文档内容
期中检测卷 01
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知复平面内，（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b R），
所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，
∈
由于对应的点在虚轴的正半轴上，
所以 ，
即 ，
所以a＜0，b＞0．
故该点在第二象限．
故选：B．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．
【解答】解：因为ABCD为平行四边形，
所以 ，故 ．
故选：D．
【知识点】平面向量的基本定理
3.已知向量 ＝（6t+3，9）， ＝（4t+2，8），若（ + ）∥（ ﹣ ），则t＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．
【解答】解：向量 ＝（6t+3，9）， ＝（4t+2，8），
所以 + ＝（6t+3，11），
﹣ ＝（4t+2，5）．
又（ + ）∥（ ﹣ ），
所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，
解得t＝﹣ ．
故选：B．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点
时，有（ + ）• ＝0．若 + ＝x +y ，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【答案】D
【分析】先根据M，N满足的条件，将（ + ）• ＝0化成 的表达式，从而判断出矩形ABCD
为正方形；再将 + ＝x +y ，左边用 表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝
4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．
【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有 （ + ） • ＝ ＝ ＝，
所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，
设 ， ，则 ＝ ．
则x＝2﹣ ，y＝2﹣ ．又x+y＝3，所以 + ＝1．
λ μ λ μ
故NC+MC＝4，则MN＝ ＝ （当且仅当MC＝NC＝2时
取等号）．
故线段MN的最短长度为2 ．
故选：D．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
5.若z C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（ ）
A．∈3 B．4 C．5 D．9
【答案】B
【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．
【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内
部．
如图：
|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，
则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，
则M﹣m＝4．
故选：B．
【知识点】复数的运算
6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面
与球相接，则该圆锥的表面积为（ ）
A． R2 B． R2 C． R2 D． R2【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积
公式可得所求．
【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，
则圆锥的高为 r，
则R2＝r2+（ r﹣R）2，
解得r＝ R，
则圆锥的表面积为S＝ r2+ r•2r＝3 r2
π π π
＝3 （ R）2＝ R2，
故选：B．
π π
【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午
节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起
包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形
所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体
积最大值为（ ）
A． B． C． D．
π π π π
【答案】A
【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则 ，由此
求得R，进而得到答案．
【解答】解：由题意可得每个三角形面积为 ，
由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为 ，
故四面体的体积为 ，
∵该六面体的体积是正四面体的2倍，
∴六面体的体积是 ，
由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶
点，把六面体分成了六个三棱锥，
设丸子的半径为R，则 ，解得 ，
∴丸子的体积的最大值为 ．
故选：A．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最
大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用圆台的母线长表示出半球的半径r，计算圆台的侧面积，利用
导数求得侧面积取得最大值时对应的母线长和半球的半径，从而求得圆台母线与底面所成角的余
弦值．
【解答】解：如图1所示，
设BC＝x，CO′＝r，作CF⊥AB于点F，延长OO′交球面于点E，
则BF＝1﹣r，OO′＝CF＝ ＝ ．
由圆的相交弦定理和图2知，CO′•O′E•O′H＝（1+OO′）•（1﹣OO′），即r2＝（1+ ）•（1﹣ ），解得r＝1﹣ ，
