文档内容
期中检测卷 02
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知定义域为 R的函数 f（x）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是
（ ）
A．f（a）＞f（b）＞f（0） B．f（0）＜f（c）＜f（d）
C．f（b）＜f（0）＜f（c） D．f（c）＜f（d）＜f（e）
【答案】D
【分析】根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系，找出函数f（x）的增区间和减区间，即可得
解．
【解答】解：由f（x）的导函数图象可知，f（x）在（a，b），（c，e）上单调递增，在（b，c）上单调
递减，
所以f（a）＜f（b），即A错误；
f（b）＞f（0）＞f（c），即B和C错误；
f（c）＜f（d）＜f（e），即D正确．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
2.在等差数列{a}中，若a+a+a+a+a＝400，则数列{a}的前13项和S ＝（ ）
n 5 6 7 8 9 n 13
A．260 B．520 C．1040 D．2080
【答案】C
1 / 18【分析】由已知结合等差数列的性质可求 ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】解：因为等差数列{a}中，a+a+a+a+a＝5a＝400，
n 5 6 7 8 9 7
所以a＝80，
7
则数列{a}的前13项和S ＝ ＝13a＝13×80＝1040．
n 13 7
故选：C．
【知识点】等差数列的前n项和
3.若函数y＝f′（x）图象如图，则y＝f（x）图象可能是（ ）
A．
B．
C．
2 / 18D．
【答案】C
【分析】根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系，以及导数的几何意义即可得解．
【解答】解：由y＝f'（x）的图象可知，y＝f（x）在（﹣∞，b）上单调递增，排除选项A和D，
∵f'（0）＝0，
∴y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为0，排除选项B，
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
4.“李生素数猜想”是数学史上著名的未解难题，早在1900年国际数学家大会上，由德国数学家希尔伯特
提出．所谓“孪生素数”是指相差为2的“素数对”，例如3和5．从不超过20的素数中，找到这样的
“孪生素数”，将每对素数作和．从得到的结果中选择恰当的数，构成一个等差数列，则该等差数列的
所有项之和为（ ）
A．72 B．68 C．56 D．44
【答案】A
【分析】根据定义列举出不超过20的孪生素数，求出它们的和，找到构成等差数列的三个数，由此能求出
该等差数列的所有项之和．
【解答】解：根据定义列举出不超过20的孪生素数为3和5，5 和7，11和13，17和19，
它们的和依次为8，12，24，36，
构成等差数列的三个数分别是12，24，36，
它们的和是72．
故选：A．
【知识点】等差数列的前n项和
5.已知等比数列{a}的前 n 项和为 S ，若 a2＝a ，且数列{S﹣3a}也为等比数列，则 a 的表达式为
n n 1 3 n 1 n
（ ）
A．a＝（ ）n B．a＝（ ）n+1 C．a＝（ ）n D．a＝（ ）n+1
n n n n
【答案】D
【分析】设等比数列{a}的公比为q，分q＝1或q≠1两种情况，根据等比数列的定义即可求出．
n
3 / 18【解答】解：设等比数列{a}的公比为q，
n
当q＝1时，S＝na，∴S﹣3a＝na﹣3a＝（n﹣3）a，
n 1 n 1 1 1 1
当n＝3时，上式为0，∴{S﹣3a}不是等比数列，
n 1
当q≠1时，S＝ ＝﹣ •qn+ ，
n
∴S﹣3a＝﹣ •qn+ ﹣3a，
n 1 1
要使数列{S﹣3a}为等比数列，则需要 ﹣3a＝0，解得q＝ ，
n 1 1
∵a2＝a，
1 3
∴a＝（ ）2，
1
∴a＝（ ）2（ ）n﹣1＝（ ）n+1，
n
故选：D．
【知识点】等比数列的前n项和
6.若曲线f（x）＝ 在点（1，f（1））处的切线过点（﹣1，0），则函数f（x）的单调递减区间为（
）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）
【答案】D
【分析】先利用导数求出函数在（1，f（1））处的切线方程，然后将点（﹣1，0）代入切线方程，即可求
出a的值，最后利用导数的符号大于零即可求解．
【解答】解：由题意得 ，
