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专题 02 预备知识二：集合间的基本关系
1、理解集合之间的包含与相等的含义；
2、能识别给定集合的子集，了解空集含义
3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换
1、子集、空集与Venn图
1.1子集的定义：
一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，我们就说这两个集合
有包含关系，称集合 为集合 的 子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“
包含 ”）。
1.2 Venn图：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 图。则上述集合 和集合
的包含关系，可以用如下 图表示：
要点说明：
①子集的定义可以理解为：若任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B.这可以作为证明A⊆B的方法；
②规定：空集是任何集合的子集；
③任何一个集合是它本身的子集，记作A A；
④包含关系具有传递性，即若A B，且B C，则A C；
⑤集合 是集合 的子集不能理解为集合 是由集合 中的“部分元素”组成的，因为集合 可能
是空集，也可能是集合 ．
⑥注意符号“ ”与“ ”的区别：“ ”只用于集合与 集合之间，如{0} N，而不能写成{0} N；“
”只能用于元素与集合之间，如0 N，而不能写成0 N．
2、集合的相等
如果集合 是集合 的子集（ ），且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合 与集合
中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 。
要点说明：
①若 且 ，则 ；反之，如果 ，则 且 。这就给出了我们证明两个
集合全等的方法，即预证 ，只需证 且 都成立即可；
②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；
③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。
④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；
⑤集合中的关系与实数中的结论类比
实数 集合
包含两层含义： ，或 A B包含两层含义： ，或
若 ，且 ，则 若A B，且A B，则A＝B
若 ， ，则 若A B，B C，则A C
3、真子集
真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合B的
真子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
要点说明：
理解真子集的定义要注意一下几点：
①空集是任何非空集合的真子集；
②对于集合A，B，C，如果 ， ，那么 ；
③若 ，则 与 有两种可能的关系：即 或 ；
4、空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；
要点说明：
空集的性质：
①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即A≠∅；
③空集是任何非空集合的真子集，即若∅⊆A，则 ，反之也成立。
④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；
对点特训一：判断集合子集（真子集）个数
典型例题
例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合 的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【分析】首先判断出集合 有2个元素，再求子集个数即可.
【详解】易知集合 有2个元素，
所以集合 的子集个数是 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：D.
例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足 的集合M的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据子集的概念可得集合 的个数.
【详解】因为 ，所以集合 可能为： ， ， ， 共4种情况.
故选：C
精练
1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合 ， ，则 的子集个数为
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据 ，求出集合 中元素的个数，根据 个元素的集合，其子集个数
为 个.
【详解】 ， ，
当 ， 时， ，
当 ， 或 ， 时， ，
当 ， 时， ，
，
中元素的个数是 个，
的子集个数为 个.
故选：A.
2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合 的子集个数为 ．
【答案】8
【分析】首先计算出集合A，再根据子集个数的公式得出答案.
【详解】由题意可知 ，所以集合A的子集的个数为
故答案为：8
对点特训二：求集合子集（真子集）
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合 的一个子集是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】先化简集合 ，结合选项可得答案.
【详解】因为 ，所以 的子集有 ， ；
故选：D.
例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足
的集合 有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.
【详解】因为 ，即有 ，
所以 中定有 和3，故排除B，又因为 是 的真子集，故排除D．
故选：AC.
精练
1．（23-24高三上·四川·期末）集合 的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】 ，故A错误；
，故B错误；
因为 是集合 的子集，但不是真子集，故D错误；
是集合 的真子集，故C正确.
故选：C.
2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足 ⫋ ，则这样的集合M
可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据子集和真子集的概念进行求解.
【详解】因为 ⫋ ，故 或 或 ，
ABC正确，D错误.
故选：ABC
对点特训三：判断集合的包含关系
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． ⫋
C． ⫋ D．
【答案】B
【分析】根据集合 ， 元素的特征可判断它们的包含关系.
【详解】因为 ， ，
故 ⫋
故选：B
例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 ， ，则正
确表示 与 的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意求出 ，进而 ，结合韦恩图即可求解.
【详解】由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 .
故选：B
精练
1．（2024·广东·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合 的元素特性，可得集合间的关系.
【详解】由集合 ， ，得 .
故选：D
2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简集合 ，由元素与集合，集合与集合之间的关系即可判断.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】
由已知， ，从而 ， 不是 的子集.
故选：C.
