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南宁二中 2023-2024 学年度下学期高一期末考试
（时间120分钟，共150分）
一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项）.
1.已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3.在正方体 中，异面直线 与 所成的角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知数据 的平均数 ，方差 ，则 的平均
数 和方差 分别为（ ）
A. B.
C. D.
5.设 为不重合的两平面， 为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ）
A. ，且 ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则 与 不垂直
6.已知样本空间 ，事件 ，事件 ，事件 ，
则下列选项错误的是（ ）
A. 与 独立 B. 与 独立
学科网（北京）股份有限公司C. 与 独立 D.
7冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化
风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有
固定的角度，比如在弯折位置通常采用 等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角
度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了 ，如图，测得 ，
若点 恰好在边 上，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知 为 内一点，且满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部逸对得5分，部
分选对得2分，有选错或不选得0分）.
9.已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 对应的点在复平面的第三象限
C. 为纯虚数
10.在平行四边形 中， 是 的中点，则（ ）
A.
学科网（北京）股份有限公司B.
C.
D. 在 上的投影向量为
11.某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400
名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间 内，根据调查结果绘制
学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A.样本的众数为70
B.样本中得分在区间 内的学生人数的频率为0.03
C.用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
D.用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
12.如图所示，正四棱台 中， ，点 在四边形 内，点
是 上靠近点 的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B.该正四棱台的高为
C.若 .，则动点 的轨迹长度是
D.过点 的平面 与平面 平行，则平面 截该正四棱台所得截面多边形的面积为
三､填空题（每小题5分，共20分）.
学科网（北京）股份有限公司13.已知向量 ，若 ，则 __________.
14. 是关于 的方程 的一个根，则实数 __________.
15.对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分
别为 ；抽取男生20人，其平均数和方差分别为 ，则总样本平均数为
__________；总样本的方差为__________.
16.在三棱锥 中， 平面 ，设三棱锥 外
接球体积为 ，则 __________.
四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，正明过程或验算步骤）.
17.（10分） 的内角 的对边分别为 ，且满足 .
（1）证明： 为等腰三角形
（2）若 ，求 的面积.
18.（12分）为备战运动会，射击队的甲､乙两位射击运动员开展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10
次，每次命中的成绩（环数）如下：
甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10
乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8
（1）求甲运动员的样本数据第85百分位数；
（2）分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差；
（3）射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运
动员的成绩，作出判断并说明理由.
注：一组数据 的平均数为 ，它的方差为
19.（12分）如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点.求证：
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 四点共面；直线 ，直线 ，直线 三线共点
（2）平面 平面 .
20.（12分）一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小､质地均一致.设计了两个摸球游
戏，其规则如下表所示
游戏1 游戏2
摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球
若摸出的2球颜色相同，则甲获胜
获胜规则
若摸出的2球颜色不同，则乙获胜
（1）写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的.
（2）甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游
戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率.
21.（12分）四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形，
为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成的角的正切值；
（3）求钝二面角 的余弦值.
22.（12分）在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
学科网（北京）股份有限公司（1）求角 的大小；
（2）点 是 上的一点， ，且 ，求 周长的最小值.
南宁二中 2023-2024 学年度下学期高一期末考试
数学试题答案
1.【解析】答案C： ，虚部为-2
2.【解析】答案：B.另外三组向量共线
3.【答案】A【详解】正方体中， ，所以 与 所成的角即异面直线 与 所成的
学科网（北京）股份有限公司角，因为 为正三角形，所以 与 所成的角为 ，所以异面直线 与 所成的角为 .
4.【答案】A【详解】因为 的平均数是10，方差是10，所以
的平均数是 ，方差是 .故选：A.
5.【解析】答案：D
A.缺少条件 ，错误
B. 与 夹角不固定，错误
C.可能会出现 ，错误
D. 与 不重合，不可能有第二个交点，且 与 不平行，故 与 不垂直，正确
6.【解析】答案：D
，即 两两独立.但
，故D错误，选择D.
7.【答案】C
【解析】由题意，在 中，由余弦定理， ；因为
，所以 ，在 中，由正弦定理
，所以 ，解得 ，
8.【解析】答案：B
原式化为 ，即
方法1：原式继续化为 ，即 ，延长 至 点，令
，即 三点共线，则 .
学科网（北京）股份有限公司方法2：由奔驰定理， ，故
9.【解析】答案：BCD
A. ，错误
B. ，对应的点在复平面的第三象限，正确
C. ，为纯虚数，正确
D. ，正确
10.【答案】AC
【详解】
如图，设 ，则 ，
对于A项， ，故A项正确；
对于B项，由A项可得， ，两边取平方，
，则 ，故B项错误；
对于C项，因 ，
则 ，故C项正确；
对于 项， 在 上的投影向量为 ，故D项错误.
