文档内容
期中检测卷 01
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知等差数列{a}，S 是其前n项和，若S ＝a ＝10，则（ ）
n n 10 10
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．S＝18 D．S＝﹣20
5 5 5 5
【答案】D
【分析】设数列{a}的公差为d，由题意可得 ，解得a ＝﹣8，d＝2，再根
n 1
据通项公式和求和公式即可求出．
【解答】解：设数列{a}的公差为d，由题意可得 ，
n
解得a＝﹣8，d＝2，
1
∴a＝a+4d＝0，
5 1
S＝ ＝﹣20，
5
故选：D．
【知识点】等差数列的前n项和
2.若正项等比数列{a}，中，a•a＝a，a＝27，则该数列的公比为（ ）
n 1 3 2 5
A． B．1 C．3 D．9
【答案】C
【分析】根据题意，设数列{a}的公比为q，将a•a＝a，变形可得（a）2＝a，解可得a 的值，又由q3＝
n 1 3 2 2 2 2
1 / 17，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设数列{a}的公比为q，
n
若a•a＝a，则有（a）2＝a，解可得a＝1或0（舍），
1 3 2 2 2 2
a＝27，则q3＝ ＝27，
5
则q＝3，
故选：C．
【知识点】等比数列的通项公式
3.如图，点A（x ，f（x ）），B（x ，f（x ））在函数f（x）的图象上，且x ＜x ，f′（x）为f（x）的导
1 1 2 2 2 1
函数，则f′（x）与f′（x）的大小关系是（ ）
1 2
A．f′（x）＞f′（x） B．f′（x）＜f′（x）
1 2 1 2
C．f′（x）＝f′（x） D．不能确定
1 2
【答案】A
【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（x）为点A处切线的斜率，f′（x）为点B处切线的斜率，
1 2
结合函数的图象分析切线的斜率，比较即可得答案．
【解答】解：根据题意，点A（x，f（x）），B（x，f（x），f′（x）为f（x）的导函数，
1 1 2 2
则f′（x）为点A处切线的斜率，设其斜率为k，
1 1
f′（x）为点B处切线的斜率，设其斜率为k，
2 2
由函数的图象可得k＞k，
1 2
即有f′（x）＞f′（x）；
1 2
故选：A．
【知识点】导数及其几何意义
2 / 174.已知等比数列{a}的前n项和为S，且满足a＝2，S﹣S＝ ，则数列{a}的前4项和为（ ）
n n 1 4 3 n
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设等比数列{a}的公比为q，分析可得a ＝ ，由等比数列的通项公式可得q的值，
n 4
进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{a}的公比为q，
n
若a＝2，S﹣S＝ ，即a＝ ，
1 4 3 4
则q3＝ ＝ ，则q＝ ，
故数列{a}的前4项和S＝ ＝ ，
n 4
故选：A．
【知识点】等比数列的前n项和
5.已知函数f（x）在x 处的导数为f′（x），则 等于（ ）
0 0
A．mf′（x） B．﹣mf′（x） C． D．
0 0
【答案】A
【 分 析 】 根 据 题 意 ， 由 极 限 的 运 算 性 质 可 得 ＝ m
，结合导数的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意， ＝m ＝mf′（x），
0
故选：A．
【知识点】导数及其几何意义
6.设函数f'（x）是偶函数f（x）（x R）的导数，f（1）＝1，当x＜0时，xf'（x）+f（x）＞0，则使|f（x）|
∈
3 / 17＞ 成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【答案】C
【分析】设F（x）＝xf（x），根据函数的单调性和奇偶性问题转化为|F（x）|＞F（1）＝1，求出不等式
的解集即可．
【解答】解：设F（x）＝xf（x），
易知函数F（x）为奇函数，且当x＜0时，F′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，
故函数F（x）在R递增，
将目标不等式转化为|F（x）|＞F（1）＝1，
结合函数的单调性得：|x|＞1，解得：x＜﹣1或x＞1，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
7.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比
例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C
所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励