所以圆台的侧面积为S ＝ •（1+1﹣ ）•x（0＜x＜ ）；
侧
π
求导数得S ′＝ （2﹣ x2），令S ＝0，得出当x＝ 时S 取得最大值，
侧 侧 侧
π
所以当x＝BC＝ 时，r＝1﹣ ＝ ，
则BF＝1﹣r＝ ；
在轴截面中，∠OBC为圆台母线与底面所成的角，
在Rt△CFB中，cos∠OBC＝ ＝ ．
故选：D．
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）
9.下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若| |＝| |，则 ＝ B．已知 ≠ ，且 • ＝ • ，则 ＝
C．若 ＝ ， ＝ ，则 ＝ D．若 ＝ ，则| |＝| |且 ∥
【答案】AB
【分析】根据向量的概念与向量的模的概念逐一分析各个选项即可得解．
【解答】解：向量由两个要素方向和长度描述，A错误；
若 ∥ ，且与 垂直，结果成立，当 不一定等于 ，B错误；
若 ＝ ， ＝ ，由向量的定义可得 ＝ ，C正确；
相等向量模相等，方向相同，D选项正确．
故选：AB．
【知识点】向量的概念与向量的模
10.若复数z满足 ，则（ ）
A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C． ＝1+i D．z2＝2i【答案】BC
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由 ＝ ，
得z＝ ，
∴z的实部为1； ＝1+i；z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．
故选：BC．
【知识点】复数的运算
11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】对于A：直接利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于B：利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于C：利用平行线分线段成比例和三角形法则和线性运算的应用求出结果．
对于D：直接利用平行线成比例的应用求出结果．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，
如图所示：
根据三角形法则：
对于A： ，故选项A正确．
对于B：E，F分别为线段AD，CD的中点，所以 ，故选项B正确．
对于C：过E作EH∥DC，所以 ，所以 ，故 ，整理得 ，所以 ，即 ＝ ，故选项C错误．
对于D：根据平行线分线段成比例定理，点B、G、D共线， 故选项D错误．
故选：AB．
【知识点】平面向量的基本定理
12.已知正方体ABCD﹣ABC D ，棱长为2，E为线段BC上的动点，O为AC的中点，P为棱CC 上的动
1 1 1 1 1 1
点，Q为棱AA 的中点，则以下选项中正确的有（ ）
1
A．AE⊥BC
1
B．直线BD⊥平面ABC
1 1 1
C．异面直线AD 与OC 所成角为
1 1
D．若直线m为平面BDP与平面BDP的交线，则m∥平面BDQ
1 1 1 1
【答案】BD
【分析】根据面面平行和垂直的性质、判定，结合图形，从而可判断选项的正误．
【解答】解：在正方体ABCD﹣ABC D 中，BC⊥BC ，BC⊥AB，BC ∩AB＝B，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴BC⊥平面ABCD，
1 1 1
∵只有当E运动到线段BC的中点时，AE⊥BC才成立，故A错误．
1 1
连接BD，∵在正方体ABCD﹣ABC D 中，DD ⊥平面ABC D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴DD ⊥AC ，∵BD⊥AC ，BD∩DD ＝D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴AC ⊥平面BDD B，∴AC ⊥BD，
1 1 1 1 1 1 1
同理可得BC ⊥BD，又AC ∩BC ＝C ，
1 1 1 1 1 1
∴直线BD⊥平面ABC ，故选项B正确．
1 1 1
连接BD，BC ，则AD∥BC ，
1 1 1
∴∠OC B（或其补角）即为异面直线AD 与OC 所成的角．
1 1 1
因为正方体的棱长为2，则BC ＝2 ，OB＝ ，在Rt△C OB中，OC ＝ ，
1 1 1
∴cos∠OC B＝ ＝ ，∴∠OC B＝ ，故选项C错误．
1 1
由题意知，在正方体ABCD﹣ABC D 中，P为棱CC 上的动点，Q为棱AA 的中点，
1 1 1 1 1 1
直线m为平面BDP与平面BDP的交线，且BD∥BD，
1 1 1 1
∴m∥BD.∵m 平面BDQ，
1 1 1 1
∴m∥平面BDQ，故选项D正确．
1 1
⊄
故选：BD．【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系、异面直线及其所成的角、直线与平面垂直、命题的真假判
断与应用
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
13.已知向量 ＝（m，1）， ＝（m﹣6，m﹣4），若 ∥ ，则m的值为 ．
【答案】2或3
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，变形解可得m的值，即
可得答案．
【解答】解：根据题意，知向量 ＝（m，1）， ＝（m﹣6，m﹣4），
若 ∥ ，则有（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，
变形可得：m2﹣5m+6＝0，
解可得m＝2或3，
故答案为：2或3．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
14.将表面积为36 的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的轴截面的面积
S＝ ． π
