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3.3.2 抛物线的简单几何性质（2） -A基础练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练）A是抛物线 上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐
标原点，当 时， ,则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知
∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝
4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.故选A.
2．（2020·山东泰安一中高二月考）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛
物线 的焦点重合， 是C的准线与E的两个交点，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点为 所以椭圆的右焦点为 即 且
椭圆的方程为 抛物线准线为 代入椭圆方程
中得 故选B.
3．（2020·北京大兴区高二期末）已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 ( )
A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点
【答案】C
【解析】∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
4. （2020·全国高二课时练）P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA |,|BB |,|PP |,则有 ( )
1 1 1
1
A.|PP |=|AA |+|BB | B.|PP |= |AB|
1 1 1 1
2
1 1
C.|PP |> |AB| D.|PP |< |AB|
1 1
2 2
【答案】B
【解析】如图所示,根据题意,PP 是梯形AABB的中位线,
1 1 1
1 1 1
故|PP |= (|AA |+|BB |)= (|AF|+|BF|)= |AB|.
1 1 1
2 2 2
5．（多选题）（2020·山东黄岛高二月考）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线的
斜率为 且经过点 ，直线 与抛物线 交于点 ， 两点（点 在第一象限）、与抛物线的准
线交于点 ，若 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B． 为 中点 C． D．
【答案】ABC
【解析】如图所示：作 准线于 ， 轴于 ， 准线于 .
直线的斜率为 ，故 ， ， ，故 ， .
，代入抛物线得到 ； ，故 ，故 为
中点； ，故 ； ， ，故 ；故选： .
6．（多选题）（2020·江苏南通高二期中）设A，B是抛物线 上的两点， 是坐标原点，下
列结论成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，直线AB过定点
C．若 ， 到直线AB的距离不大于1
D．若直线AB过抛物线的焦点F，且 ，则
【答案】ACD
【解析】B.设直线 方程为 ， ， ， ， ，将直线 方程代入抛物线方
程 ，得 ，则 ， ， ， ，
．
于是直线 方程为 ，该直线过定点 ．故 不正确；
C. 到直线 的距离 ，即 正确；
A.
． 正确；
D.由题得 ,所以 ，不妨取 .所以 ，所以直线AB的方程为 ，所以 .
由题得
= .所以 .所以D正确.故选：ACD．
二、填空题
7．（2020·全国高二课时练）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上的一点，过
作 轴于 ，若 ，则线段 的长为__________.
【答案】
【解析】抛物线的准线方程为 ，由于 ，根据抛物线的定义可知 ，
将 代入抛物线方程得 ，所以 .
8．（2020·广东汕尾高二期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛
物线的一个交点为B,且⃗FA=3⃗FB,则|AB|=__________.
8
【答案】
3
m+1 2
【解析】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),∵⃗FA=3⃗FB,∴ = ,
2 3
4 8
∴m+1= ,AB= .
3 3
9.（2020·运城市景胜中学高二月考）已知双曲线C ： ＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物
1
线C ：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则抛物线C 的方程为________．
2 1 2
【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C ： ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴ ＝2，∴b＝
1
a，∴双曲线的渐近线方程为 x±y＝0，∴抛物线C ：x2＝2py(p＞0)的焦点 到双曲线的渐
2
近线的距离为 ＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
10.（2020·全国高二单元测）已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线上，点
．若 ，且 的面积为 ，则 ______．
【答案】2
【解析】由条件知 ，所以 ，所以 ，由抛物线的准线为
，及抛物线的定义可知，P点的横坐标为 ，不妨设点P在x轴上方，则P的
纵坐标为 ，
所以 ，解得 ．
三、解答题
11. （2020乌市一中高二月考）已知抛物线 的顶点在原点，焦点 在 轴正半轴上，抛物线上
一点 到其准线的距离为5，过点 的直线 依次与抛物线 及圆 交于 、
、 、 四点.（1）求抛物线 的方程；
（2）探究 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
【解析】（1）由题意，设抛物的方程为 ，
因为抛物线上一点 到其准线的距离为5，所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ；
（2）由（1）知，抛物线的焦点为 ，恰好为圆 的圆心，
设直线 的方程为 ，设 ， ，
因为过点 的直线 依次与抛物线 及圆 交于 、 、 、 四点，
根据抛物线的定义可得， ， ，
则 ，
由 得 ，所以 ，
因此 ，
即 为定值 .
12．（2020·湖北黄石高二月考）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多1，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹为 的方程
（2）设斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点，两个公共点，三
个公共点时 的相应取值范围.
【解析】
（1）设点 ，依题意， ，即 ，
整理的 ，
所以点 的轨迹 的方程为 .
（2）在点 的轨迹 中，记 ， ，
依题意，设直线 的方程为 ，
由方程组 得 ①
当 时，此时 ，把 代入轨迹 的方程得 ，
所以此时直线 与轨迹 恰有一个公共点 .
当 时，方程①的判别式为 ②
设直线 与 轴的交点为 ，则由 ，令 ，得 ③
（ⅰ）若 ，由②③解得 或 .即当 时，直线 与 没有公共点，与 有一个公共点，
故此时直线 与轨迹 恰有一个公共点.
（ⅱ）若 或 ，由②③解得 或 ，
即当 时，直线 与 有一个共点，与 有一个公共点.
当 时 ，直线 与 有两个共点，与 没有公共点.
故当 时，故此时直线 与轨迹 恰有两个公共点.
（ⅲ）若 ，由②③解得 或 ，
即当 时，直线 与 有两个共点，与 有一个公共点.
故当 时，故此时直线 与轨迹 恰有三个公共点.
综上所述，当 或 时直线 与轨迹 恰有一个公共点；
当 时，故此时直线 与轨迹 恰有两个公共点；
当 时，故此时直线 与轨迹 恰有三个公共点.