68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金 36200元，则“衰
分比”与丁所获得的奖金分别为（ ）
A．20%，14580元 B．10%，14580元
C．20%，10800元 D．10%，10800元
【答案】B
【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a}，设“衰分比”为m，则数列的公比
n
为1﹣m，由等比数列的通项公式可得 ，进而计算可得m与a 的值，即
4
可得答案．
【解答】解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a}，设“衰分比”为m，则数列的
n
公比为1﹣m，
则有 ，则有a+a＝32580，
2 4
则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，
4 / 17则有 +a＝32580，解可得a＝14580，
4 4
即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，
故选：B．
【知识点】等比数列的通项公式
8.设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x）＞0，且∀x，x R（x≠x），f（x）+f（x）＜2f（
1 2 1 2 1 2
∈
），则下列各项中不一定正确的是（ ）
A．f（2）＜f（e）＜f（ ）
B．f′（ ）＜f′（e）＜πf′（2）
C．f（2）π＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）
D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
【答案】C
【 分 析 】 f′ （ x ） ＞ 0 ， ∴ f （ x ） 在 R 上 单 调 递 增 ， 由
， 可 得 ＜
，可得y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．进而判断出正误．
【解答】解：∵f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增，
∵ ，
∴ ＜ ，
∴y＝f（x）的图象如图所示，图象是向上凸．
∴f（2）＜f（e）＜f（ ），f′（ ）＜f′（e）＜f′（2），可知：A，B正确．
π π
∵f（3）﹣f（2）＝ ，表示点A（2，f（2）），B（3，f（3））的连线的斜率．
由图可知：f′（3）＜k ＜f′（2），故D正确．
AB
C项无法推出，
故选：C．
5 / 17【知识点】利用导数研究函数的单调性
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求的；错选或多选不得分。
9.已知{a}为等差数列，其前n项和S，a+a＜0，则下列结论一定正确的是（ ）
n n 7 8
A．若a＞0，则公差d＜0 B．若a＜0，则S 最小
1 1 7
C．S ＜0 D．S ＜0
15 14
【答案】AD
【分析】由题意利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质，得出结论．
【解答】解：A、当a＞0时，因为a+a＝2a+13d＜0，所以d＜0，故A正确．
1 7 8 1
B、当a＜0，d＜0时，满足a+a＜0，S 无最小值，故B错误．
1 7 8 n
C、当a ＞0，d＜0，且满足a+a ＜0时，a ＜0，此时S ＝15a ，当a ＜0，d＞0，且满足
1 7 8 8 15 8 1
a+a＜0时，a 的符号无法确定，故C错误．
7 8 8
D、S ＝7（a+a）＜0，故D正确．
14 7 8
故选：AD．
【知识点】等差数列的前n项和
10.设等比数列{a}的公比为q，其前n项和为S ，前n项积为T ，并满足条件a ＞1，且a a ＞1，
n n n 1 2020 2021
（a ﹣1）（a ﹣1）＜0，下列结论正确的是（ ）
2020 2021
A．S ＜S
2020 2021
B．a a ﹣1＜0
2020 2022
C．数列{T}无最大值
n
D．T 是数列{T}中的最大值
2020 n
【答案】ABD
【分析】根据题意，分析可得a ＞1，a ＜1，从而有a＞1，0＜q＜1，则等比数列{a}为正项的递减数
2020 2021 1 n
列．再结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案即可得到正确选项．
6 / 17【解答】解：根据题意，根据题意，等比数列{a}的公比为q，若a a ＞1，则（aq2019）（aq2020）＝
n 2020 2021 1 1
（a）2（q4039）＞1，
1
又由a＞1，必有q＞0，则数列{a}各项均为正值，
1 n
若（a ﹣1）（a ﹣1）＜0，必有a ＞1，0＜a ＜1，则必有0＜q＜1，
2020 2021 2020 2021
依次分析选项：