所以k＝ ，且f（1）＝ ．
故函数f（x）在（1，f（1））处的切线为：
，将点（﹣1，0）代入得a＝1．
4 / 18则 ，由f′（x）＜0得x＜0且x≠﹣1．
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）．
故选：D．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
7.若a，b是方程x2﹣px+q＝0（p＜0，q＞0）的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列，则p+q的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】D
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b＝p，ab＝q，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等
差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【解答】解：∵方程x2﹣px+q＝0（p＞0，q＞0）有两个不同的根a，b，
∴△＝p2﹣4q＞0，a+b＝p＜0，ab＝q＞0．
∴a，b一都负，
不妨设a＜b＜0．
由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，有6种排序：a，b，2；b，a，2； 2，a，b；
2，b，a； b，a，2； b，2，a，
∴只能a，b，2； 2，b，a，成等差数列，
∴2b＝a+2．①
由a，b，2这三个数可适当排序后成等比数列，
有6种排序：a，b，2；b，a，2； 2，a，b； 2，b，a； b，a，2； b，2，a，
∴只能为a，2，b；b，2，a成等比数列．
∴ab＝4＝q，解得q＝4．
∵a＜b＜0，
联立①可得b＝﹣1，a＝﹣4，
∴p＝﹣5．
∴p+q＝﹣1．
故选：D．
【知识点】等比数列的通项公式
8.定义在R上的偶函数f（x），其导函数f'（x），当x≥0时，恒有 f'（x）+f（﹣x）＜0，若g（x）＝x2f
（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（ ）
A．（ ，1） B．（﹣∞， ）∪（1，+∞）
C．（ ，+∞） D．（﹣∞， ）
5 / 18【答案】A
【分析】g（x）＝x2f（x），当x≥0时，g′（x）＝2x[ f'（x）+f（﹣x）]≤0，可得函数g（x）在
[0，+∞）上单调递减．根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）是定义在R上
的偶函数，不等式g（x）＜g（1﹣2x）即g（|x|）＜g（|1﹣2x|），转化即可得出不等式的解集．
【解答】解：g（x）＝x2f（x），当x≥0时，g′（x）＝2x[ f'（x）+f（﹣x）]≤0，
∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减．
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，
则不等式g（x）＜g（1﹣2x）即g（|x|）＜g（|1﹣2x|），
∴|x|＞|1﹣2x|，
解得： ＜x＜1．
∴不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（ ，1）．
故选：A．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求的；错选或多选不得分。
9.下列说法中正确的是（ ）
A．若数列{a}前n项和S 满足 ，则a＝2n﹣1
n n n
B．在等差数列{a}中，满足a＝20，S ＝S ，则其前n项和S 中S 最大
n 1 10 16 n 13
C．在等差数列{a}中，满足a＝3，则数列{a}的前9项和为定值
n 5 n
D．若tanx＝2，则
【答案】BCD
【分析】直接利用数列的通项公式的求法和等差数列的性质和三角函数的定义判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于 A：数列{a}前 n 项和 S 满足 ，当 n＝1 时，解得 a ＝2，当 n≥2 时，
n n 1
，
所以a＝S﹣S ＝2n﹣1，
n n n﹣1
6 / 18故 ，故A错误．
对于B：等差数列{a}中，满足a＝20，S ＝S ，
n 1 10 16
所以：a +a +a +a +a +a ＝0，
11 12 13 14 15 16
则a +a ＝0，由于a＞0，所以d＜0，故a ＞0，a ＜0，