对点特训四：根据集合的包含关系求参数
典型例题
例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合 ,若 ,则 （ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据A是B的子集，分类讨论 的值，然后检验是否符合题意.
【详解】由已知得,若 ,解得 ，
此时 ，符合题意;
若 ,解得 ,
此时 ,不符合题意;
若 ,解得 ,此时 ,不符合题意,
综上所述, .
故选:C.
例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合 ， ，若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得.
【详解】集合 ， ，由 ，得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A
精练
1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系，讨论 或 或 ，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择.
【详解】因为 ，故 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司①当 时， ，则 ，与元素的互异性矛盾，故 不成立；
②当 时，解得 ，与元素的互异性矛盾，故 不成立；
③当 时，即 ，则 ， ，故 成立，故 .
故选：C．
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合 ， ．若 ，则实数 的取值集合为
．
【答案】
【分析】
根据 ，得到集合 的元素都是集合 的元素，即可求得 的值.
【详解】由题意 ，所以 或 ，则 或 ，
所以实数 的取值集合为 .
故答案为： .
对点特训五：判断两个集合是否相等
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】A
【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样.
【详解】A：根据集合元素具有无序性，则 ，故A正确；
B： 和 是不同元素，故B错误；
C：图为 中的元素是有序实数对，而 中的元素是实数，所以C错误；
D：因为 中有两个元素，即4，3，而 中有一个元素，即 ，所以D错误.
故选：A
例题2．（23-24高一上·上海·期中） 是有理数集，集合 ，在下列集合
中：
① ；② ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司③ ；④ ．
与集合 相等的集合序号是 .
【答案】④
【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集
合 一致即可.
【详解】对于①，因为 ，设 ，
则 ，
不妨取 ，可知 ，而 ，显然 ，所以①与集合 不相等；
对于②，令 ，则 ，
显然 ，但 ，即②与集合 不相等；
对于③，当 时，此时 ，即 ，
而集合 中不包含元素0，所以③与集合 不相等；
对于④，令 ，
则 ，其中 ，
所以④与集合 相等；
故答案为：④
精练
1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． 整数 ， 整数集
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】C
【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可.
【详解】A选项， 整数 中的元素是整数， 整数集 中的元素是整数集，故不是同一集合；
B选项， 中的元素是 ， 中的元素是 ，故不是同一集合；
C选项， 与 都表示直线 上的所有点，故是同一集合；
D选项， 中的元素是数1，2， 中的元素是有序数对 ，故不是同一集合；
故选：C.
2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（ ）
A．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可.
【详解】对于选项A， 是点集, 是数集，所以不是相等集合；
对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合；
对于选项C， ,所以是相等集合；
对于选项D, 是空集没有元素， 有元素为0，所以不是相等集合.
故选：BC.
对点特训六：根据两个集合相等求参数
典型例题
例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知 ，其中 ，则 （ ）
A．0 B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】
分二次项系数是否为0结合韦达定理求解.
【详解】
由题意知： 为方程 的根，
当 时， ；
当 时，二次方程有两个相同的根，则有 ，此时 .
故选:B.
例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合 ， ，且 ，则实数
．
【答案】
【分析】根据集合关系 ，可得 ，从而可求解.
【详解】由题意得 ，
则 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合 ，其中 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据集合相等的概念列式求解即可.
【详解】∵集合 ，
当 且 时，结合 ，解得 ，
经检验，不符合元素的互异性，舍去；
当 且 时，结合 ，解得 ，经检验，符合题意，
故 .
故选：C.
2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ，若 ，则c的值为 .
【答案】
【分析】根据集合 ，利用元素的互异性分类讨论求解.
【详解】①若 ，消去b得 ，
当 时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，
故 ， ，即 ，此时集合B中的三个元素也相同，
∴ 舍去，即此时无解．
②若 ，消去 得 ，同理 ，
∴ ，经检验满足题意
故答案为：
对点特训七：空集
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：① ；② ；③
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司；④ ；⑤ ；⑥ 其中不正确的是（ ）
A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
【答案】D
【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可.
【详解】由集合的性质及关系知， 、 ，①②对；
由空集的性质知， 、 、 ，③④错，⑤对；
由元素与集合关系知， ，⑥对.
故选：D
例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合 是任何集合的子集，则a
的取值范围值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析可知方程 无解，结合 判别式分析求解.
【详解】由题意可知：集合 是空集，即方程 无解，
则 ，解得 ，
所以a的取值范围值是 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据空集的定义，可得答案.