对于A，数列{a}各项均为正值，则S ﹣S ＝a ＞0，必有S ＜S ，A正确；
n 2021 2020 2021 2020 2021
对于B，若0＜a ＜1，则a a ﹣1＝（a ）2﹣1＜0，B正确，
2021 2020 2022 2021
对于C，根据a＞a＞…＞a ＞1＞a ＞…＞0，可知T 是数列{T}中的最大项，C错误；
1 2 2020 2021 2020 n
对于D，易得D正确，
故选：ABD．
【知识点】等比数列的前n项和
11.已知函数f（x）＝xln（1+x），则（ ）
A．f（x）在（0，+∞）单调递增
B．f（x）有两个零点
C．曲线y＝f（x）在点（﹣ ，f（﹣ ））处切线的斜率为﹣1﹣ln2
D．f（x）是偶函数
【答案】AC
【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系，导数的几何意义及函数性质分别检验各选项即可判
断．
【解答】解：函数定义域（﹣1，+∞），不关于原点对称，D错误，
因为 ，
当x＜0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）单调递增，A正确，
＝ ，
当x＞﹣1时，f″（x）＞0，f′（x）单调递增且f′（0）＝0，
故当x （﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x （0，+∞）时，f′（x）＞0，f
（x）单调递增，
∈ ∈
又f（0）＝0，
所以f（x）只有一个零点，B正确，
因为f′（﹣ ）＝ln ﹣1＝﹣1﹣ln2，C 正确．
故选：AC．
【知识点】导数及其几何意义、利用导数研究函数的单调性
12.已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求
7 / 17使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（ ）
A．﹣2ln2﹣ B．﹣ln2﹣ C．0 D．ln2﹣
【答案】BCD
【分析】求出函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，问题转化为b＞2lnx﹣x2﹣3x，设 （x）
＝2lnx﹣x2﹣3x（x （0，+∞）），根据函数的单调性求出b的范围即可．
φ
【解答】解：∵f'（x）＝3x2+6x+b，
∈
∴可设f（x）＝x3+3x2+bc+c，又f（0）＝0，故c＝0，
从而f（x）＝x3+3x2+bx，
∴g（x）＝f（x）﹣2xlnx＝x3+3x2+bx﹣2xlnx，
则g（x）的定义域是（0，+∞），
则g（x）＞0可化为x2+3x+b﹣2lnx＞0，即b＞2lnx﹣x2﹣3x，
设 （x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x （0，+∞）），
φ ∈
则 ′（x）＝ ﹣2x﹣3＝ ，
φ
令 ′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，令 ′（x）＜0，解得：x＞ ，
φ φ
故 （x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，
φ
故当x＝ 时， （x）取得最大值 （ ）＝﹣2ln2﹣ ，
φ φ
要使g（x）＞0恒成立，则b＞﹣2ln2﹣ 即可，
故选：BCD．
【知识点】利用导数研究函数的最值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.已知等差数列{a}的首项为3，公差为2，则a ＝ ．
n 10
【答案】21
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列{a}的首项为3，公差为2，
n
则a ＝a+9d＝3+9×2＝21．
10 1
故答案为：21．
【知识点】等差数列的通项公式
14.曲线f（x）＝sinxcos2x在点（ ，f（ ））处的切线方程为 ．
8 / 17【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得所
求切线的方程．
【解答】解：f（x）＝sinxcos2x的导数为f′（x）＝cosxcos2x﹣2sinxsin2x，
可得在点（ ，f（ ））处的切线斜率为k＝f′（ ）＝cos cos ﹣2sin sin ＝
﹣ ，
又f（ ）＝sin cos ＝0，
可得切线的方程为y＝﹣ （x﹣ ），即为4x+2 y﹣ ＝0．
故答案为：4x+2 y﹣ ＝0．
π
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
π
15.定义max{a，b}＝ 且f（x）＝ ﹣2e，g（x）＝ ，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，
则h（x）的极大值为 ，单调递增区间为 ．
【分析】对g（x）求导，分析g′（x）的正负，g（x）的单调性，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的