13 14 1 13 14
所以其前n项和S 中S 最大，故项B正确．
n 13
对于C：等差数列{a}中，满足a＝3，
n 5
，
则数列{a}的前9项和为定值，故C正确；
n
对 于 D ： 若 tanx ＝ 2 ， 当 x 为 第 一 象 限 角 时 ： 则 ， 则
；
当x为第三象限角时， ，则 ，故D正确；
故选：BCD．
【知识点】等差数列的性质
10.若定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝﹣1，其导函数f'（x）满足f'（x）＞m＞1，则下列成立的有（
）
A．f（ ）＞ B．f（ ）＜﹣1
C．f（ ）＞ D．f（ ）＜0
【答案】AC
【分析】根据题意，构造新函数g（x）＝f（x）﹣mx，求出其导数，分析可得g（x）在区间R上为增函数，
由不等式的性质分析可得0＜ ＜1以及 ＞0，结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣mx，则其导数g′（x）＝f′（x）﹣m，
又由f'（x）＞m＞1，则g（x）在区间R上为增函数，
对于A，又由m＞1，则0＜ ＜1，g（ ）＞g（0），即f（ ）﹣ ×m＞f（0），即f（ ）
﹣1＞﹣1，变形可得：f（ ）＞0；
又由m＞1，则 ＜0，必有f（ ）＞ ，A正确；
对于C，由于m＞1，则 ＞0，则有g（ ）＞g（0），即f（ ）﹣ ＞f（0）＝﹣
7 / 181，变形可得f（ ）＞ ﹣1＝ ，故C正确，D错误；
故选：AC．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
11.设等比数列{a}的公比为q，其前n项和为S ，前n项积为T ，并且满足条件a ＞1，aa ＞1， ＜
n n n 1 6 7
0，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜q＜1 B．aa＞1
6 8
C．S 的最大值为S D．T 的最大值为T
n 7 n 6
【答案】AD
【分析】利用等比数列{a}，则{lga }为等差数列，用等差数列的性质得出q和T 的大小关系．
n n n
【解答】解：等比数列{a}，公比为q，q＞0，则{lga }为等差数列，公差d＝lgq，
n n
由a＞1，aa＞1，q＞0且q≠1，得lga ＞0，lga +lga ＞0，
1 6 7 1 6 7
＜0，得a＞1，a＜1，若不然，a＞a，则q＞1，又a＞1，
6 7 7 6 1
数列a＝aqn﹣1＞1，则a6＞1，a7＞1， ＜0不成立，故q＜1，
n 1
又aa＞1，所以q＞0，故0＜q＜1成立，
6 7
由a＞1，a＜1，得lga ＜0，lga ＜0，又lga ＞0，所以数列{lga }是递减数列，
6 7 6 7 1 n
从第7项开始小于零，故前6项和lgT 最大，即T 的最大值为T，
n n 6
lga +lga ＝2lga ＜0，故B不成立，
6 8 7
因为0＜q＜1，a＞1，所以数列各项均为正的，S 没有最大值，C不成立，
1 n
故选：AD．
【知识点】等比数列的性质
12.已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求
使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（ ）
A．﹣2ln2﹣ B．﹣ln2﹣ C．0 D．ln2﹣
【答案】BCD
【分析】求出函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，问题转化为b＞2lnx﹣x2﹣3x，设 （x）
＝2lnx﹣x2﹣3x（x （0，+∞）），根据函数的单调性求出b的范围即可．
φ
【解答】解：∵f'（x）＝3x2+6x+b，
∈
∴可设f（x）＝x3+3x2+bc+c，又f（0）＝0，故c＝0，
8 / 18从而f（x）＝x3+3x2+bx，
∴g（x）＝f（x）﹣2xlnx＝x3+3x2+bx﹣2xlnx，
则g（x）的定义域是（0，+∞），
则g（x）＞0可化为x2+3x+b﹣2lnx＞0，即b＞2lnx﹣x2﹣3x，
设 （x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x （0，+∞）），
φ ∈
则 ′（x）＝ ﹣2x﹣3＝ ，
φ
令 ′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，令 ′（x）＜0，解得：x＞ ，
φ φ
故 （x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，
φ
故当x＝ 时， （x）取得最大值 （ ）＝﹣2ln2﹣ ，
