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高二年级期中考试题卷
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的）
1. 点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围
即可求出结果.
【详解】 ，即 ，又 ，所以 ，
故选：D.
2. 若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学
生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
A. 0.1573 B. 0.34135 C. 0.49865 D. 0.1359
【答案】A
【解析】
【分析】由X（单位：分）服从正态分布N（96，16），可得 ，则
，然后根据正态分布的
学科网（北京）股份有限公司对称性可求得结果
【详解】因为数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以
，
故选：A
3. 已知函数 在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导函数 在 上恒成立，分离参数可得参数范围．
【详解】根据函数 在区间（0，1）上单调递减，
所以 恒成立， ，
所以 恒成立，所以 ，即 ．
故选：B．
4. 有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都
有人去游览的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【详解】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游
览共有 中不同的方法，即可求解概率.
详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有 中不同的方法，
其中每个景点都有人去游览共有 中不同的方法，
所以所求概率为 ，故选D.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是
两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出
隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论
时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则
反”的思维方式．
5. 若函数 的极大值为2，则 的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】由导数分析单调性，根据极值列方程解出 后求解
【详解】 ，
可得 在 和 上单调递增，在 上单调递减
有极大值为 ，解得 ，
故 的单调递减区间为 ，
故选：B
6. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手
学科网（北京）股份有限公司机超过1 ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 的学生中任意调查一名学生，则他近视
的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】令 “玩手机时间超过 的学生”， “玩手机时间不超过 的学生”， “任意调查
一人，此人近视”，
则 ，且 互斥， ， ，
依题意， ，解得
，
所以所求近视的概率为 .
故选：B
【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件 与
的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
7. 已知函数 ， ，若直线 与函数 ， 的图象都相切，则
的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用导数的几何意义分别得到 、 ，再运用基本不等式即可求解.
【详解】设直线 与函数 ， 的图象相切的切点分别为 ， .
由 ，有 ，解得 ， .
又由 ，有 ，解得 ， ，可得 ，当且仅当
， 时取“=”.
故选：B
8. 函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断 的单调性，作出 与 的函数图象，根据图象交点个数和
导数的几何意义得出 的范围．
【详解】解：令 得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
作出 与 的函数图象如图所示：
学科网（北京）股份有限公司设直线 与 的图象相切，切点为 ，
则 ，解得 ， ， ，或 ， ， ，
有两个不同的零点，
与 的函数图象有两个交点，
或 ，即 ．
故选：C．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 设随机变量 的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为（ ）
0 1 2 3
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据概率和为1，可求得m值，根据期望、方差公式，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】根据概率和为1，可得 ，解得 .
对于A： ，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C： ，故C正确；
对于D： ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率和、数学期望和方差的计算，属于基础题
10. 已知 ， ， （其中 为自然对数的底数），则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 ， ，再利用作差法判
断 、 ，即可得解；
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：令 ， ，则 ，所以当 时 ，当
时 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
，所以 ， ，又
，所以 ，所以 ；
故选：AD
11. 下列说法中，正确的命题有（ ）
A. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
B. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则 的值分别是 和0.3
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D. 若样本数据 ， ， ， 的方差为2，则数据 ， ， ， 的方差为16
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；
对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.
【详解】对于A，因 ，且 ，于是得
，A不正确；
对于B，由 得 ，依题意得 ， ，即 ，B正确；
对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；
对于D，依题意， ， ， ， 的方差为 ，D不正确．
学科网（北京）股份有限公司故选：BC．
12. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 既存在极大值又存在极小值 B. 函数 存在 个不同的零点
C. 函数 的最小值是 D. 若 时， ，则 的最大值
为
【答案】ACD
【解析】
的
【分析】利用导数研究 单调性判断极值情况，再结合零点存在性定理判断零点个数，进而确定最小
值，应用数形结合判断参数t的最值.
【详解】由题设， ，
所以 上 ， 递减； 上 ， 递增； 上 ， 递
减；
故 在 上取极小值， 上取极大值，A正确；
又 ， ， ，当 趋于正无穷时 无限趋向于0且 ，
在
故 存 两个不同零点，B错误；
由B分析知： 在 上值域为 ，在 上值域为 ，在 上 ，
故 在R上的值域为 ，即最小值是 ，C正确；
由上分析可得如下函数图象：要使 时 ，只需 即可，故 的最大值为 ，
D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知随机变量 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】若X B(n，p)，则E(X)＝np．
~
【详解】∵ ，∴E(X)＝10×0.3＝3．
故答案为：3．
14. 某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2
人，则2人的日生产件数之和 的方差为______.
【答案】576
【解析】
【分析】先分析可得 的可能取值为190，150，110，然后根据超几何分布的概率计算公式求出概率，然
后再根据均值和方差的计算公式进行计算即可得解.
【详解】由题意，可得 的可能取值为190，150，110，
且 ， ， ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司.
所以方差
故答案为：576.
