文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）期中模拟试题二
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.
【详解】设斜率为 ，倾斜角为 ，
∵ ，∴ ， ．
故选：D．
2．已知 为直线l的方向向量， 、 分别为平面 、 的法向量（ 、 不重合），那么下列说法中：
① ；② ；③ ；④ .其中正确的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用两平面平行充要条件判断①；利用两平面垂直充要条件判断②；利用线面垂直充要条件判断
③；利用线面平行判定定理判断④.
【详解】① ，判断正确；
② ，判断正确；③ ，判断错误；
④ 或 ，判断错误.
故选：B
3．设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由方程表示圆可构造不等式求得 的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】若方程 表示圆，则 ，解得： ；
∵ ， ，， 甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
4．抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最大值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．8
【答案】A
【分析】分别画出抛物线与圆的图像，观察图像即可得到距离最大值.
【详解】
拋物线 的焦点为 ，
圆 ，即
所以，圆心为 ，半径 ，F到圆C上点的距离的最大值为 .
故选：A.
5．若正三棱柱 的所有棱长都相等，D是 的中点，则直线AD与平面 所成角的正弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，用向量法求出平面 的法向量
，即可由 求所需正弦值
【详解】取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
设三棱柱的棱长为2，则 ， ，所以 ． ，
，
设 为平面 的法向量，由 ，得 ，故 ，令 ，得
．
设直线AD与平面 所成的角为 ，则 ，所以直线AD与平
面 所成角的正弦值为 ．
故选：A6．设圆 的圆心为C，直线l过点 ，且与圆C交于A，B两点，若 ，
则直线l的方程为（ ）
A． B． 或
C．x=0 D．x=0或
【答案】D
【分析】先利用圆的一般方程得到标准方程，得到对应的圆心和半径，然后分直线l的斜率不存在和存在
进行求解直线的方程即可得到答案
【详解】解：由 可得 ，则圆心C的坐标为 ，半径为2，
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为 时，代入圆的方程得 ，解得 ，
，此时 ，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 即 ，
因为 ，所以圆心C到直线l的距离为 ，
则 ，解得 ，
故此时直线l的方程为 ，即 ，
故选：D7．已知 分别为双曲线 的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线
，直线 的斜率分别为 ．若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设 ，应用斜率两点式得到 ，根据P为双曲线C上一点即可得双曲线参数关系，
进而求其离心率.
【详解】依题意 ，
设 ，则 ，
∴ ，又 ，
∴ ，故 ，即 .
故选：A
8．已知 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若
点 在 的平分线上，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，得到 ，求出 的取值范围，从而求出 的取值范围.
【详解】如图，直线 与直线 相交于点N，
由于PM是 的平分线，且 ，即PM⊥ ，所以三角形 是等腰三角形，
所以 ，点M为 中点，
因为O为 的中点，
所以OM是三角形 的中位线，
所以 ，
其中 ，
因为P与 的四个顶点不重合，设 ，则 ，
则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
∴ 的取值范围是 .
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是（ ）
A．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 ；
B．圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C．已知 ，O为坐标原点，点 是圆 外一点，且直线m的方程是 ，则
直线m与圆E相交；
D．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 ；
【答案】BC
【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为 ，A错误；
B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确；
C选项，首先根据点在圆外得到不等式 ，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半
径，从而得到C选项正确；
D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围.
【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为 ，代入 ，
解得： ，则直线l的方程为 ，
当截距不为0时，设直线l的方程为 ，
代入 ，解得： ，此时直线l的方程为 ，
综上：直线l的方程为 或 .故A错误；
B：圆 的圆心为 ，半径为2，
圆心到直线 的距离为 ，刚好为半径的一半，
所以圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1，故B正确；C：已知 ，O为坐标原点，点 是圆 外一点，所以 ，
直线m的方程是 ，则圆心到直线m的距离为 ，所以直线m与圆E相交，故C
正确；
D：直线 整理为 ，即过定点 ，
如图所示，
， ，
要想直线 与以 ， 为端点的线段相交，
则实数k的取值范围为 或 ，故D错误.
