专题05直线的倾斜角与斜率（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题05直线的倾斜角与斜率-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题05 直线的倾斜角与斜率
一、单选题
x 3
1．（2020·四川省高二期末（理））直线 的倾斜角为( )
30 45 60 90
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
x 3  90
直线 的斜率不存在， 其倾斜角为 .
故选：D.
x1  
2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线 的倾斜角为 ，则 （ ）


A．0 B． 3 C． 2 D．
【答案】C
【解析】

直线x1与x轴垂直，故倾斜角为 2 .
故选：C.
x y10
3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线 的倾斜角为（ ）
 3 5 
A．4 B． 4 C． 4 D． 2
【答案】B
【解析】
x y10 k 1
由题意，直线 的斜率为
3
k tan1
故 4故选:B
A3,1 B2,k C8,11
k
4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果 、 、 在同一直线上，那么 的值是(
)
A．-6 B．-7 C．-8 D．-9
【答案】D
【解析】
A(3,1) B(2,k) C(8,11)

、 、 三点在同一条直线上，
直线AB和直线AC 的斜率相等，
k1 111
 ，解得 ．
 23 83 k 9
故选：D．
(2,4) (1,4 3)
5．（2019·山东省高二期中）若直线过点 ， ，则此直线的倾斜角是（ ）
30 60 120 150
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
k  3
由题意知，直线的斜率 ，
 tan 3
即直线的倾斜角 满足 ，
0 180 120

又 ， ，
故选：C
6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ）
A．（﹣2，3） B．（0，1） C．（3，3） D．（3，2）
【答案】B
【解析】
k tan45 1
由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为 ，32 1
2,3   2,3
则过点 与点（1，2）的直线的斜率为21 3，显然点 不满足题意；
12
0,1
1
0,1
过点 与点（1，2）的直线的斜率为01 ，显然点 满足题意；
32 1
3,3  3,3
过点 与点（1，2）的直线的斜率为 31 2，显然点 不满足题意；
22
 0
3,2 2,3
过点 与点（1，2）的直线的斜率为 31 ，显然点 不满足题意；
0,1
即点 在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上，
故选：B.
A(2,4) B(a,5)
7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点 ， ，且倾斜角为135°，则a的值
为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
k tan135 1
由直线斜率的定义知, AB ,
54
k 
由直线的斜率公式可得, AB a2 ，
54
1
所以a2 ,解得a1.
故选:D
8．（2019·浙江省高二期中）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
 3
[0, ][ ,)
A．[0，π) B． 4 4
  
[0, ] [0, ][ ,)
C． 4 D． 4 2【答案】B
【解析】
直线xsinα+y+2＝0的斜率为k＝﹣sinα，
∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1
 3
∴倾斜角的取值范围是[0， 4 ]∪[4 π，π）
故选：B．
 
tan   3
 
9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l的倾斜角为，若  3  ，则
（ ）

5
A．0 B． 2 C． 6 D．
【答案】A
【解析】
  tan 3
tan    3
 
 3  1 3tan ，解得 tan0 ，
0 0

， .
故选:A
   2
  , U  , 
10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是 3 2  2 3 ，则此直线的斜
率的取值范围是（ ）
 
 3, 3 , 3U  3,
A．  B．  
 3 3  3  3 
 ,  , U  ,
C． D． 
3 3 3 3
     
【答案】B
【解析】   2    2
  , U  ,    , U  , 
因为直线倾斜角的范围是 3 2  2 3 ,又直线的斜率k tan, 3 2  2 3 .故
 2
tantan  3 tantan  3
3 或 3 .
 
k , 3U  3,
故   .
故选：B
二、多选题
11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( )
 l 0 180
A．若 是直线 的倾斜角，则
k l kR
B．若 是直线 的斜率，则
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【答案】ABC
【解析】
 l 0 180
A. 若 是直线 的倾斜角，则 ,是正确的；
k l k tanR
B. 若 是直线 的斜率，则 ，是正确的；
C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；
D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率.
故选：ABC
12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；
D．坐标平面上所有的直线都有斜率．
【答案】BD
【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率
当倾斜角为90时，斜率不存在
故选：BD
l :x y10 l :(k1)xkyk 0(kR)
13．（2018·全国单元测试）已知直线 1 ，动直线 2 ，则下列结
论错误的是（ ）
l l l
k k
A．不存在 ，使得 2的倾斜角为90° B．对任意的 ， 1与 2都有公共点
l l l l
k k
C．对任意的 ， 1与 2都不重合 D．对任意的 ， 1与 2都不垂直
【答案】AC
【解析】
逐一考查所给的选项：
l
k 0 x0
A.存在 ，使得 2的方程为 ，其倾斜角为90°，故选项不正确．
l :x y10 0,1 l :k1xkyk 0kRkx y1x0
B直线 1 过定点 ，直线 2 过定
0,1
点 ，故B是正确的．
1 1 1
1
x x y 0
C.当 2 时，直线 l 2 的方程为2 2 2 ，即x y10， l 1 与 l 2 都重合，选项C错误；
1k11k 0 l l
k
D.两直线重合，则： ，方程无解，故对任意的 ， 1与 2都不垂直，选项D正确．
故选：AC.
三、填空题
3
14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P(－ ，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角
为120°，则点Q的坐标为_____．
【答案】(0，－2)
【解析】
Q y Q
0,y
因为 在 轴上，所以可设 点坐标为 ，tan120  3
又因为 ，
y1
 3
则0 3 ，解得y 2，
Q0,2 0,2
因此 ，故答案为 .
15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经
过______个象限.
[0,p)
【答案】 0，2，3
【解析】
0,
平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为 ，
一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴；
也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时；
也可能不经过任何象限，如坐标轴；
所以一条直线可能经过0或2或3个象限．
0,
故答案为： ，0或2或3．
16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.
【答案】[0°，45°)∪(135°，180°)
【解析】
直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大
由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的
斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，
45°)∪(135°，180°)
故答案为[0°，45°)∪(135°，180°)
P1,0 A2,1 B3,2
17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l经过点 且与以 ， 为端
l
AB
点的线段 有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围为____． 3
[0, ] [ ,)