大致图象如下：
h（x）的单调递增区间为[ ，e]．
【解答】解：因为g（x）＝ （x＞0），
所以g′（x）＝ ，
令g′（x）＝0，则x＝e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x） ＝g（e）＝ ，
极大值
由f（x）＝g（x），即x﹣2e＝ ，得x＝ ，
作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：
9 / 17则h（x） ＝g（e）＝ ，且在（0， ），（e，+∞）上单调递减，
极大值
在[ ，e]上单调递增，
则h（x）的单调递增区间为[ ，e]．
故答案为： ，[ ，e]．
【知识点】利用导数研究函数的极值
16.设公差不为0的等差数列{a}的前n项和为S ．若数列{a}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得
n n n
a，a，a成等比数列，a ，a ，a 也成等比数列，则 的最小值为 ．
r s t 2r 2s 2t
【答案】45
【分析】根据题意，设a ＝pn+q，由等比数列的性质可得 ，变形可得q＝
n
0，然后得到 ＝ + + ，结合基本不等式的性质，可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{a}为等差数列，设a＝pn+q，
n n
若存在三个不同的正整数r，s，t，使得a，a，a成等比数列，a ，a ，a 也成等比数列，
r s t 2r 2s 2t
则有 ，即
联立①②，变形可得p2rt＝p2s2，
又由等差数列{a}的公差不为0，即p≠0，则有rt＝s2，
n
代入①式可得pq（r+t）＝2pqs，
又由r，s，t互不相等且rt＝s2，则r+t≠2s，必有q＝0，则a＝pn，
n
10 / 17所以S＝a＝p，S＝ ＝ ，
1 1 n
故 ＝ ＝ + + ，
设f（n）＝ + + ，
则f（n）＝ + + ≥2 + ＝2 + ，
当且仅当n2＝1980时等号成立，此时n不是正整数，不符合题意，
而44＜ ＜45，
所以f（44）＝ + + ＝45，f（45）＝ + + ＝45，
则有f（45）＝f（44），即 的最小值为45，
故答案为：45．
【知识点】等比数列的性质、数列与不等式的综合、等比数列的前n项和
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，a＝2．
（1）若c＝1，求b；
（2）若△ABC的面积为 ，求c．
【分析】（1）由A，B，C成等差数列及三角形内角和为 可得B的值，在三角形中由余弦定理可得b的
值；
π
（2）由三角形的面积公式求出c边．
【解答】解：（1）因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，而A+B+C＝ ，
π
所以B＝ ，
因为a＝2，c＝1，由余弦定理可得b＝ ＝ ＝ ；
（2）因为S ＝ acsinB＝ ＝ c＝ ，
△ABC
所以c＝2．
【知识点】余弦定理、等比数列的通项公式
11 / 1718.已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间∈[﹣2，1]上的最大值；
（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．
【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；
（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x﹣1＝（x+1）（3x﹣1），
令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或 ，令f′（x）＜0，解得 ，
∴函数f（x）在 单调递增，在 单调递减，
由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；
（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或 ，
当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或 ，令f′（x）＜0，解得 ，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a）， 单调递增，在 单调递减，
∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的极值
19.已知函数f（x）＝x2﹣（2+a）x+alnx（a R）．
（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；∈
（2）若对∀x （0，+∞），f（x）≥（a+1）lnx﹣2x成立，求实数a的取值范围．
∈