故选：AC.
11.【解析】答案：ACD
学科网（北京）股份有限公司A.众数为区间 的中点横坐标70，正确
B. ，即 ，频率为0.3
C.样本中成绩在80分以上的频率为 ，用样本估计总体，总体人数为2400人，
其中成绩在80分以上的人数约为 ，正确
D.样本平均数为 ，正确
12.【答案】AD
【详解】对于 选项，因为 ，所以 ，由余弦定理可知
， ，解得 ，所以
，即 ，同理可得 ，又因为 平面
，所以 平面 ，故 正确；对于 选项，如图①所示，过点 作 ，垂足为
，则四棱台的高为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故 错误；对于 选项，由勾股定理得 ，
故点 的轨迹为以 为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，其中 ，故
，又 ，
由勾股定理得 ，由于 ，所以 ，故 ，
故动点 的轨迹长度是 ，故C错误；对于D选项，如图①，分别在棱 上取点 ，
使得 ，易得平面 平面 ，所以 即为平面 截该四棱台
所得截面多边形，易知 ，所以 ，所以截
面多边形的面积为 ，故D正确，故选：AD.
学科网（北京）股份有限公司13.【解析】答案：2或-2
，则 ，则 或-2
14.【解析】答案：10
若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，即 为该方程的两根，由
韦达定理，
15.【解析】答案：54； （小数形式18.2也正确）
设 分别为总样本均值和方差，
16.在三棱锥 中， 平面 ，设三棱锥 外
接球体积为 ，则 __________.
【解析】答案：
由于 ，故 .将三棱锥 补形为边长分别为 的长方体，则其
外接球半径 ，故
17.【详解】（1）因为 ，由正弦定理，所以
则 .
或 ，
又 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，即
. 为等腰三角形
（2）由 ，则
，
即
18.【详解】（1）根据题意可知，；
把甲的数据按从小到大排列如下：
因为
所以第9个数据是第85百分位数，
所以第85百分位数为10.
（2）
（3）由（2）知，
平均数 方差 命中9环及9环以上的次数
甲 7 4.6 3
乙 7 1.2 1
（i）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且 ，则乙的成绩比甲稳定；
（ii）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙多，所以，甲爆发力更强.
学科网（北京）股份有限公司（iii）乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第六次以后就没有比乙少的情况发生，甲更有潜
力.确定人选（11分），说出理由（12分），言之有理即可
19.【详解】（1） 分别是 的中点
是 的中位线，
又在三棱柱 中，
由平行的传递性， ，
四点共面.
设 ，下证
平面 平面
平面 平面
平面 平面
，即 三线共点
（2） 分别为 的中点，
，
平面 平面 ，
平面 ，
在三棱柱 中， ，
，
四边形 是平行四边形， ，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 .
学科网（北京）股份有限公司20.【解析】
（1）记三个红球为 号，记白球为 号，用 表示两次摸球的情况，记游戏1与游戏2的样本空
间分别为 ，
记 “在游戏1中甲获胜”，记 “在游戏2中甲获胜”
，
，
故游戏1是公平的.
（2）记 “甲获得第 局游戏胜利”， ，记 "“甲获得比赛胜利”
由（1），
学科网（北京）股份有限公司21.【解析】（1）证明： 四边形 为菱形， ，
为等边三角形， ，
在 中， 是 中点， ，
平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 平面 平面 .
（2）解： 平面 斜线 在平面内的射影为 ，
即 是 与平面 所成角的平面角，
平面 平面 ，
在 中， ，在 中， ，
平面 平面 ，
在 中， ，
与平面 所成角的正切值为 .
（3）作 中点 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建系
学科网（北京）股份有限公司设 分别为平面PCB，平面 法向量
，即 ，即
，即 ，即
，
则钝二面角 的余弦值为
其他建系方法（i）：作 中点 ，以 为 轴， 为 轴， 为 轴建系
平面PCB法向量 ，平面 法向量
其他建系方法（ii）：作 中点 ，以 为 轴， 为 轴建系
平面PCB法向量 ，平面PCE法向量
22.（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得 ，而
，
学科网（北京）股份有限公司故 ，
则 ；
（2）法1：设 ，设 ，则
在 中， ，即
在 中， ，即
周长 .
令 ，则
即周长最小值为
法2：由于 ，则 ，
在 中， ；
在 中， ；
学科网（北京）股份有限公司而 ，故 ，设 ，
则 ，即 ，
在 中， ，
即 ，于是 ，故 ，
分别在 利用余弦定理得 ，
两式相减得 ，
当 时，上式恒成立，此时 为正三角形，周长为 ；
当 时， ，于是 ，
故 ，
由于 ，故当 时， 取最小值 ，故 周长的最小值为 .
学科网（北京）股份有限公司