φ φ
要使g（x）＞0恒成立，则b＞﹣2ln2﹣ 即可，
故选：BCD．
【知识点】利用导数研究函数的最值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.数列{a}的前n项和S＝3n﹣1，若a＝9a，则k＝ ．
n n k 5
【答案】7
【分析】根据题意，由数列的前n项和公式分析可得a ＝2•3n﹣1，据此可得2×3k﹣1＝9×2×34，解可得k的值，
n
即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{a}的前n项和S＝3n﹣1，
n n
则当n＝1时，a＝S＝3﹣1＝2，
1 1
当n≥2时，a＝S﹣S ＝（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）＝2•3n﹣1，
n n n﹣1
n＝1时，符合a＝2•3n﹣1，
n
综合可得：a＝2•3n﹣1，
n
则a＝2×34，
5
若a＝9a，则2×3k﹣1＝9×2×34，
k 5
则有k＝7，
故答案为：7．
【知识点】等比数列的前n项和、数列递推式
14.函数f（x）＝ex+x（其中e为自然对数的底数）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
【答案】2x-y+1=0
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．
9 / 18【解答】解：f（x）＝ex+x的导数为f′（x）＝ex+1，
可得切线的斜率为k＝f′（0）＝1+1＝2，
切点为（0，1），
则切线的方程为y﹣1＝2（x﹣0），
即为2x﹣y+1＝0，
故答案为：2x﹣y+1＝0．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
15.各项均为正数的等比数列{a}的前n项和为S，若aa＝4，a＝1，则 的最小值为 ．
n n 2 6 3
【答案】8
【分析】先求出首项和公比可的通项公式和求和公式，再根据基本不等式即可求出．
【解答】解：各项均为正数的等比数列{a}，由aa＝4＝a2，
n 2 6 4
即a＝2，
4
∵a＝1，
3
∴q＝2，a＝ ，
1
∴a＝ ×2n﹣1＝2n﹣3，S＝ ＝2n﹣2﹣ ，
n n
∴（S+ ）2＝（2n﹣2+2）2＝22（n﹣2）+4×2n﹣2+4，
n
∴ ＝ ＝2n﹣2+ +4≥2 +4＝4+4＝8，当且仅
当n＝3时取等号，
故答案为：8．
【知识点】等比数列的前n项和
16.已知点M（m，m﹣ ）和点N（n，n﹣ ）（m≠n），若线段MN上的任意一点P都满足：经过点P
的所有直线中恰好有两条直线与曲线 C：y＝ +x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最大值为
．
【分析】由条件可得M，N在直线y＝x﹣ 上，联立曲线的方程可得它们无交点，求得函数y＝ +x的
10 / 18导数，可得在x＝﹣1和x＝3的切线的斜率和方程，联立直线y＝x﹣ ，求得交点E，F，可得所
求最大值．
【解答】解：由点M（m，m﹣ ）和点N（n，n﹣ ），
可得M，N在直线y＝x﹣ 上，
联立曲线C：y＝ +x（﹣1≤x≤3），
可得 x2＝﹣ ，无实数解，
由y＝ +x的导数为y′＝x+1，
可得曲线C在x＝﹣1处的切线的斜率为0，
可得切线的方程为y＝﹣ ，
即有与直线y＝x﹣ 的交点E（0，﹣ ），
同样可得曲线C在x＝3处切线的斜率为4，
切线的方程为y＝4x﹣ ，联立直线y＝x﹣ ，可得交点F（ ， ），
此时可设M（0，﹣ ），N（ ， ），
则由图象可得|m﹣n|的最大值为 ﹣0＝ ，
故答案为： ．
11 / 18【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.在等比数列{a}中
n
（1）已知a＝13，q＝﹣2，求a；
1 6
（2）已知a＝20，a＝160，求S
3 6 n
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式 ，代入可求；
（2）结合等比数列的通项公式可求q，a，代入等比数列的求和公式可求．
1
【解答】解：在等比数列{a}中
n
（1）∵a＝13，q＝﹣2，
1
∴ ＝13×（﹣2）5＝﹣416；
（2）∵a＝20，a＝160，
3 6
∴ ，
解可得q＝2，a＝5
1
∴S＝ ＝ ＝5×2n﹣5．
n
【知识点】等比数列的通项公式、等比数列的前n项和
18.设函数
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）求导，令导函数大于0即可得到增区间，令导函数小于0即可得到减区间；
