高二（上）期末模拟测试卷（B卷能力提升）解析版_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_04.期末试卷_高二（上）期末模拟测试卷（B卷能力提升）

高二（上）期末模拟测试卷（B 卷 能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．） 1. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【详解】 表示焦点在 轴上的椭圆 ，解得： 故选： 2. 下列四个命题为真命题的是 A. “若 ，则 互为相反数”的逆命题； B. “全等三角形的面积相等” 的否命题； C. “若 ，则 无实根”的逆否命题； D. “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题； 【答案】A 【解析】选项 的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，不全等三角形的面积也可以相等，为假命题； 选项 的逆否命题为“若 有实根，则 ”，当 有实根，则 ，解得 ，可知为假命题； 选项 的逆命题为“若三角形的三个内角相等，则该三角形是不等边三角形”，显然为假命题. 本题正确选项： 3. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是 “返回家乡”的（ ） 1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题,“不破楼兰终不还”意味着如果“返回家乡”,则一定“攻破楼兰”； 但“攻破楼兰”后, 是否还有其他任务,诗句中并未提及,无法判断此时可否“返回家乡”；故选:B 4. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：双曲线的一条渐近线是 ，则 ①，抛物线 的准线是 ，因此 ，即 ②，由①②联立解得 ，所以双曲线方程为 ．故选D． 5. 如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中 为直角三角形， 四边形 为它的内接正方形，已知 ， ，在 上任取一点，则此点取自正方形 的概率为（ ） 2A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 ，因为 ，所以 ，即 ，解得 ， 设在 任取一点，则此点取自正方形 的事件为 ， 由几何概型概率公式可得， .故选A. 6. 已知点P为双曲线 右支上一点，点F，F 分别为双曲线的左右焦点，点I是 1 2 △PFF 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 成立，则双曲线的离心率取值 1 2 范围是（ ） A. （1， ） B. （1，2 ） C. （1，2 ] D. （1， ] 【答案】D 【解析】设 的内切圆的半径为 ，则 ， 因为 ，所以 , 由双曲线的定义可知 ，所以 ，即 ， 3又由 ，所以双曲线的离心率的取值范围是 ，故选D． 7. 试在抛物线 上求一点 ，使其到焦点 的距离与到 的距离之和最小，则该点坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得抛物线的焦点为 ，准线方程为 ． 过点P作 于点 ，由定义可得 所以 ， 由图形可得，当 三点共线时， 最小，此时 ． 故点 的纵坐标为1，所以横坐标 ．即点P的坐标为 ．选A． 8. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且离心率为 ，三角形 的三个顶点都 在椭圆 上，设它的三条边 ､ ､ 的中点分别为 ､ ､ ，且三条边所在直线的斜率分别为 ､ ､ ，且 ､ ､ 均不为0. 为坐标原点，若直线 ､ ､ 的斜率之和为1.则 （ 4） A. B. -3 C. D. 【答案】A 【解析】因为椭圆的右焦点为 ，且离心率为 ，所以 ，解得 ， 所以椭圆方程为： ，设 ，则 ， 两式相减得： ，即 ，同理 ， 又直线 ､ ､ 的斜率之和为1，所以 ，故选：A 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 9．若x2 x20是2xa的充分不必要条件，则实数a的值可以是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【解析】：由x2 x20，解得1x2．又x2 x20是2xa 的充分不必要条件， ， ， ，则 ． 实数 的值可以是2，3，4． (1 2)� (2 a) a�2  a 故选：BCD． 10．若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为( ) A．x y10 B．x y30 C．2x y0 D．x y10 【答案】ABC 20 【解析】：当直线经过原点时，斜率为k  2，所求的直线方程为y2x，即2x y0； 10 当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x yk，把点 A(1,2)代入可得12k，或12k ，求得 k 1，或k 3，故所求的直线方程为x y10，或x y30； 综上知，所求的直线方程为2x y0、x y10，或x y30．故选：ABC． 511. 已知P是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 ，且 ，则 （ ） A． 的周长为12 B． C．点P到x轴的距离为 D． 【答案】. BCD 【详解】由椭圆方程知 ，所以 ，所以 ， 于是 的周长为 ，故A选项错误；在 中，由余弦定理可得 ， 所以 ，解得 ， 故 ，故B选项正确； 设点 到 轴的距离为 ，则 ， 所以 ，故C选项正确； ，故D选项正确． 12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中之一（如图）.给出下 列三个结论： 6A.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ； C.曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. D. ①②③都不对 其中，所有正确结论 的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】AB 【解析】由 得, , , 所以 可为的整数有0,-1,1,从而曲线 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论A正确. 由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不 超过 . 结论B正确. 如图所示,易知 , 四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即“心形”区 域的面积大于3,说法C错误. 二､填空题 13. 抛物线 的准线方程为________． 7【答案】 【解析】因为抛物线 的标准方程为： ，因此其准线方程为： .故答案为 【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 14．若曲线 与曲线 有四个不同的交点,则实数 的取值 范围是__________. 【答案】 【解析】由 得 ， 曲线C 表示以 为圆心以1为半径的上半圆， 1 显然直线 与曲线C 有两个交点，交点为半圆的两个端点， 1 ∴直线 与半圆有2个除端点外的交点， 当直线 经过点 时， ，当直线 与半圆相切时， ，解 得 或 （舍去） 所以 时，直线 与半圆有2个除端点外的交点， 故答案为： 15．