
推理作答.
【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点 ，
对于A， ， ， ， 与 不垂直，
A不是；对于B， ， ， ， ，B是；
对于C， ， ， ， 与 不垂
直，C不是；
对于D， ， ， ， 与 不垂直，
D不是.故选：B
7．设 ， 是双曲线 ： 的两个焦点， 为坐标原点，点P在 的右支上，且
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知等式可得 ，不妨设 ， ，则点 在以 为直径的圆上，
利用定义结合勾股定理求出 ，代入面积公式计算即可．
【详解】由 ，得 ，
所以 ，可得 ，
不妨设 ， ，所以 ，所以点 在以 为直径的圆上，
所以 是以 为直角顶点的直角三角形，故 ．
又因为点 在双曲线的右支上，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
故选：C．
8．在平面直角坐标系 中，点 ， 分别是双曲线 ： ( ， )的左，右焦点，过点
且与直线 ： 垂直的直线交 的右支于点 ，设直线 上一点 ( 在第二象限)满足 ，
且 ，则双曲线 的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设直线 的方程为 ，设 ， ，由 化为数量积
为0得 ，再根据 可得 ，从而得 ，代入双曲线方程
即可求解离心率．
【详解】由题意可知，设直线 的方程为 ，则设 ， ，
因为 ， ，且 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 ，
， ，则
，即
，解得 ，所以 ，因为点 在双曲线上，所以代入双曲线方程可得， ，即 ，解得 ，
，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用数量积为0建立坐标方程式求得参数，从而求得离心率．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知 ， 分别是正方体 的棱 和 的中点，则（ ）
A． 与 是异面直线
B． 与 所成角的大小为
C． 与平面 所成角的正弦值为
D．二面角 的余弦值为
【答案】AD
【分析】根据异面直线的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，用向量方法可计算B，C，D是否正确
【详解】根据异面直线的判定定理，及正方体的结构特征，易知：A正确；以 为原点， ， ， ，的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长2，则 ， ， ， ， ,
,
所以 , ,
设 与 所成角的大小为 ,
则
所以 ，故B错误;
由题意可知,平面 的法向量为 , ,
设 与平面 所成角为 , 则
,故C错误;
,
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量为 ， ，
则 ，令 ，得 ，
设二面角 为 ，由题图知 为锐角，
则 ，故D正确．
故选:AD．
10．过抛物线 上一点 作两条相互垂直的直线，与 的另外两个交点分别为 ， ，则
（ ）
A． 的准线方程是
B．过 的焦点的最短弦长为8
C．直线 过定点
D．当点 到直线 的距离最大时，直线 的方程为
【答案】AD
【分析】由点在抛物线上求得 为 ，结合抛物线的性质判断A、B；设 为 并联立抛物
线，结合 及韦达定理、向量垂直的坐标表示列方程求出m、n的数量关系，代入直线方程即可判
断C；由C分析所得的定点P，要使 到直线 的距离最大有 ，即可写出直线 的方程判断
D.
【详解】将 代入 中得： ，则 为 ，
所以 的准线方程是 ，故A正确；
当过 的焦点且与 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B不正确；
设 ， ，直线 为 ，联立抛物线得： ，所以 ， ，又 ，
所以 .
因为 ， ，即 ，
所以 ，整理得 ，故 ，得 ，
所以直线 为 ，所以直线 过定点 ，故C不正确.
当 时 到直线 的距离最大，此时直线 为 ，故D正确.
故选：AD
11．已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线与 轴交于
两点．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 一定过定点 B． 的值为
C．直线 的斜率为 D． 的值为4
【答案】ACD
【分析】根据直线方程可得过定点判断A，根据弦长公式可判断BC，根据 结合图形可求
判断D.
