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高二下数学半期考试试题（高考班）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解
【详解】选项A， ，错误；
选项B， ，正确；
选项C， ，错误；
选项D， ，错误
故选：B
2. 曲线 在 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数 ，计算出 为切线斜率，再求得 ，由点斜式写出直线方程，并整理．
【详解】 ， ， ，故切线方程为 ，即 .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司3. 从 中任取 个不同的数，事件 “取到的 个数之和为偶数”，事件 “取到两个数均
为偶数”，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得 和 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意 , ,故 .故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
4. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度误差落在
区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 由 题 意
故选B．
考点：正态分布
5. 2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾
桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定
学科网（北京）股份有限公司角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左
右位置关系不作考虑)（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C
【解析】
【分析】
分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，
最后利用分步乘法计数原理，求得结果.
【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有 种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有 种放法；
所以不同的摆放方法共有 种，
故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：
（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有 种选法；
（2）之后就相当于三个元素的一个全排；
（3）利用分步乘法计数原理求得结果.
6. 已知变量 ， 之间的线性回归方程为 ，且变量 ， 之间的一组相关数据如表所示，
则下列说法错误的是（ ）
6 8 10 12
6 3 2
A. 变量 ， 之间呈负相关关系 B.
C. 可以预测，当 时， D. 该回归直线必过点
【答案】B
【解析】
【分析】
学科网（北京）股份有限公司A.由回归方程 的x的系数判断；B.将 。代入回归方程求得 即可；C. 将 代
入回归直线方程判断； D.根据回归直线过点 判断.
【详解】A.由回归方程 知 ，所以变量 ， 之间呈负相关关系，故正确；
B.因为 。则 ，所以 ，
解得 ，故错误；
C. 当 时， ，故正确；
D.由B知： ， ，所以回归直线必过点 ，故正确；
故选：B
7. ( + )(2 - )5的展开式中 3 3的系数为
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
【答案】C
【解析】
【详解】 ，
由 展开式的通项公式 可得：
当 时， 展开式中 的系数为 ；
当 时， 展开式中 的系数为 ，
则 的系数为 .
故选C.
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出
的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即
n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，
再求所求解的项.
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
学科网（北京）股份有限公司8. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： ，∵函数 在区间 单调递增，∴ 在区间
上恒成立．∴ ，而 在区间 上单调递减，∴ ．∴ 的取值范围是 ．故
选D．
考点：利用导数研究函数的单调性.
二、多选题(共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的
得0分)
9. 关于变量x，y的n个样本点 及其线性回归方程． 下列说法正确
的有（ ）
A. 相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强
B. 相关指数 的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
C. 残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D. 若 ，则点 一定在线性回归方程 上
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据回归分析的相关知识，逐一分析四个选项的正误即可.相关系数的绝对值越接近0，线性相关度越弱.相
关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，拟合程度越好.残差平方和越小，拟合程度越好.线性回归方程一
定过样本中心点.
【详解】根据线性相关系数的意义可知，当 的绝对值越接近于0时，
两个随机变量线性相关性越弱，则A错误；
学科网（北京）股份有限公司用相关指数 来刻画回归效果，
越大，说明模型的拟合效果越好，则B正确；
拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的，
残差平方和越大，拟合效果越差，则C错误；
样本中心点一定在回归直线上，则D正确.
故选：BD.
10. 设离散型随机变量 的分布列如下表：
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3
若离散型随机变量 ，且 ，则（ ）
.