15. 已知 是定义在R的函数f（x）的导函数，且 ， ，则不等式
的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】引入新函数 ，由导数确定单调性，不等式化为 ，然后由单调性解不
等式．
【详解】设 ，因为 ，所以 ，
所以 是单调增函数， ，
不等式 化 为 ，即 ，
所以 ， ， ．
故答案为： ．
16. 甲乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛
无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为 ，客场取胜的
概率为 ，且各场比赛相互独立，则甲队以 获胜的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜任两局，分类讨论，结合独立事件的
学科网（北京）股份有限公司概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，甲队以3：2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜任两局，
有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，
其概率为 .
故答案为： .
四、解答题
17. 已知 展开式中第3项和第7项的二项式系数相等.
的
（1）求展开式中含 项的系数；
（2）展开式系数的绝对值最大的项是第几项？
【答案】（1）
（2）第3项和第4项
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 ，求得展开式的通项 ，令 ，解得
，代入即可求解；
（2）设第 项的系数的绝对值最大，列出不等式组，求得 的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由 展开式中第3项和第7项的二项式系数相等，
可得 ，解得 ，
则二项式 的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以含有 的项的系数为 .
【小问2详解】
解：设第 项的系数的绝对值最大，
9−k
{
≥2
{28−k ⋅Ck≥29−k ⋅Ck−1
k
则 8 8 ，即 ，解得 且 ，
28−k ⋅Ck≥27−k ⋅Ck+1 8−k
8 8 2≥
k+1
所以系数的绝对值最大值的项为第3项和第4项.
18. 现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.
（1）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸
球方法数.
（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？
（注：请列出解题过程，结果保留数字）
【答案】（1）9 （2）16
（3）150
【解析】
【分析】（1）先分析摸出的3个球中全是红球的再求摸出的三个球中至少有1个白球的情况数；
（2）先把A安放在中间位置，从A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列即可；
（3）先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中，再按3，1，1和2，2，1两种情况计算即可
【小问1详解】
将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，摸出的3个球中全是红球的不同摸法有 种，则摸
出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为 种
【小问2详解】
先把A安放在中间位置，从A中的两侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排列，方法有
种
【小问3详解】
先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中，
学科网（北京）股份有限公司若按3个盒子分别3，1，1个小球分配，有 种；
若按3个盒子分别2，2，1个小球分配，有 种；
故共有 种
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
19. 已知函数 ．
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2） 在点 处的切线与 只有一个公共点，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） 的值为 ，或 .
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）根据 是否为零进行分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【小问1详解】
由 ，因此有 ，
所以函数 在点 处的切线方程为： ；
【小问2详解】
当 时， ，
所以有 ，直线 与直线 只有一个交点，符合题意；
学科网（北京）股份有限公司当 时，由 ，要想 在点 处的切线与
只有一个公共点，
只需 ，
综上所述： 的值为 ，或 .
20. 近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己
的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
x 2 4 6 8 10
y 64 138 205 285 360
（1）计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.0001），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点
赞数的相关性很强；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程.
参考公式： ， ， .
参考数据： ， .
【答案】（1） ，可以
（2）
【解析】
【分析】（1）由表中数据求出 ， ， ， ，再根据相关系数公式计算相关系数 ，即
可判断；
（2）根据所给数据求出 ， ，即可得到回归直线方程；
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：由表中数据得： ，
，
所以
∴ .
由此可以认为发布的视频个数与收到的点赞数的相关性很强.
【小问2详解】
解：由数据知： ， ，
∴ ，
故 .
21. 某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮
都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别
学科网（北京）股份有限公司为 和 ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是 和 ，其中 .
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列.
【答案】（1）甲 （2）
（3）分布列答案见解析
【解析】
【分析】（1）计算出甲、乙、丙分别进入决赛的概率，比较大小后可得出结论；
（2）根据独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率公式可得出关于 的方程，结合 的取值范围可求
得 的值；
（3）分析可知随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得出
随机变量 的分布列.
【小问1详解】
解：甲进入决赛的概率为 ，乙进入决赛的概率为 ，
由已知可得 ，解得 ，
丙进入决赛的概率为 ，
所以，甲进入决赛的可能性最大.
【小问2详解】
解：甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
学科网（北京）股份有限公司，
整理可得 ，因为 ，解得 .
【小问3详解】
解：由题意可知，甲、乙、丙进入决赛的概率分别为 、 、 ，
由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，
， ， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
22. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若存在 ， 满足 ，且 ， ，求实数a的取值范围．
【答案】（1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增；
学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）根据 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）根据已知等式构造函数 ，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断
该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问2详解】
，
又 ，则 ．
令 ，即方程 在 上有解．
令 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ． ，
当 时， ， 在 上单调递减，
又 ，则 在 上恒成立，不合题意；
当 时， ，令 ，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且 ，所以 ．
当 时， ，
当 时， ；
则 时， ，
而 ．
令 ，则 ，
令 ， ，
则 在 上单调递减， ，
则 在 上单调递减， ，即 ，
故存在 ，使得 ，故 满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是 ．
【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