【详解】由直线 知其过定点 ，A正确；
圆心 到直线 的距离为 ，由 ，
得 ，解得 ，B不正确；直线 的斜率为 ，C正确；
如图所示，过点 作 ，垂足为 ，因为 ，所以 ，因为 ，
所以四边形 为矩形，直线 的倾斜角 ，则 ，
在 中，可得 ，D正确．
故选：ACD．
12．已知F为双曲线 的右焦点，过F的直线l与圆 相切于点M，l与C
及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（ ）
A． B．直线 与C相交
C．若 ，则C的渐近线方程为 D．若 ，则C的离心率为
【答案】AD
【分析】根据给定条件，计算切线长判断A；由直线 斜率与 的大小说明判断B；求出出点Q，P的坐
标计算判断C，D作答.
【详解】令双曲线 的半焦距为c，有 ， ，依题意， ，如图，对于A， ，A正确；
直线 的斜率 ，直线 是双曲线C过第一三象限的渐近线，直线 与C不相交，B
不正确；
对于C，由选项A可得点 ，设点 ，依题意， ，
即 ，解得 ，即 ，
又点Q在直线 上，则有 ，解得 ，有 ，
C的渐近线方程为 ，C不正确；
对于D，由选项C同理得点 ，因此 ，即 ，解得
，D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．直线 过点 ，且与直线 平行，则直线 的一般式方程为______．
【答案】
【分析】先利用平行假设直线 为 ，再将 代入即可得到答案【详解】解:因为直线 与直线 平行，所以假设直线 为 ,
因为直线 过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的一般式方程为 ，
故答案为:
14．过点 的圆 的切线方程为___________.
【答案】 或 .
【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．
【详解】已知圆圆心坐标为 ，半径为 ，易知直线 是圆的切线，
当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，切线方程为 ，即 ．
故答案为 或 ．
15．如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，若 ， ，
为 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为______．
【答案】
【分析】以 为 轴， 为 轴 为 轴建立空间坐标系，利用向量法求解 与平面 所成角的
正弦值即可.
【详解】因为 是矩形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ,， 平面 ，
所以 ，
以 为 轴， 为 轴 为 轴建立如图所示空间坐标系：所以 ，因为 是 中点，所以 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 解得 ，
所以 与平面 所成角的正弦值 ，
故答案为： .
16．已知点 为抛物线 的焦点， ，点 为抛物线上一动点，当 最小时，点 恰好在
以 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】2+1##1+2
【分析】设点 ，根据抛物线的定义表示出 ，将 用 表示，并逐步转化为一个基
本不等式形式，从而求出取最小值时的点 的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.
【详解】由题意可得， ， ，抛物线的准线为 ，
设点 ，根据对称性，不妨设 ，
由抛物线的定义可知 ，又 ，所以
，
当且仅当 时，等号成立，此时 ，
设以 为焦点的双曲线方程为 ，
则 ，
即 ，
又 ， ，
所以离心率 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将 的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，
从而找出取最小值时的点 的坐标.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知直线 与圆 相交于A、B不同两点．
(1)求m的取值范围；
(2)设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．
【答案】(1) ，(2) 或 ．
【分析】（1）根据直线与圆是相交的关系，联立方程根据判别式即可求解，、（2）根据根与系数的关系以及垂直关系，即可列方程求解 或 ，进而得直线方程.
（1）
由 ，得 ，直线与圆有两个交点，所以 ，即
，解得
（2）
设 、 ，则 ， ．由于以AB为直径的圆经过原点，所以
,
故 ，即 ，所以 ，所以
，解得 或 ．
直线l的方程为 或 ．
18．如图，在三棱柱 中， 平面 为线段 上的一
点.
(1)求证： ；
(2)若 为线段 上的中点，求直线 与平面 所成角大小.【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）由题意可得 两两垂直，所以以 为原点，分别以 所在的直线为
建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，
（2）先求出平面 的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.
（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 两两垂直，
所以以 为原点，分别以 所在的直线为 建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ,
设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
（2）因为 为线段 上的中点，所以 ，
所以 ， ,
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，设直线 与平面 所成角为 ，则
，
因为 ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 .
