文档内容
新高考地区高 2024 届高二（上）期中模拟试题三
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知点 ，则直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线 的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.
【详解】因为点 ，所以 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
所以 .
故选：A.
2．圆 的圆心到直线x-y+3=0的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由圆的方程确定圆心，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】 的圆心为 ，
则由点到直线距离公式可得： .故选：D
3．在正方体 中， 分别为 ， 的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题，建立空间直角坐标系 ，利用向量法判断垂直即可
【详解】由题，建立如图所示空间直角坐标系 ，
设正方体棱长为2，则有 ，
，
∴ ，
∴ ，
故选：A
4．直线 分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 上，则 面积的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】底边 为定值，求出点P到 距离的范围即可求出 面积的取值范围.【详解】圆心 到直线 距离 ，所以点P到 距离即高 的范围
，又可求得 ，所以 面积 的取值范围为 .
故选：A.
5．椭圆 中以点 为中点的弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求出斜率，即可求出直线方程.
【详解】设点 为中点的弦的端点 ，
则有： ，两式相减得： ，
因为 为中点，所以 ，
所以斜率 ，
所以所求直线方程为： ，即 .
故选：A
6．在正三棱锥 中， ，且 ，M，N分别为BC，AD
的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 两两垂直，所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】因为 ，
所以 两两垂直，
所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 ，
所以 ,
因为M，N分别为BC，AD的中点，
所以 ，
所以 ，
设直线AM和CN所成的角为 ，则
,
所以直线AM和CN夹角的余弦值为 ，
故选：B
7．已知抛物线 的焦点为 ， ， 为抛物线上两点，若 ， 为坐标原点，则 的
面积为
A． B． C． D．【答案】B
【详解】
如图所示，根据抛物线的定义， 则 可得 ，由抛物线的对称
性，不妨设直线的斜率为正，所以直线 的倾斜角为 ，直线 的方程为 ，联立直
线 与抛物线的方程可得 ，所以 ，当直线
的倾斜角为 时，同理可求，故选B.
8．已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分别为 、 、A为双曲线的左顶点，以
为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 、 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先由题意，得到以 为直径的圆的方程为 ，不妨设双曲线的渐近线为 ，设
，则 ，求出点P，Q的坐标，得出 ， ，根据 ，再利用余弦定理
求出 ， 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．
【详解】由题意，以 为直径的圆的方程为 ，不妨设双曲线的渐近线为 ．
设 ，则 ，
由 ，解得 或 ，
∴ ， ．
又 为双曲线的左顶点，则 ，
∴ ， ， ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，
则 ，所以 ，则 ，
即 ，所以
∴ ．
故选：C.
【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情
况：①直接求出 ，从而求出 ；②构造 的齐次式，求出 ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定
义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，四边形 为正方形，平面 平面 ，且 为正三角形， ， 为 的
中点，则下列命题中正确的是（ ）
A． B． 平面
C．直线 与 所成角的余弦值为 D．二面角 大小为
【答案】ACD
【分析】取 的中点 ，连接 ，证明出 平面 ，以点 为坐标原点， 、 、 的方
向分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
又因为四边形 为正方形，以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向
建立如上图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，， ， ，则 ，A对；
，易知平面 的一个法向量为 ， ，
故 与平面 不平行，B错；
， ，
所以，直线 与 所成角的余弦值为 ，C对；
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
所以， ，
由图可知，二面角 的平面角为锐角，故二面角 为 ，D对.
故选：ACD.
10．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点
的轨迹为曲线 ，直线 与 交于 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．
【答案】ACD
【分析】根据题意求得双曲线的方程，可判定A正确；根据离心率的定义，求得 的值，可判定B不正确；
利用直线与圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，可
判定D正确.
【详解】设点 ，由直线 与 的斜率之积为 ，可得 ，整理得 ，即曲线 的方程为 ，所以A正确；
曲线 的离心率 ，所以B不正确；
由圆 ，可得圆心为 ，
可得圆心到曲线 的渐近线 的距离 ，
又由圆的半径为1，所以曲线 的渐近线与圆 相切，所以C正确；
联立方程组 ，整理得 ，则 ， ，所以
，所以D正确．
故选：ACD．
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是
圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知 点 满足 ，设点
的轨迹为圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的方程是
B．过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为
C．过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，则该直线的斜率为
D．过直线 上的一点 向圆 引切线 ，则四边形 的面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，设 点坐标，根据 代入化简，可得A正确；对于B，设切线夹角为 ，可得 ，解得B正确；
对于C，若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，可判断直线 与圆相切，进而可解得 ，故C错
误；
对于D，由条件可表达四边形 的面积为 ，求 的最小值，计算可得D正确.