【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1） 正确；
对于（2）， 表示有一个元素0的单元素集合，所以（2） 错误；
对于（3）， ，所以 错误；
对于（4），由于空集是任何集合的子集，故 正确．
所以正确的有：（1），（4）共2个．
故选：B．
2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合 ，则实数a的值的集合为
．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】分 与 两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当 时， 满足题意；
当 时，应满足 ，解得 ；
综上可知，a的值的集合为 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合 ，则下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解.
【详解】 ,
所以 ， ， ，故ABD错误,C正确,
故选：C
2．（2024·云南贵州·二模）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系.
【详解】由题意可得 ，所以 .
故选：A
3．（2024·广东广州·一模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由 ，得 ，即 ，此时 ，
由 ，得 ，而 ，所以 .
故选：A
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合 和 关系
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可.
【详解】易知 ，显然 ，且互不包含.
故选：A
5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合 ，则下列选项中正确的是
（ ）
A． ⫋ B． ⫌ C． D．
【答案】B
【分析】求出 ，即可得出两集合之间的关系.
【详解】由题意， 在 中， ， ，
∴ ，∴ ⫌ ，
故选：B.
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集 ，集合 ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合 ，与集合 对比，结合子集的定义即可得答案．
【详解】 集合 , ， ， , ，
．
故选：B．
7．（2024·浙江·二模）已知集合 ， ，若 ，则满足集合 的个数为
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【详解】因为 ，
所以 可以是 ，共8个，
故选：D
8．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合 有15个真子集，则实数m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解.
【详解】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以 .
故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确.
【详解】A选项， ，A错误；
B选项， ，B正确；
C选项， ，C错误；
D选项，只有当 和 时， ，故 ，D正确.
故选：BD
10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合 恰有两个子集，则 的值可能是
（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】AB
【分析】根据集合 为单元素集，即可分类对 讨论求解.
【详解】集合 恰有两个子集，则集合 中只有一个元素，
当 时， ，符合要求，
当 时， ，此时 ，符合要求，
故 或 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：AB
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合 ， ，且 ．则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用 建立不等关系，求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为
.
【答案】
【分析】由于方程 中 项含参数 ，需要对其分两种情况 和 讨论即可.
【详解】由题意知，当 时， ，满足题意 ；
当 时，方程 的根是 ，由 得： ，即 或 ，
解得 或 ，
综上， 的值为 .
故答案是： .
四、解答题
13．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合
(1)若 是空集，求 的取值范围
(2)若 中只有一个元素，求 的值并把这个元素写出来
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）讨论当 时和当 时两种情况，当 时， ，从而可得答案.
（2）讨论当 时和当 时两种情况，列出方程，即可得解；
【详解】（1）当 时，原方程可化为 ，得 ，不符合题意；
当 即 时解集为空集，
所以 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，原方程可化为 ，得 ，符合题意；
当 时，方程 为一元二次方程，由题意得， ，得 .
所以当 或 时，集合A中只有一个元素．
14．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合 且满足① ;②若 ，则 .
(1) 能否为单元素集合，为什么?
(2)求出只含有两个元素的集合 ；
(3)满足题设条件的集合 共有几个?能否列出来?
【答案】(1) 不为单元素集合，理由见解析；
(2) 或 或 ；
(3)共7个， ， ， ， ， ， ， .
【分析】（1）假设 为单元素集合，其元素为 ，则得到方程，求出 ，不为正整数，得到结论；
（2）分析得到 ，则 ，故只需满足 ，从而由12的正整数
公约数求出答案；
（3）在（2）的基础上进行求解.
【详解】（1）假设 为单元素集合，其元素为 ，则 ，
故 ，解得 或 ，均不是正整数，不满足 ，
故假设不成立， 不为单元素集合；
（2）由题意得 ，则 ，
故只需满足 ，
其中能整除 的正整数有 ，
令 ，即 时， ，此时集合 ，
令 ，即 时， ，此时集合 ，
令 ，即 时， ，此时集合 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司令 ，即 时， ，此时集合 ，
令 ，即 时， ，此时集合 ，
令 ，即 时， ，此时集合 ，
综上： 或 或 ；
（3）由（2）可知， 中元素只能从 选取，且 同时出现， 同时出现， 同时出现，
故满足条件的集合为 ， ， ， ， ， ， ，共7个.
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