19．已知双曲线C过点 ，其焦点 ， 在x轴上，且 ．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)是否存在被点 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)不存在被点 平分的弦，理由见解析.
【分析】（1）设所求双曲线方程为 （ ， ），根据已知求出 即得解；
（2）假设存在被点 平分的弦，记弦所在的直线为l，设 是弦MN的中点，利用点差法求出直
线l的方程，再检验即得解.
（1）解：设所求双曲线方程为 （ ， ），由 可知 ，即 ．
又点 在双曲线上，所以 ，得 ，
所以双曲线C的标准方程为 ．
（2）解：假设存在被点 平分的弦，记弦所在的直线为l，
设 是弦MN的中点，
， ，则 ， ．
因为点M，N在双曲线C上，所以 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以直线MN的斜率 ，
所以直线l的方程为 ，即 ．
由 ，得 ，显然 ，所以直线l与双曲线无交点，
所以直线l不存在，故不存在被点 平分的弦．
20．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， .(1)证明： 为等腰三角形.
(2)若平面 平面 ，求二面角 的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，由题意可得 ， ，根据线面垂直的判
定定理可得 平面 ，再由线面垂直的性质定理可得答案；
（2）设 ，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，求
出平面 、平面 的法向量，由二面角的向量求法和 的范围可得答案.
（1）
如图，取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形， ，所以 为等边三角形，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
故 为等腰三角形；
（2）
设 ，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
二面角 的大小等于二面角 与二面角 的大小之和，
因为二面角 为直角，所以二面角 为钝角，
故二面角 的余弦值的取值范围为 .21．已知抛物线C： 上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点 的直
线 与C相交于A，B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的
坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设出 ，代入抛物线方程，得到 ，再利用抛物线定义列出方程，求出 ，得
到抛物线方程；
（2）设出直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，将F到直线PA与直
线PB的距离相等转化为 ，列出方程，代入两根之和，两根之积，化简得到
，求出P点坐标为 .
（1）
设 ，则 ，∴ ，由抛物线的定义得 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 （舍去）
所以C的标准方程为 ．
（2）
设 ， ， ， ，由题可知l的斜率不为零，
设l： ，代入抛物线方程 消去x，得 ，
从而 ， ①，
点F到直线PA与直线PB的距离相等，可得 ，故 ，
，
得 ，
将①代入得 ，于是得 ，
因此存在符合条件的点P，且P点坐标为 .
【点睛】直线过定点问题或存在定点满足某条件问题，通常设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之
和，两根之积，根据题干条件列出方程，求出定点坐标.
22．已知直线 ： 过椭圆 ： 的右焦点 ，且交椭圆 于A， 两点，
点A， 在直线 ： 上的射影分别为点 ， ．若 ，其中 为原点， 为右顶点．
为离心率．
(1)求椭圆 的方程；(2)连接 ， ，试探索当 变化时，直线 ， 是否相交于一定点 ．若交于定点 ，请求出
点的坐标，并给予证明；否则说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）由直线 ： 过椭圆的右焦点可得c，结合已知条件可得a，然后可解；
（2）先根据AB垂直于x轴时猜想点N坐标，然后利用韦达定理证明BN和DN的斜率相等，同理可知AN
和EN的斜率相等，然后可证.
（1）
椭圆 的方程为 ，
： 过定点 ，由题意可得 ，
由 ，可得 ，即 ，则 ，
所以 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）
当 时，直线 ： 垂直于 轴，可得四边形 为矩形，
直线 ： ，所以直线 ， 相交于点 ，猜想定点 ．
当 时，分别设A， 的坐标为 ，由题意可得 ， ，由 ，可得 ， ， ，
由 ， ，得 ，
又 ，
则 ，即 ，所以 ， ， 三点共线．
同理可得A， ， 三点共线．
综上，直线 ， 相交于一定点 ．