（Ⅱ）列表直接可求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2+3x+2＝（x+1）（x+2），
令f′（x）＞0解得x＜﹣2或x＞﹣1；令f′（x）＜0解得﹣2＜x＜﹣1，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x，f′（x），f（x）的变化情况，
x ﹣2 （﹣2，﹣1） ﹣1 （﹣1，2） 2
12 / 18f′（x） 0 ﹣ 0 +
f（x） 减 增
极小值
故函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为 ，最小值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值
19.已知函数f（x）＝ 是定义域上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）令h（x）＝ln[f（x）﹣x+a]，设a＞0，若对任意b [ ，1]，当x ，x [b，b+1]时，都有|h（x ）﹣h
1 2 1
（x）|≤ln4，求实数a的取值范围． ∈ ∈
2
【分析】（1）根据题意可得f（1）＝2，即 ，解得a，b，进而可得函数f（x）的解析式，进而
有单调性得定义证明函数f（x）的单调性．
（2）由（1）可得h（x）＝ln（ +a），进而得h（x）在[b，b+1]上为减函数，推出h（x）
，h（x） ，所以问题转化为ln（ +a）﹣ln（ +a）≤ln4，
max min
即3ab2+3（a+1）b﹣1≥0，对任意b [ ，1]成立，只需求出函数y＝3ab2+3（a+1）b﹣1在
∈
b [ ，1]上的最小值，即可．
【解答】解：（1）因为f（﹣1）＝﹣2，且f（x）是奇函数，
∈
所以f（1）＝2，
所以 ，解得 ，
所以f（x）＝x+ ，
函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
证明：任取x，x （0，1），且x＜x，
1 2 1 2
∈
则f（x）﹣f（x）＝（x+ ）﹣（x+ ）＝（x﹣x）（ ），
1 2 1 2 1 2
13 / 18因为x，x （0，1），且x＜x，
1 2 1 2
所以x﹣x＜0，0＜xx＜1，
1 2 1 2
∈
所以xx﹣1＜0，
1 2
所以f（x）﹣f（x）＞0，即f（x）＞f（x），
1 2 1 2
所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，
任取x，x （1，+∞），且x＜x，
1 2 1 2
∈
则f（x）﹣f（x）＝（x+ ）﹣（x+ ）＝（x﹣x）（ ），
1 2 1 2 1 2
因为x，x （1，+∞），且x＜x，
1 2 1 2
所以x﹣x＜0，1＜xx，
1 2 1 2
∈
所以xx﹣1＞0，
1 2
所以f（x）﹣f（x）＜0，即f（x）＜f（x），
1 2 1 2
所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）由（1）可得h（x）＝ln[f（x）﹣x+a]＝ln[x+ ﹣x+a]＝ln（ +a），
不妨令b≤x≤x≤b+1，则
1 2
+a＞ +a，
即函数h（x）＝ln（ +a）在[b，b+1]上为减函数，
所以g（x） ＝ln（ +a），g（x） ＝ln（ +a），
max min
因为当x，x [b，b+1]，满足|h（x）﹣h（x）|≤ln4，
1 2 1 2
∈
故只需ln（ +a）﹣ln（ +a）≤ln4，
即3ab2+3（a+1）b﹣1≥0，对任意b [ ，1]成立，
∈
因为a＞0，所以函数y＝3ab2+3（a+1）b﹣1在b [ ，1]上单调递增，
∈
b＝ 时，y有最小值， a+ （a+1）﹣1＝ ﹣ ，
由 ﹣ ≥0，得a≥ ，
故a的取值范围为[ ，+∞）．
【知识点】利用导数研究函数的最值
20.已知函数f（x）＝alnx﹣2ax+ （a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
14 / 18（2）若f（x）有两个极值点x、x（x≠x），且不等式 恒成立，求实数
1 2 1 2
λ
的取值范围．
【分析】（1）求出f（x）的导函数f'（x），根据二次函数y＝x2﹣2ax+a的判别式△≤0和△＞0两种情况，
得到a的范围，再确定f（x）的单调区间；
（ 2 ） 不 等 式 恒 成 立 等 价 于
恒成立，然后构造函数h（a）＝lna﹣2a﹣1（a＞
1），结合条件求出实数 的取值范围．
λ
【解答】解：（1）函数y＝f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）＝ ，