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据题意列出方程组求出l和r的值，再计算圆锥的高轴截
面面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意得 ，
解得l＝9，r＝3；
所以圆锥的高为h＝ ＝ ＝6 ，
所以圆锥的轴截面面积为S＝ × ＝18 ．
故答案为：18 ．
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）、扇形面积公式
15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A为小圆上的动点，点
P，Q是大圆上的两个动点，且 • ＝1，则| |的最大值是 ．
【分析】由向量的和差运算求出数量积 • 的表达式，再由| |的值为1，可得 ﹣ ﹣
＝0，再由（ + ﹣ ）2的展开可得| + ﹣ |＝3，再由绝对值不等式的定理可得| |
的取值范围，求出其最大值．
【解答】解：由题意 ＝（ ﹣ ）•（ ﹣ ）＝ ﹣ ﹣ +1＝1，
所以 ﹣ ﹣ ＝0，
由（ + ﹣ ）2＝ + 2+ 2+2（ ﹣ ﹣ ）＝9，
所以| + ﹣ |＝3，
又| + |﹣| |≤| + ﹣ |≤| + |+| |，
所以2≤| + |≤4，
又| + |2+| ﹣ |2＝2（| |2+| |2）＝16，所以0≤| ﹣ | ，
即0≤| | ，
| |的最大值是2 ，
故答案为：2 ．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算
16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝ ，若二面角A
﹣CD﹣B的余弦值为﹣ ，M为BD的中点，则CD＝ ，直线AD与直线CM所成角的余弦值为
．
【分析】将三棱锥A﹣BCD的直观图还原，取CD中点N，连接AN，BN，可知ANB为二面角A﹣CD﹣B
的平面角，设CD＝a（0＜a＜2），根据题意由余弦定理建立关于a的方程，解出即可求得CD的
值，取AB的中点O，连接OM，OC，则∠OMC为直线AD与直线CM所成的角或其补角，求出
相关边的长度，利用余弦定理直接求解即可．
【解答】解：将三棱锥A﹣BCD的直观图还原，则BC＝BD＝AC＝AD＝1， ，
取CD中点N，连接AN，BN，则AN⊥CD，BN⊥CD，故∠ANB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
设CD＝a（0＜a＜2），则 ，故 ，
又二面角A﹣CD﹣B的余弦值为 ，故 ，解得 ，即 ；
取AB的中点O，连接OM，OC，易知OM∥AD，
所以∠OMC为直线AD与直线CM所成的角或其补角，易知 ，所以 ，
∴直线AD与直线CM所成角的余弦值为 ．
故答案为： ； ．
【知识点】二面角的平面角及求法、异面直线及其所成的角
四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
17.已知 ， ．
（1）若 与 同向，求 ；
（2）若 与 的夹角为120°，求 ．
【分析】（1）设 ＝ ＝（2 ，0），由| |＝1可得2 ＝1，解可得 的值，即可得答案，
λ λ λ λ
（2）根据题意，由数量积的计算公式可得 • ＝﹣1，设 ＝（x，y），由数量积的坐标计算
公式可得 • ＝2x＝﹣1，即可得x的值，由向量模的计算公式可得y的值，即可得 的坐标，
由向量的坐标计算公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意， 与 同向，且 ，
设 ＝ ＝（2 ，0），
λ λ又由| |＝1，则有2 ＝1，即 ＝ ，
则 ＝（1，0）；
λ λ
（2） ，则| |＝2，
若 与 的夹角为120°，则 • ＝| || |cos120°＝2×1×cos120°＝﹣1，
设 ＝（x，y），则 • ＝2x＝﹣1，则x＝﹣ ，
又由| |＝1，则x2+y2＝1，解可得y＝± ，
故 ＝（ ，± ），
则 + ＝（ ，± ）．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、数量积表示两个向量的夹角
18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4 ，b＝6，cosA＝﹣ ．
（1）求c；
（2）求cos2B的值．
【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；
（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据
cos2B＝1﹣2sin2B，得解．
【解答】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣ ），
整理得，c2+4c﹣12＝0，
解得c＝2或﹣6（舍负），
故c＝2．
（2）∵cosA＝﹣ ，且A （0， ），
∈ π
∴sinA＝ ＝ ，
由正弦定理知， ＝ ，即 ＝ ，
∴sinB＝ ，
∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣ ．【知识点】余弦定理
19.已知：复数z 与z 在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z（1﹣i）＝z（1+i）（i为虚数单位），|z|
1 2 1 2 1
＝ ．
（Ⅰ）求z 的值；
1
（Ⅱ）若z 的虚部大于零，且 （m，n R），求m，n的值．
1
∈
【分析】（Ⅰ）设z＝x+yi（x，y R），则z＝﹣x+yi，由题意列方程组求得x，y的值，则答案可求；
1 2
∈
（Ⅱ）求得z ，代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的
1
条件求解．
【解答】解：（Ⅰ）设z＝x+yi（x，y R），则z＝﹣x+yi，
1 2
∵z（1﹣i）＝z（1+i），|z|＝ ，
1 2 ∈1
∴ ，解得 或 ，
即z＝1﹣i或z＝﹣1+i；
1 1
（Ⅱ）∵z 的虚部大于零，∴z＝﹣1+i，则 ，