【答案】 4 4
【解析】
l l 
当直线 过B时，设直线 的倾斜角为 ，则
3
tan1
4
l l 
当直线 过A时，设直线 的倾斜角为 ，则

tan1
4
P1,0 A2,1 B3,2
l
综合：直线l经过点 且与以 ， 为端点的线段AB有公共点时，直线 的倾斜角的
  3 
0,  ,
 
取值范围为 4 4 
四、解答题
A1,2
120
18．（2019·全国高一课时练习）已知点 ，在y轴上求一点P，使直线AP的倾斜角为 ．
 
P 0,2 3
【答案】
【解析】
y2 y2
k 
设P(0,y)，  PA 01 ，tan120＝ 01 ，y 2 3，
(0,2 3)
P点坐标为 .
y1
19．（2019·全国高一课时练习）点M(x,y)在函数y 2x8的图像上，当x[2,5]时，求 x1的取
值范围.
 1 5
 ,
 
【答案】 6 3【解析】
y1 y(1)

x1 x(1) 的几何意义是过M(x,y),N(1,1)两点的直线的斜率，点M在线段
y 2x8,x[2,5] x2 y 4 M(2,4) N(1,1)
上运动，易知当 时， ，此时 与 两项连线的斜率最大，
5
为3；
1 1 y1 5
  剟
当x5时，y 2，此时M(5,2)与N(1,1)两点连线的斜率最小，为 6 . 6 x1 3,即HF
 1 5
 ,
 
的取值范围为 6 3
l x3y20 
20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线 ： 的倾斜角为角 .
（1）求tan；
sin cos2
（2）求 ， 的值.
1 10 4

【答案】（1） 3；（2） 10 ；5
【解析】
1

（1）因为直线x3y20的斜率为 3，且直线的倾斜角为角，
1
tan
所以 3
1
tan
（2）由（1）知 3， 10  10
sin sin
 sin 1  10  10
tan   
 cos 3 解得  3 10 或  3 10 ，
cos cos
 sin2cos21 
 10

 10
 10
sin
 10

因为 ，所以
   3 10
  ,  cos
 2    10
2
 3 10  4
cos22cos212  1
 
10 5
 
l 3xmy20 
21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线 的方程为 ，其倾斜角为 .
 m
（1）写出 关于 的函数解析式；
 3
（2）若 , ，求 的取值范围.
3 4  m
 3
arctan ,m0

m


 ,m0
【答案】（1） 2 ；（2） .

 3
 arctan ,m0 m� ( 3, 3 )
 m
【解析】


（1）直线l的方程为3xmy20，其倾斜角为，当m0时， 2
3 3
当 时，则斜率k tan ，arctan ，
m0 m m
3 3
当 时，则斜率k tan ，arctan ，
m0 m m
 3
arctan ,m0

m


 ,m0
所以 2 ；

 3
arctan ,m0

 m骣  3
�琪 琪 , k = � ( 3,ノ ) ,m ( 0, 3 )
（2）当 琪桫3 2 时， m ，


当 2 时，m0，
骣 3 3
�琪 琪 , k = �(� � , 1),m ( 3,0)
当 琪桫2 4 时， m ，
( )
m� 3, 3
综上所述： .
P(0,1) A(1,2)、B(2,1)
22．（2019·全国高一课时练习）经过点 作直线l，若直线l与连接 的线段总有公
共点.
（1）求直线l斜率k的范围；

（2）直线l倾斜角 的范围；
 3
0 或 
【答案】（1）1k 1（2） 4 4
【解析】
2(1)
k  1
（1） pA 10
1(1)
k  1
pB 20
l

与线段AB相交
k k k
pA pB
1k 1
0tan1或1tan0
（2）由（1）知
  
y tanx在  0,  ( ,0)
由于  2 及 2 均为减函数
 3
0 或 
4 423．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy中，点A坐标为(2,0)，点B坐标为(4,3)，点C坐标为
 
AM tAB
(1,3)，且 （t∈R）.
(1) 若CM⊥AB，求t的值；
(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM的斜率k和倾斜角θ的取值范围.
1 3
t  [arctan2, ]
【答案】(1) 5；(2) k(.,1][2,]， 4
【解析】
 A  B  42,30(6,3)  A  M  t  A  B  (6t,3t)
(1)由题意可得 ， ，
 A  C  12,30(3,3) C  M    A  M    A  C  (6t3,3t3)
，所以 ，
 
  CM AB 66t333t345t90
∵CM  AB，则CM  AB，∴ ，
1
t 
∴解得 5；
 
0t 1 AM tAB
(2)由 ， ，可得点M在线段AB上，由题中A、B、C点坐标，可得经过A、C两点的直
3
线的斜率 k 1 ，对应的倾斜角为 4 ，经过C、B两点的直线的斜率 k 2 ，对应的倾斜角为arctan2,
1 2
则由图像可知(如图所示)，3
[arctan2, ]
直线CM的斜率k的取值范围为：k 1或k 2，倾斜角的范围为： 4 .