二次函数y＝x2﹣2ax+a的判别式△＝4a2﹣4a．
①若△＝4a2﹣4a≤0时，即当0＜a≤1时，对任意的x＞0，f'（x）≥0，
此时，函数y＝f（x）单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
②若△＝4a2﹣4a＞0时，即当a＞1时，
由f'（x）＝ ＝0，得x＝a﹣ ＞0或x＝a+ ＞0．
当0＜x＜a﹣ 或x＞a+ 时，f'（x）＞0，
当a﹣ 时，f'（x）＜0，
此时，函数y＝f（x）单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为
（2）由（1）知，a＞1，且 ，
不 等 式 恒 成 立 等 价 于 ＞
λ
恒成立，
15 / 18又f（x）+f（x）＝a（lnx ﹣2x）+ x2
1 2 1 1 2
＝a（lnx +lnx ）﹣2a（x+x）+
1 2 1 2
＝alnx x﹣2a（x+x）+
1 2 1 2
＝alna﹣4a2+ ＝alna﹣2a2﹣a．
∴ ＝lna﹣2a﹣1，
令h（a）＝lna﹣2a﹣1（a＞1），则h'（x）＝ ﹣2＜0，
∴h（x）＝lna﹣2a﹣1在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）＝﹣3，∴ ≥﹣3．
∴实数 的取值范围是[﹣3，+∞）．
λ
【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的极值
λ
21.如图，在△ABC中，AH为BC边上的高线．P为三角形内一点，由P向三角形三边作垂线，垂足分别为
D，E，F，已知|AH|，|AC|，|BC|，|AB|依次构成公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求T＝|PD|2+|PE|2+|PF|2的最小值．
【分析】（1）由题意，可设出|AH|＝x﹣1，|AC|＝x，|BC|＝x+1，|AB|＝x+2，由等面积法可求出x，进而求
得面积；
（2）由等面积可知14|PD|+13|PE|+15|PF|＝168，再利用柯西不等式即可得到结果．
【解答】解：（1）设|AH|＝x﹣1，|AC|＝x，|BC|＝x+1，|AB|＝x+2，
则 ，解得x＝13，
∴△ABC的面积为 ；
（2）∵14|PD|+13|PE|+15|PF|＝2×84＝168，
16 / 18∴1682＝（14|PD|+13|PE|+15|PF|）2≤（142+132+152）（|PD|2+|PE|2+|PF|2），
∴ ，
∴T的最小值为 ．
【知识点】函数的最值及其几何意义、等差数列的性质
22.在等差数列{a}中，a+a+a＝15，a＝1l．
n 1 3 5 6
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）对任意m N*，将数列{a}中落入区间（2m+1，22m+1）内的项的个数记为{b }，记数列{b }的前m项和
n m m
S ，求使得S ＞∈2018的最小整数m；
m m
（3）若n N*，使不等式a+ ≤（2n+1） ≤a + 成立，求实数 的取值范围．
n n+1
∈ λ λ
【分析】（1）设数列{a}的公差为d，由等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出
n
数列{a}的通项公式．
n
（2）推导出 ，从而b ＝22m﹣2m，m N*，进而S ＝（22+24+26+…+22m）
m m
∈
﹣（2+22+23+…+2m）＝ ．令 ＞2018，能求出最小整数
m．
（3） ≤（2n+1） ≤ ，从而 ，记A
n
λ
＝ ，B＝1+ ，n N*，由A ﹣A＝ ，能求出
n n+1 n
实数 的范围． ∈
λ
【解答】解：（1）设数列{a}的公差为d，由 ，
n
解得 ，
∴数列{a}的通项公式为a＝2n﹣1，n N*．
n n
（2）对任意m N*，若2m+1＜2n﹣1＜22m+1，
∈
∈
则 ，
∴b ＝22m﹣2m，m N*，
m
∈ 17 / 18S ＝（22+24+26+…+22m）﹣（2+22+23+…+2m）
m
＝ ﹣
＝ ．
令 ＞2018，
解得m＞ ≈5.3，
∴所求的最小整数m为6．
（3） ≤（2n+1） ≤ ，
λ
，
记A＝ ，B＝1+ ，n N*，
n n
∈
由A ﹣A＝ ﹣ ＝ ，
n+1 n
知A＝A，且从第二项起，{A}递增，即A＝A，A＜A＜…＜A，
1 2 n 1 2 3 4 n
∵B＝1+ 递减，
n
∴实数 的范围为[A，B]，即[ ]．
1 1
【知识点】数列的求和、等差数列的性质、等差数列的通项公式
λ
18 / 18