A B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先由 可得 ，再由概率和为1得 ，从而可求出 的值，再利
用期望和方差公式求 ， 即可，从而可得答案
【详解】由 得 ，又由
得 ，从而得 ， ，故A选项错误，B选项正确；
，故C选项正确；
因为 ，所以
，故D选项错误，
故选：BC．
11. 一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球.下面几个命题中正确的是（
）
学科网（北京）股份有限公司A. 如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件
B. 如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率
C. 如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是
D. 如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，利用对立事件的概念判断即可；对于B，分别计算出第2次取到红球的概率和第1次取
得红球的概率进行比较即可；对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白
球、第1次为白球第2次为红球，然后求出概率；对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，
第2次取出红球包括第1 次红球第2次白球、第1次白球第2次红球、两次都是红球，从而可求得其概率
【详解】对于A，不放回地抽取两个球，包括两个都是红球、两个都是白球和一个红球一个白球，共3种
情况，所以取出两个红球和取出两个白球不是对立事件，所以A错误；
对于B，不放回地抽取，第2次取到红球 的概率为 ，第1次取得红球的概率为 ，所以
第2次取到红球的概率等于第1次取到红球的概率，所以B错误；
对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红
球，所以所求概率为 ，所以C正确，
对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球包括第1 次红球第2次白球、第1
次白球第2次红球、两次都是红球，所以所求概率为 ，所以D正确，
故选：CD
12. 已知函数 在 上可导且 ，其导函数 满足 ，对于函
学科网（北京）股份有限公司数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 函数 在 上为增函数 B. 是函数 的极小值点
C. 函数 必有2个零点 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
对函数 求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判
断选项C；利用 在 上为增函数，比较 与 的大小关系，判断出选项D．
【详解】函数 ，则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，A错误；
当 时， ，故 在 单调递减，故 是函数g(x)的极小值点，B正
确；
若 ，则 有两个零点，
若 ，则 有一个零点，
若 ，则 没有零点，故C错误；
在 上为增函数，则 ，即 ，化简得 ，D正确；
故选：BD
【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较
大小，属于中档题．
三、填空题(每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分)
13. 某学校派出4名学生和2名老师参加一个活动，活动结束后他们准备站成一排拍照留念，则2名老师
相邻的不同排法有___________种.（用数字作答）
学科网（北京）股份有限公司【答案】240
【解析】
【分析】利用捆绑法即得.
【详解】因为2名老师相邻，把他们捆绑看作一个元素与4名学生排共有 种排法，再排其内部顺序又
种，
所以4名学生和2名老师站成一排拍照，2名老师相邻的不同排法有 种.
故答案为：240.
14. 对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”
感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占
比为 ．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率
分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是________．
【答案】74%
【解析】
【分析】根据题意，结合概率的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为 且该药对“普
通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，
所以这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率为 .
故答案为： .
15. 如图是函数 的导函数 的图像，给出下列命题：
①-2是函数 的极值点；
学科网（北京）股份有限公司在
②函数 处取最小值；
③函数 在 处切线的斜率小于零；
④函数 在区间 上单调递增.
则正确命题的序号是__________．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据导函数函数值的正负，即可求得 的单调性和极值点.
【详解】根据导函数 的图象可得，
当 上， ，在 上， ，
故函数在 上函数 单调递减，
在 和 ，函数 单调递增，
所以 是函数 的极小值点，所以①正确；
函数在 上单调递增，在 处取不到函数 的最小值，所以②不正确；
由 图象可得 ，
所以函数 在 处的切线的斜率大于零，所以③不正确；
由 图象可得，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，所以④是正确的，
综上可知，①④是正确的.
故答案为：①④.
【点睛】本题考查导函数的图象与原函数的关系，属基础题.
16. 设 ．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司实数 ________， ________．
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】令 ，即可求出 的值.再分别求出 与 展开式中的 的系数，再求和即为 的
值.
【详解】令 ，则
解得： .
的第 项系数为 .
所以 展开式中的 的系数为 ;
的第 项系数为 .
所以 展开式中的 的系数为 ;
故答案为： ； .
【点睛】本题考查二项式定理.属于基础题.
四、解答题(17题10分，其余题12分每道 共70分)
17. 已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）当 时，求函数 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数 的值；
学科网（北京）股份有限公司（2）求导，求出 时的极值，比较极值和 之间的大小的关系，最后求出函数的最小
值.
【详解】（1） ，函数 在 处取得极值，
所以有 ；
（2）由（1）可知： ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
故函数在 处取得极大值，因此 ，
， ，故函数 的最小值为 .
【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
18. 已知 在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求 ；
（2）求含 的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ， .