故选：BC
10．如图，已知 ， 分别是正方体 的棱 和 的中点，则（ ）A． 与 是异面直线
B． 与 所成角的大小为
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．二面角 的余弦值为
【答案】ABD
【分析】根据异面直线的概念可判断A，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD．
【详解】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异
面直线异面直线”可知A正确；
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2， ， ， ， ，
所以 ， ，
设 与 所成角的大小为 ，
则 ，所以 ，故B正确；
由题意可知，平面 的法向量可取 ，
，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，故C错误；
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
同理可得平面 的法向量 ，
则 ，
又因为二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ，故D正确.
故选：ABD．
11．（多选）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，直线 过点 且与抛物线交于
， 两点，若 是线段 的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线 的方程为 D．【答案】ACD
【分析】由焦点到准线的距离可求得 ，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点
坐标计算公式可求得直线 的斜率，从而求得 的方程，可判断C正确； ，所以
从而 判断D正确.
【详解】因为焦点 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知 ，故A正确
故抛物线的方程为 ，焦点 ，故B错误
则 ， ．
又 是 的中点，则 ，所以 ，
即 ，所以直线 的方程为 ．故C正确
由 ，
得 ．故D正确
故选：ACD．
12．已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且 ，点P为双曲线右支一点，
I为 的内心，若 成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当 轴时， B．离心率
C． D．点I的横坐标为定值a
【答案】BCD【分析】当 轴时，由 ，得 ；由 可得 求
出离心率；设 的内切圆半径为 ，由 ， ，用 的边长和 表示出等
式中的三角形的面积，解此等式求出 ；由切线的性质面积和双曲线的定义可得I的横坐标．
【详解】当 轴时， ，
此时 ，所以A错误；
∵ ，∴ ，
整理得 （ 为双曲线的离心率），
∵ ，∴ ，所以B正确.
设 的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得 ， ，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
故 ，所以C正确.
设内切圆与 、 、 的切点分别为M、N、T，
可得 ， .
由 ，
，可得 ，可得T的坐标为 ，
即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；
故选BCD.
【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简
运算能力和推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若直线m被两平行线 与 所截得的线段的长为 ，则m的倾斜角可以是
①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．
【答案】①⑤
【分析】先求两平行线间的距离为 ，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为 得到直线m
与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解．
【详解】因为 ，所以直线 ， 间的距离 ．
设直线m与直线 ， 分别相交于点B，A，
则 ，
过点A作直线l垂直于直线 ，垂足为C，
则 ，
则在 中， ，
所以 ，又直线 的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为 或 ．
故答案为：①⑤．
14．若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】先求出直线 所过定点 ，再将曲线 转化为 ，可知其为半圆，
结合图像，即可求出 的取值范围.
【详解】由题意得，直线 的方程可化为 ，所以直线 恒过定点 ，
又曲线 可化为 ，其表示以 为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.
当 与该曲线相切时，点 到直线的距离 ，解得 ，
设 ，则 ，
由图可得，若要使直线 与曲线 有两个交点，须得 ，即 .
故答案为： .15．已知菱形 中， ，沿对角线 折叠之后，使得平面 平面 ，则二面角
的余弦值为______．
【答案】
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可.
【详解】设菱形 的边长为1，取 的中点 ，连接 ， ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，同理，平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
设二面角 为 ，由图可知二面角 为锐角，即 ，
所以 ，所以二面角 的余弦值为 ．
故答案为：
16．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，椭圆
的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，
则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设 ，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得 ，设
，则可得 ，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【详解】解：设 ，
由椭圆的定义得 ①，
由双曲线的定义得 ②，
① ② 得， ，① ② 得， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ③，
设 ，则 ，解得
所以 ，
当 时， 最大值为 时， 的值为2，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知圆 .
(1)过点 作圆C的切线l，求切线l的方程；
(2)设过点 的直线m与圆C交于AB两点，若点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m得方程.
【答案】(1) 或 ；
(2) 或
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况；
（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.（1）
由 可得 ，
即圆心为 ，半径 ，
显然当直线斜率不存在时， 是圆的切线，
当直线斜率存在时，设直线为 ，即 ，
由圆心到直线的距离 ，解得 ，
故切线为 或 .
（2）
因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故 ,
所以 ，故圆心到直线的距离 ，
直线斜率不存在时，由 知，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 ，
故直线方程为 或 .
18．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l： 截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；
（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.