【详解】对于A，因为 ，点 满足 ，设 ，则 ，
化简得 ，，即 ，故A正确；
对于B，因为 ，设两条切线的夹角为 ，所以 ，解得 ，则 ，故B
正确；
对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为 ，即 ，
因为圆 上恰有三个点到直线 的距离为2，所以圆心到直线的距离 ，解得
，故C错误；
对于D，由题意可得 ，故只需求 的最小值即可， 的最小值
为点 到直线 的距离，即 ，所以四边形 的面积的最小值为
，故D正确.
故选：ABD.
12．设抛物线 ： （ ）的焦点为 ，准线为 ，A为 上一点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 ， 两点．若 ，且 的面积为 ，则（ ）
A． 是等边三角形 B．
C．点 到准线的距离为3 D．抛物线 的方程为
【答案】ACD
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出 为等边三角形，判断A；确定 的边长
，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:
因为以 为圆心， 为半径的圆交 于 ， 两点，所以 ，
又 ，故 ，A在抛物线上，所以 ，
所以 为等边三角形，故A正确；
因为 ，则 轴，过 作 于点 ，则点 为 的中点，
点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，所以点A的横坐标为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
则 ，故B错误；
焦点 到准线的距离为 ，故C正确；
抛物线 的方程为 ，故D正确．故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知圆C的圆心为 ，且圆C经过抛物线 的焦点，则圆C的标准方程为___________．
【答案】
【分析】求出抛物线的焦点坐标，从而求出圆的半径，得到圆的标准方程.
【详解】因为抛物线 的焦点为 ，所以圆C的半径为3，
则圆C的标准方程为 ．
故答案为： .
14．如图，在三棱锥 中， 两两垂直， ， ， 为 的中点，则
的值为______.
【答案】 ##0.5
【分析】根据空间向量基本定理，用基地向量表示 ,进而根据数量积的运算律即可求解.
【详解】由题意得 ，
故 ．
故答案为：
15．已知点P在双曲线 上，若P，Q两点关于原点O对称，直线 与圆 相切于点M且 ，其中 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，则 的面积为______．
【答案】12
【分析】利用双曲线的对称性有 的面积等于 的面积，根据圆的切线、向量线性关系、中位线
性质得 ，令 ， ，由双曲线定义列方程求 ，即可求面积.
【详解】如图，连接 ，
因为P，Q两点关于原点O对称，
所以 的面积等于 的面积．
直线 与圆 相切于点M，则 ．
因为 ，
所以M为 的中点，又O为 的中点，
所以 ，则 ．
由双曲线 得： ， ．
， ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故 的面积等于 ，即 的面积为12．
故答案为：12.16．已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则动点 运动轨迹
的周长为__________.
【答案】
【分析】首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹的长.
【详解】由 可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面 ，面 ，面 上运动，
当P在面 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，由 得： ，
即 ，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，
因为 ,故 ,所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理，P点在面 内情况亦为 ；
P点在面 上时，因为 ， ,
所以 ，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知圆 ： 和圆 相交于 两点.
(1)求公共弦 所在直线的方程.
(2)求 的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将两圆的方程相减即可得到公共弦 所在直线的方程；
（2）利用垂径定理构造直角三角形，再利用点到直线的距离公式求出 ，勾股定理求出 ，然后求面
积即可.
（1）
因为 ： ， ： ，所以 得： ，即 ，
所以公共弦所在的直线方程为： .
（2）
如图，取 中点 ，连接 ， ， ， ，根据圆的性质可得 ，
圆 可整理为 ，所以 ， ，
点 到直线 的距离 ，所以 ， .
18．如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，
是 上一点，且 ， 是 中点．(1)求证： ；
(2)若二面角 大小为 ，求棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】(1)只要证明 平面 即可；
(2)用等体积法求解.
（1）
在 中, ,
由余弦定理得, ，即 ， 所以有
， ，
在 中， . 由正弦定理得， ,即 ，
解得 ，又 ， ， 所以有 , 于是有 . 连
结 ，则三角形 为正三角形, 所以 , 又 , 所以 ,
又因 底面 平面 ,所以 ， 是平面 内两相交直线, 所以有
面 , 又 平面 , 所以 .（2）
由(1)知 , 又 底面 平面 ，
所以 , 又 是平面 内两相交直线, 所以 平面 ， 平面 ，所以
，
所以 即为二面角 的平面角,
因二面角 大为 , 所以 ,
由 , 又 底面 平面 ，
所以 知 , 所以 ,
图2
因 , 所以 ,
又因 为 中点, 所以 ,
由 , 设 到平面 的距离为 , 则 , 解得 ,
也就是 到平面 的距离为 ，又 , 所以三棱雉 的体积 .
