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宁德市 2023-2024 学年度第二学期期末高一质量检测
数学试题
本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟 ，满分150分.
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对
答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上
书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1．设复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3．把红、蓝、黑、白 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 个人，每人分得 张，事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A.对立 B.相等 C.相互独立 D.互斥但不对立
4．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是
（ ）
A.若 ， ， ，则 B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则
5. 根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到
5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2,3,4,5时，表示不
下雨，产生20组随机数：
435 451 132 533 224 344 151 231 424 142
412 414 335 312 123 233 314 254 353 442
据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ）
A.0.4 B.0.5 C.0.55 D.0.6
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在余下的两局比赛中再赢一局就获得
冠军，若余下比赛中甲队每局获胜的概率为 ，则甲队获得冠军的概率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7．若平面向量 两两的夹角相等， ，则 （ ）
A.3 B.6 C. 或6 D.3或6
8．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 ），先后抛掷两次，
将得到的点数分别记为 ， ，记向量 ， 的夹角为 ，则
为钝角的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分. 在每小题给出的选项中有
多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 若 是样本数据 的平均数，则（ ）
A. 的极差等于 的极差
B. 的中位数等于 的中位数
C. 的众数等于 的众数
D. 的方差大于 的方差
10．已知 三个内角 的对应边分别为 ，且 ，则（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则 在 上投影向量的模长为1
C.若 ， ，则角 有两解
D.若 ，则
11．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台
称为“刍童”．已知棱台 是一个侧棱
相等的“刍童”，若 ，则
（ ）
A.该“刍童”的表面积为
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学科网（北京）股份有限公司B.能够被完整放入该“刍童”内的圆台的体积可能为
C.该“刍童”的外接球的球心到平面 的距离为
D.棱长为 的正四面体可以在此空心“刍童”容器内部任意转动
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学科网（北京）股份有限公司第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡的相应位
置）
12．某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中
教师人数为15人，则该校学生人数为_______．
13．在直三棱柱 中， , ，动点 在棱 上，
则点 到平面 的距离为_______．
14．已知 ， ， ， 是平面内两两互不相等的向量，满足 ，
且 （其中 ； ），则 _______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知复数 ， .
（1）若 是纯虚数，求 ;
（2）若 在复平面内对应的点在第三象限，求 的取值范围.
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 是边长为4的正三角形，
为棱 的中点， 平面 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若异面直线 和 所成角的正切值为 ，求二面角 的大小．
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学科网（北京）股份有限公司高一数学期末试题 第 5 页 共5页
学科网（北京）股份有限公司17．（本小题满分15分）
已知 三个内角 的对应边分别为 ， ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， 为 上一点， 平分 求 .
18．（本小题满分17分）
为了调查某校高一地理学科学生的学习情况，用分层抽样从该校高一年级学生中抽取一个
容量为100的样本进行质量监测，男生40个，女生60个. 将监测后40个男生的成绩（满
分为 100 分）分为 6 个区间： ， ， ， ， ，
，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据以上样本数据，估计该校高一年段地理学科男生成绩的平均数；
（2）若从男生成绩样本数据 和 内随机抽取两个样本，求这两个样本来自
同一区间的概率；
（3）已知样本数据中男生成绩的方差为194，样本数据中女生成绩的平均数和方差分别为
76和120，以此估计该校高一年段地理学科成绩的总体平均数和方差.
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学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分17分）
数学家阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之
比为常数 且 的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆，后人将这个圆称
为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体 中，点 是 的中点，点
是正方体表面 上一动点（包括边界），且两直线 ， 与平面 所成
的角相等.
（1）证明：点 的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧，并画出大致图象（不要求写出画
法）；
（2）记点 的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为 ，求 的取值范围；
（3）当线段 最短时，在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ,若有，
请求出平面 截正方体 的截面周长，若无，说明理由.
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