【解析】
【分析】
（1）求出 的展开式的通项为 ，当 时，指数为零，可得 ；
（2）将 代入通项公式，令指数为 ，可得含 的项的系数；
学科网（北京）股份有限公司（3）根据通项公式与题意得 ，求出 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有
理项．
【详解】（1） 的展开式的通项为 ，因为第6
项为常数项，所以 时，有 ，解得 ．
（2）令 ，得 ，所以含 的项的系数为 ．
（3）根据通项公式与题意得 ，令 ，则 ，即 ．
，∴ 应为偶数．又 ，∴ 可取2，0，-2，即 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9
项为有理项，它们分别为 ， ， ，即 ， ， ．
【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，
解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令 ，由 以及 ，求出 的
值，进而得出 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．
19. 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y，如下表：
零件尺寸x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
零件个数y 甲 3 7 8 9 3
学科网（北京）股份有限公司乙 7 4 4 4 a
由表中数据得y关于x的经验回归方程为 ，其中合格零件尺寸为
．
（1）求a的值
（2）完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析加工零件的质量与甲、乙机床是否
有关．
附： ，
α
【答案】（1） ；
（2）列联表见解析，认为加工零件的质量与甲、乙机床有关.
【解析】
【分析】（1）根据给定数表，求出样本的中心点，再根据经验回归方程必过样本中心点，列式计算作答.
（2）完善 列联表，计算 的观测值，再与临界值比对即可作答.
【小问1详解】
依题意， ， ，
由 ，得 ，解得 ，
所以a的值为11．
【小问2详解】
由于合格零件尺寸为 ，
所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的 列联表为：
零件的质量
机床加工 合计
合格零件数 不合格零件数
学科网（北京）股份有限公司甲 24 6 30
乙 12 18 30
合计 36 24 60
令零假设为 ：加工零件的质量与甲、乙机床无关，
则 ，
因此根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
所以认为加工零件的质量与甲、乙机床有关．
20. 甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照
答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘
者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．
【解析】
【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为 ， ，由于 ， ，
分别写出分布列，再求期望值均为 ；
的
（2）由于均值相等，可通过比较各自 方差.
【详解】（1）设 为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量，
依题意可得： ，
∴ ， ， ，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
，
∴ ， ，
， ，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
∴ ．
（2） ，
，
∵ ，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概
率计算的准确性.
21. 今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区
组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立
时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为 ，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是 ，乙、
学科网（北京）股份有限公司丙两所学校都回答正确这道题的概率是 .若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
（1）若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；
（2）若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为 ，乙校抢到的概率为 ，丙校
抢到的概率为 ，求这个问题回答正确的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为 ， ， ，利用独立事件的概率
公式结合题干条件列出方程，求解 ， ，再利用对立事件的概率公式，即得解；
（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解
【
小问1详解】
记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件 ， ， ，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别
为 ， ， ，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此 ， ， 是相互独立事件
由题意可知 ， ， ，
解得 ， .
所以，乙答对这道题的概率为 ，丙答对这道题的概率为 .
甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件 ，则概率为 ，其反面是三所学校都回答错误，
学科网（北京）股份有限公司即
则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为 ；
【小问2详解】
若规定三所学校需要抢答这道题，
则这个问题回答正确设为事件 ，得到抢答机会分别是事件 ， ， ，则
， ， ， ， ， ，
则
这个问题回答正确的概率为 .
22. 已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性；
（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）当 时，在 上， 是减函数,当 时，在 上， 是减函数,在
上， 是增函数；（2）
【解析】
【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）
对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x） ＞0，利用函数的导数求解函数的最值
min
即可．
【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）
学科网（北京）股份有限公司又
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
当a＞0时，由f′（x）=0得： 或 （舍）
所以：在 上，f′（x）＜0，f（x）是减函数
在 上，f′（x）＞0，f（x）是增函数
（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x） ＞0
min
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意
当a＞0时，当 时，f（x）取得极小值也是最小值，
所以：
令 （a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0
所以：要使得f（x） ≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
min
故：a的取值范围为[1，+∞）
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
学科网（北京）股份有限公司