1 1
则有 ，
∴ ，解得 ．
【知识点】复数的运算
20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+ ）i＝ （i为虚数单位）
（Ⅱ）设z是虚数， ＝z+ 是实数，且﹣1＜ ＜2．
（1）求|z|的值及z的ω实部的取值范围； ω
（2）设 ，求证： 为纯虚数；
（3）在（2）的条件下求 μ﹣ 2的最小值．
ω μ
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，结合复数相等进行求解即可（Ⅱ）设z＝a+bi，结合 是实数求出a，b的取值范围，结合复数的有关概念进行证明求解即
可．
ω
【解答】解：（Ⅰ）原方程等价为|z|2+（z+ ）i＝ ＝1﹣i，
设z＝x+yi，x，y R，
∈
代入方程整理得x2+y2+2xi＝1﹣i，得 得 ，即z＝﹣ ± i．
（Ⅱ）（1）z＝a+bi，a，b R且b≠0，
∈
则 ＝z+ ＝a+bi+ ＝（a+ ）+（b﹣ ）i，
ω
∵ ＝z+ 是实数，∴b﹣ ＝0，得1﹣ ＝0，即a2+b2＝1，即|z|＝1，
ω
则 ＝z+ ＝2a （﹣1，2），
ω ∈
∴a （﹣ ，1）．
∈
（2）证明： ＝ ＝ ＝ ，
由（1）知a2+b2＝1，则 ＝ i，
μ
∵a （﹣ ，1）．b≠0，∴ 是纯虚数．
∈ μ
（3） ﹣ 2＝2a+ ＝2a+ ＝2a﹣ ＝2a﹣1+ ＝2[（a+1）+ ]﹣3，
ω μ
∵a （﹣ ，1），∴a+1＞0，
∈
∴（a+1）+ ≥2 ＝2，当且仅当a+1＝ ，即a＝0时取等号，
即 ﹣ 2＝2[（a+1）+ ]﹣3≥2×2﹣3＝1，
即 ﹣ 2的最小值为1
ω μ
【知识点】复数的运算
ω μ
21.如图，直三棱柱ABC ﹣ABC中，AB＝AC＝1， ，AA＝4，点M为线段AA的中点．
1 1 1 1 1
（1）求直三棱柱ABC ﹣ABC的体积；
1 1 1
（2）求异面直线BM与BC 所成的角的大小．（结果用反三角表示）
1 1【分析】（1）由V＝S •AA，即可得解；
△ABC 1
（2）易知∠MBC或其补角即为所求，再在△MBC中，由余弦定理求得cos∠MBC的值，即可．
【解答】解：（1）∵ ，
∴V＝S •AA＝ ×4＝2．
△ABC 1
（2）∵BC∥BC ，
1 1
∴∠MBC或其补角是异面直线BM与BC 所成的角，
1 1
在△MBC中，BM＝CM＝ ，BC＝ ，
由余弦定理得，cos∠MBC＝ ＝ ，
∴∠MBC＝arccos ，
故异面直线BM与BC 所成的角为 ．
1 1
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、异面直线及其所成的角
22.如图所示，在正方体ABCD﹣ABC D 中，点G在棱DC 上，且DG＝ DC ，点E、F、M分别是棱
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AA、AB、BC的中点，P为线段BD上一点，AB＝4．
1 1
（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC D 于直线l，求证：l∥AB；
1 1 1
（Ⅱ）若直线BD⊥平面EFP．
1
（i）求三棱锥B﹣EFP的表面积；
1
（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣ABC D 各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平
1 1 1 1
面EGM与棱AD 交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．
1 1【分析】（1）根据面面平行的性质即可得到EF∥l，再结合线线平行的传递性即可证明结论；
（2）（i）先根据直线BD⊥平面EFP得到BD⊥EP，进而得到P是DB 的中点，然后依次求
1 1 1
出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥B﹣EFP的表面积；
1
（ii）①根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面
EGM与正方体ABCD﹣ABC D 各个面的交线即可；②根据NEFP四点共面，且三角形PNE
1 1 1 1
与三角形PEF面积相等，那么三棱锥Q﹣EFP的体积等于三棱锥P﹣ENQ的体积，直接利用
三棱锥的体积公式求解即可．
【解答】解：（1）在正方体ABCD﹣ABC D 中，
1 1 1 1
因为平面ABBA∥平面 DCC D，平面EFP∩平面 ABBA＝EF，
1 1 1 1 1 1
所以EF∥l，
因为点E、F 分别是棱 AA、AB 的中点，
1
所以 EF∥AB，
1
所以l∥AB．
1
（2）（i）因为直线 BD⊥平面 EFP，EP 平面 EFP，
1
所以 BD⊥EP，又因为△DAE≌△BAE，
1 1 1
⊂
所以DE＝BE，
1
所以DP＝BP，
1
因为 ，
× ，
，
所以三棱锥B﹣EFP的表面积为 ．
1
（ii）作图步骤如下：
连接GE，过点G作GH⊥DC于点H，连接HA并延长交GE的延长线于点I，连接IM并延长
交AB于点J交DC的延长线于点K，
再连接GK交CC 于点S，连接MS并延长交BC 的延长线于点R，连接RG并延长交AD 于点
1 1 1 1 1
Q，再连接EQ，GS，EJ，
则图中EQ，QG，GS，SM，MJ，JE即为平面EGM与正方体各个面的交线．设 BJ＝CK＝x，由题知
2AJ＝HC+CK＝3+x，
所以 ，所以 ，
解得 ，
因为 ，
∵MC＝2，∴ ，
所以 ，如上图，设N为线段AD 的中点，可证点N在平面PEF内，且三角形PNE与三角形PEF面积
1 1
相等，
所以，三棱锥 Q﹣EFP 的体积＝三棱锥 Q﹣ENP 的体积＝三棱锥 P﹣ENQ 的体积＝
，
所以三棱锥Q﹣EFP 的体积为 ．
【知识点】平面与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的体积、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