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，即可求
解函数的单调性；
（2）由已知不等式恒成立，分离参数后转化为求解相应函数的范围，构造函数，结合导数可
求．
【解答】解：（1）函数的定义域（0，+∞）， ＝ ，
①当0＜ 即0＜a＜2时，当x ，（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递
增，
当x 时，f′（x）＜0，函数单调递减，
②当 即a＝2时，f′（x）＝ ≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
12 / 17③当 即a＞2时，x 时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x 时，f′（x）＞0，函数单调递增；
综上可得，当0＜a＜2时，函数的单调递增区间（0， ），（1，+∞），单调递减区间（
）；
当a＝2时，函数的单调递增区间（0，+∞），没有递减区间；
当a＞2时，函数的单调递增区间（0，1），（ ，+∞），单调递减区间（1， ）；
（2）因为∀x （0，+∞），f（x）≥（a+1）lnx﹣2x成立，
所以，x2﹣（a+2）x+alnx≥（a+1）lnx﹣2x成立，即x2﹣ax﹣lnx≥0恒成立，
∈
所以a ，
令g（x）＝ ，x＞0，
则 ，
令h（x）＝x2+lnx﹣1，x＞0，则 ，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝0，
所以当0＜x＜1时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x＞1时，h（x）
＞0，即g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
故当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝1，
所以a≤1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值
20.已知数列{a}满足aa…a＝1﹣a．
n 1 2 n n
（1）求证数列{ }是等差数列，并求数列{a}的通项公式；
n
（2）设T＝aa……a，b＝a2T2，证明：b+b+…+b＜ ．
n 1 2 n n n n 1 2 n
【分析】（1）先由题设⇒a ＝ ，再利用等差数列的定义证明结论，然后求得a，进而求得a；
n+1 1 n
（2）先由（1）求得T 与b，再利用放缩法与裂项相消法证明结论即可．
n n
【解答】证明：（1）∵aa…a＝1﹣a ，∴aa…a ＝1﹣a ，
1 2 n n 1 2 n+1 n+1
① ②
13 / 17由 得：a ＝ ，即a ＝ ，a ﹣1＝ ﹣1＝ ，
n+1 n+1 n+1
∴ ＝ ＝ ﹣1，
∴ ﹣ ＝﹣1，
又当n＝1时，有a＝1﹣a，解得：a＝ ，∴ ＝﹣2，
1 1 1
∴数列{ }是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，
∴ ＝﹣2﹣（n﹣1）＝﹣1﹣n，
∴a＝ ；
n
（2）由（1）可得：T＝aa…a＝ × ×…× ＝ ，
n 1 2 n
b ＝ （ ） 2× （ ） 2 ＝ ＝ ＝ ＜ ＜
n
＝ ﹣ ，
∴b+b+…+b＜ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ＝ ﹣ ＜ ．
1 2 n
【知识点】数列递推式、等差数列的性质
21.已知函数f（x）＝ax2+bx+c，f（x）＝ex．
1 2
（1）当a＝ ，b＝1，c＝0时，设f（x）＝mf （x）﹣f（x），且函数f（x）在R上单调递增．
2 1
①求实数m的取值范围；
②设h（x）＝（x2﹣3m）f（x），当实数m取最小值时，求函数h（x）的极小值．
2
（2）当a＝0，b＞1，c＝1时，证明：函数g（x）＝f（x）﹣f（x）有两个零点．
2 1
14 / 17【分析】（1）①求导得到f′（x）＝mex﹣x﹣1≥0恒成立，即m≥ 在R上恒成立，设 （x）＝
φ
，求函数的最大值得到答案．h（x）＝（x2﹣3）ex．求导得到函数单调性，得到极小值．
②由①可知，m＝1，则h（x）＝（x2﹣3）ex．求导数，得到极值点，分析单调性，进而求出h
（x）的极小值．
（2）根据题意得，函数g（x）＝ex﹣bx﹣1（b＞1），求导数，分析单调性，得到g（x） ＝
min
g（lnb）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），令p（b）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），通过求导数，分析单调性，
得到g（x） ＝g（lnb）＜0，g（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1），求导数分析单调性，得当b＞1时，