已知椭圆 的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ，左、右焦点分别是 ， 8，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则 的取值范围是______. 【答案】 【解析】由已知得 ，故 ，∵ 的面积为 ， ∴ ，∴ ，又 ， ∴ ， ，∴ ， 又 ，∴ ， ∴ .即 的取值范围为 .故答案为 16. 过抛物线 的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若 ，O为坐标原 点，则 ________. 【答案】 【解析】过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C 设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0， ），准线：y＝﹣ ， 根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x， 由图可知： ，即 ，解得x＝ ，则 ．故答案为： 910三､解答题 17. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求与双曲线 =1有共同的渐近线，且过点 的双曲线标准方程. 【答案】（1） 或 .；（2） . 【解析】 【分析】 （1）分别讨论焦点在 轴上，焦点在 轴上，两种情况，根据题中条件，分别求解，即可得出结果； （2）根据题中条件，设双曲线标准方程为 ，点 在双曲线上， 直接代入， 求出 ，即可得出结果. 【详解】（1）若焦点在 轴上，可设椭圆标准方程为： ， 由长轴长知： ， ；由焦距知： ， ，解得： ； 椭圆标准方程为： ； 若焦点在 轴上，可设椭圆标准方程为： ， 同焦点在 轴上，可得 ， ， 所以椭圆方程为 ； 综上，所求椭圆方程为 或 . 11（2） 所求双曲线与双曲线 =1有共同的渐近线， 可设双曲线标准方程为 ， 又过点 ，所以 ，解得 ， 所以 即 为所求. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求双曲线的标准方程，属于基础题型. 18. 已知命题 ， ，命题 实数 满足：方程 表示双曲线． 若命题 为真命题，求实数 的取值范围； 1 若命题“ 或 ”为假命题，求实数 的取值范围． 2 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 1 ， 恒成立，可得 ，从而求得m的范围； 2 由“p或q”为假命题， 可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解． 【详解】 ， 恒成立， 1 ，解得 ， 实数 的取值范围是 ； m “ 或 ”为假命题， ， 均为假命题， 2 p q q 12当 为真命题时，则 ，解得 或 ． q 为假命题时， ． 由 知， 为假命题时 ． p 从而 ，即 ． 实数 的取值范围为 ． 【点睛】m本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题． 19. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且点 的横坐标为 ， ． （1）求抛物线的方程； 的 （2）设过焦点 且倾斜角为 交抛物线于 两点，求线段 的长． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先由题意得 ，求出 ，即可得出抛物线方程； （2）先由题意，得到直线 的方程为 ，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果. 【详解】（1）由题意得 ， ∴ ，故抛物线方程为 ． （2）直线 的方程为 ，即 ． 与抛物线方程联立，得 ， 13消 ，整理得 ，其两根为 ，且 ． 由抛物线的定义可知， ． 所以，线段 的长是 ． 【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线 的焦点弦公式即可，属于常考题型. 20.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，过点 ． （1）求双曲线C的标准方程； （2）是否存在被点 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线l不存在．详见解析 y 2x 【解析】（1）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，  6  设双曲线方程为：x2  y2 λ，过点 P  ,1 ，可得 ， 2 2   λ 1 y2 x2  1 所求双曲线方程为： 2 ． B1,1 （2）假设直线l存在．设 是弦MN的中点， Mx ,y  Nx ,y  x x 2 y y 2 且 1 1 ， 2 2 ，则 1 2 ， 1 2 ．   2x 1 2y 1 21  M ，N在双曲线上，   2x2 2 y2 2 1 ， 2x 1 x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1 y 2 0 ， y y k  1 2 2 4x x 2y y  ， x x ， 1 2 1 2 1 2 y12x1 2xy10 直线l的方程为 ，即 ， 14 2x2y22 2xy10 联立方程组 ，得  2x2 4x30  1643280   ， 直线l与双曲线无交点， 直线l不存在． 21.已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ， 线段 的中点为 ． （Ⅰ）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能， 或 ． 【解析】(1)设直线 ， ， ， ． ∴由 得 ， ∴ ， ． ∴直线 的斜率 ，即 ．即直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值 ． （2）四边形 能为平行四边形． ∵直线 过点 ，∴ 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， 由 (Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ． 15∴由 得 ，即 将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因此 ． 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即 ∴ ．解得 ， ． ∵ ， ， ， ∴当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形． 22. 如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 （均异于点 ），证明：直线 与 的斜率之和为2. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】 16（1）由 ，结合 即得解； （2）设直线 的方程为 ，与椭圆联立，设 ， ，用点坐标表 示 ，韦达定理代入即得解. 【详解】（1）由题设知 ， ，结合 ， 解得 . 所以椭圆的方程为 . （2）由题设知，直线 的方程为 ，代入 ，得 . 由已知 ， 设 ， ， ， 则 ， ， 从而直线 的斜率之和 . 17所以直线 斜率之和为定值2. 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题. 18