19．已知实数 ， 满足方程 ，
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求 的最大值和最小值；
(3)求 的最大值和最小值.
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)最小值为 ，最大值为
(3)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心 的坐标与半径，令 ，利用圆心到直
线的距离小于等于半径求出 的取值范围，即可得解；
（2）依题意 表示圆上的点 与点 的距离的平方，求出 ，则
即可得解；
（3） 表示圆上的点 与点 连线的斜率，设过点 直线方程为 ，根
据圆心到直线的距离小于等于半径求出 的取值范围，即可得解；
（1）
解：因为 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
令 ，即 ，则圆心到直线的距离 ，
所以 ，即 的最大值为 ，最小值为 ；（2）
解： 表示圆上的点 与点 的距离的平方，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 的最小值为 ，最大值为 ；
（3）
解： 表示圆上的点 与点 连线的斜率，
设过点 直线方程为 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ；
20．如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面 平面 为正三角形，E，F分
别是 上的动点.(1)求证： ；
(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，即可证明 .
（2）由已知结合线面平行的判定定理知 平面 ，结合线面平行的性质定理知 ，建立空间
直角坐标系，设 ，求出平面 的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.
（1）
证明：因为C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 平面 .
所以
（2）
由E，F分别是 的中点，连结 ，所以 ，由（1）知 ，
所以 ，所以在 中， 就是异面直线 与 所成的角.
因为异面直线 与 所成角的正切值为 ，
所以 ，即又 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以
所以在平面 中，过点A作 的平行线即为直线l.
以C为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直
角坐标系，设 .
因为 为正三角形所以 ，从而
由已知E，F分别是 的中点，所以
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以可设 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，则 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .所以直线 与平面 所成角的取值范围为 .
21．已知两圆 ，动圆 在圆 内部且和圆 内切，和圆 外切.
(1)求动圆圆心 的轨迹方程 ；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程恒有两个交点 ，且满足
若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）设圆 的半径为 ，由椭圆的定义得到点 的轨迹，求出椭圆方程即可；
（2）当切线斜率存在时，设切线方程，与椭圆联立，得到韦达定理，利用 ，化简整理得到
和 的关系，利用圆心到切线的距离等于半径，可得圆的方程，当切线的斜率不存在时，可得到切线方程，
求出两个交点坐标，符合题意，即可得到答案.
（1）
设圆 的半径的 ，则 ，
所以 的轨迹是以 的焦点的椭圆，
则 ， ，所以 ， ， ，
故动圆圆心 轨迹方程 为 .
（2）
假设存在圆心在原点的圆 ，
使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，
设 ， ，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为 ，
由方程 ，可得 ，则 ，
所以 ，由 ， ，
则 ，
， ，则 ，即 ，
即 ，即 ，所以 且 ，
故 ，解得 或 ，
因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 ，
则 ，故 ，所以所求圆的方程为 ，
此时圆的切线 都满足 或 ，
当切线的斜率不存在时，切线方程为 ，
所以切线与椭圆 ，的两个交点为 ， ，
满足 .
综上所述，存在圆心在原点的圆 满足条件.
22．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，离心率为2，直线 与双曲线 的一
条渐近线交于点 ，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 为双曲线右支上的一个动点，证明：在 轴的负半轴上存在定点 ，使得 ．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的对称性可取渐近线 ，则可求出交点 的坐标，结合 与离心率为
2，即可列出方程组，即可求出答案；
（2）设 ，讨论当 时求出点 ；当 ，设出点 ，由
可知 ，化简利用恒成立，即可求出点 的坐标.
（1）
根据双曲线的对称性，不妨设直线 与渐近线 的交点为 ，
由 ，得 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又离心率为2，所以 ，故 ．
所以双曲线 的标准方程为 ．
（2）
由（1）知双曲线 的右焦点为 ．
设 ，则 ．
①当 时， ．因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，符合题意．
②当 时，设 ．
， ，
因为 ，
所以 （结合正切倍角公式）．
（i）当 时，上式化简为 ，
又 ，所以 ，对任意 恒成立.
所以 ，解得 ，即 ．
（ii）当 ， 时，即 也能满足 ．
综上，在 轴的负半轴上存在定点 ，使得 ．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线中满足某条件的定点问题，属于难题，解本题的关键在于将
角度的关系转化为斜率的关系，从而列出方程，由恒成立求出答案.