min
0＜lnb＜b，所以由零点存在性定理知，存在lnb＜x ＜b，使得g（x ）＝0．又g（0）＝0，所
1 1
以g（x）由两个零点．
【解答】解：（1）①f（x）＝mex﹣ ﹣x，得f′（x）＝mex﹣x﹣1，
由题意知f′（x）≥0在R上恒成立，∴m≥ 在R上恒成立．
令 （x）＝ ，则m≥ （x） ， ′（x）＝﹣ ，
max
φ φ φ
令 （x）＞0，得x＜0，令 ′（x）＜0得x＞0，
∴ （x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减，∴ （x） ＝ （0）＝1
max
φ φ
∴m≥1，即实数m的取值范围是[1，+∞）．
φ φ φ
②当实数m取最小值时，m＝1，∴h（x）＝（x2﹣3）ex．
h′（x）＝2xex+（x2﹣3）ex＝（x2+2x﹣3）ex，
令h′（x）＝0，解得x＝1或x＝3
当x＜﹣3或x＞1时，h′（x）＞0当﹣3＜x＜1时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x＝1时，h（x）取得极小值，极小值为﹣2e．
（2）当a＝0，c＝1时，函数g（x）＝ex﹣bx﹣1（b＞1），g′（x）＝ex﹣b
令g′（x）＝0，解得x＝lnb，
当x＜lnb时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，lnb）上单调递减，
当x＞lnb时，g′（x）＞0，g（x）在（lnb，+∞）上单调递增，
∴g（x） ＝g（lnb）＝b﹣blnb﹣1（b＞1）
min
令p（b）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），
则p′（b）＝1﹣lnb﹣1＝﹣lnb＜0，
∴p（b）在（1，+∞）上单调递减，
∴p（b）＜0，即∴g（x） ＝g（lnb）＜0，
min
g（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1）
令r（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1），则r′（b）＝eb﹣2b，
令t（b）＝eb﹣2b（b＞1），则t′（b）＝eb﹣2，
因为b＞1，∴t′（b）＝eb﹣2＞0，
∴r′（b）＝eb﹣2b在（1，+∞）上单调递增，∴r′（b）＞0．
r（b）在（1，+∞）上单调递增，所以r（b）＞0，即g（b）＞0．
15 / 17又当b＞1时，0＜lnb＜b
所以由零点存在性定理知，存在lnb＜x＜b，使得g（x）＝0．
1 1
又g（0）＝0，∴g（x）有两个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值
22.已知公差大于0的等差数列{a}的前n项和为S，且满足a•a＝﹣9，a+a＝﹣8．
n n 3 8 5 6
（1）求数列{a}的通项公式a；
n n
（2）若T＝|a|+|a|+|a|+…+|a|，求T 的表达式；
n 1 2 3 n n
（3）若 ，存在非零常数c，使得数列{b}是等差数列，存在n N*，不等式 成立，
n
∈
求k的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由等差数列的性质可得a、a 的值，据此求出d和a，计算可得答案，
3 8 1
（2）由（1）的结论可得数列的前7项均为负数，从第8项开始都为正数．据此分2种情况求
出T，综合可得答案，
n
（3）根据题意，求出S，即可得数列{b}的通项，由等差数列的性质分析c的值，即可得b＝
n n n
n，据此不等式不等式 等价于 成立．则只需 成立，结
合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，因为数列{a}是等差数列，设其公差为d，
n
则有a+a＝a+a＝﹣8，又由a•a＝﹣9，
3 8 5 6 3 8
则有a＝1，a＝﹣9或a＝﹣9，a＝1，
3 8 3 8
因为d＞0，故可得a＝﹣9，a＝1，则5d＝a﹣a＝10，
3 8 8 3
解得d＝2，a＝a+2d＝﹣9，故a＝﹣13．故a＝2n﹣15．
3 1 1 n
（2）根据（1）中所求，令a＝2n﹣15＞0，解得n＞7.5，
n
故数列的前7项均为负数，从第8项开始都为正数．
当n≤7时， ；
当n＞7时， ．
综上所述： ．
（3）由（1）中a＝2n﹣15．则 ，
n
故可得 ，因为存在非零常数，使得其为等差数列，
16 / 17故可得b+b ＝2b ，即 ，整理得c2+14c＝0，解得c＝﹣14，c＝0舍去．故
1 3 2
．
则存在n N*，不等式 成立，等价于存在n N*，
∈ ∈
不等式 成立．则只需 ，
且当n＝3时， ；当n＝4时， ，
故 的最小值为 ，则 即可；
故k的取值范围为（ ，+∞）．
【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的前n项和、数列与不等式的综合
17 / 17