（1）∵ ，
∴BC边的中点D的坐标为 ，
∴中线AD的斜率为 ，
∴中线AD的直线方程为： ，即
（2）
设△ABC的外接圆O的方程为 ，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为 ，即 ，
其中圆心O为 ，半径 ,
又圆心O到直线l的距离为 ,
∴被截得的弦长的一半为 ,
∴被截得的弦长为 .
19．如图， 平面ABCD， ， ，四边形ABCD为菱形.(1)证明： 平面EBD；
(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）设 交于点 ，连接 ，根据线面垂直的性质可得 ，
，证明 ，从而可得 ，进而可证 ，再根据线
面垂直的判定定理即可得证；
（2）如图，以 为原点建立空间直角坐标系，设 ，利用向量法结合线AB与平面EBD所成角的正
弦值求出 ，再利用向量法求出点 到平面 的距离，再根据棱锥的体积公式即可得解.
（1）
证明：设 交于点 ，连接 ，
因为 ，所以 四点共面，
因为 平面ABCD，所以 平面ABCD，
因为 平面ABCD，
所以 ， ，
又四边形ABCD为菱形，
所以 ， ，
因为 ，所以 平面ACFE,所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 平面EBD，
所以 平面EBD；
（2）
解：如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ， ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，
则 ，解得 ，
则 ，
则点 到平面 的距离 ，
又 ，则 ，
所以三棱锥 的体积为 .
20．在四棱锥 中，已知 ， ， ， ， ，
， 是 上的点．(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 点为 上靠近 点的三等分点
【分析】（1）首先证明 面 ，再结合线面垂直的判断定理，证明 面 ；
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，求平面 的法向量 ，利用 ，即可求
得 的值.
（1）
在 中： ， ，所以 .
在 中： ， ， ，
由余弦定理有：
，所以 ，所以 ①
又因为 ②，由①②， ，所以 面 ，所以 ③.
在 中： ， ， ，所以 ④，由③④， ，所以 面
.
（2）
以 为原点，以 ， ，竖直向上分别为 、 、 轴建立直角坐标系.则有 ， ，， ， ，设 ，则 ，
， ，设 为面 的法向量，
则有： ，解得 ，设所求线面角为 ，则有
，解得 ，所以 .所以 点为 上靠近 点的三
等分点，满足条件.
21．已知椭圆C； 的左右顶点分别为 ， ，以线段 为边的一个正三角形与椭圆
C的一个公共点为P（ ， ）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，N，直线 M， 交于点D，求证：点D在定直线
l上，并求出直线l的方程.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， .【分析】（1）根据点 的坐标满足椭圆方程，以及直线 的斜率为 ，即可求得 ，则椭圆方程得
解；
（2）根据（1）中所得椭圆方程，设出直线 的方程，联立韦达定理，结合 以及 三点
共线，求得 点的横坐标为定值，即可求得结果.
(1)
由椭圆C经过点 ，故可得 ，
由题意可知直线 的斜率为 ，故可得 ，解得 ；
把 得代人 得 ，
所以椭圆C的方程为 .
(2)
由（1）得 ， ，设 ，
由题可知直线l的斜率不为零，设其方程为 ，
联立椭圆方程 ，可得
则
设 ，由 ，D，M三点共线，可得
所以 ，
由 三点共线，同理可得
所以所以 ，解得 ，所以点D在定直线 上.
【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中的定直线方程，解决第二问的关键是合理利用韦达定理，
结合三点共线的应用，求得点 的横坐标，即可求得结果.
22．在平面直角坐标系 中，设 为椭圆 的左焦点，直线 与 轴交于
点 ， 为椭圆 的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线与椭圆交于两点 、 ，设直线 、 的斜率分别为 、 .
①求证： 为定值；
②求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由长轴长和 .求出 得椭圆方程；
（2）①当 的斜率为0时，直接求得 ，当 的斜率不为0时，设 ， ，设
，代入椭圆方程，应用韦达定理得 ，计算 可得；②由
求得面积表达式，变形后由基本不等式得最值．
(1)
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ， ，所以椭圆 的标准方程为 .
(2)
①当 的斜率为0时，显然 ， .当 的斜率不为0时，设 ，
由 得 ，
设 ， ，故有 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .综上所述，恒有 为定值.
② ，
即 ，
当且仅当 ，即 时取等号（此时适合 ），
所以 面积的最大值为 .
