文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷（全解全析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。
5．难度系数：0.68。
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【解析】由题设，直线的斜率为 ，根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知：倾斜角为60°.
故选B
2．已知向量： ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以
，
故选D．
学科网（北京）股份有限公司3．若直线 与直线 的交点在第一象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，即交点为 ，
因为交点在第一象限，所以 .故选A．
4．已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量 以 为基底时的坐标为 ，所以 ，
设 ，
由空间向量基本定理得 ，解得 ，
所以 以 为基底时的坐标为 .
故选B．
5．到直线 的距离为1的直线方程为（ ）
A． B． 或
学科网（北京）股份有限公司C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】设所求的直线方程为 ，
由题意得 ，解得 或 ，
所以所求直线方程为 或 .故选C．
6．在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
, , , , , , ．
设平面 的法向量为 ，
,即 ，取 ， ，
所以点 到平面 的距离为 .
故选D.
学科网（北京）股份有限公司7．已知点 ， ，若点 在线段 上，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴可得 为点 与 的直线的斜率取值范围，
如图所示：
∴ 与 点连线斜率为 ，
与 点连线斜率为 ，
学科网（北京）股份有限公司∴可得斜率取值范围为 ．
故选:A．
8．如图，在正方体 中，M为线段 的中点，N为线段 上的动点，则直线 与直
线 所成角的正弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
设 (0 ≤ λ ≤ 1)得： ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司由 （当且仅当 时取等号），
∴ ，则 .
故选C.
9．过点 的直线 可表示为 ，若直线 与两坐标轴围成三角形的面积为6，则
这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】 可化为 ①，
要使 与两坐标轴能围成三角形，则 且 ，
由①令 得 ；令 得 ，
依题意，
，所以 或 ,
所以 或 ，
设 ，则 或 ，
则 或
解得 或 ，
即 或 ，
即 或 ，
学科网（北京）股份有限公司所以这样的直线有 条.
故选D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．已知直线 经过点 ，直线 经过点 ，若 ，则 的值为
__________．
【答案】0或5
【解析】因为直线 经过点 ，所以 的斜率存在，
而 经过点 ，则其斜率可能不存在，
当 的斜率不存在时， ，即 ，此时 的斜率为0，则 ，满足题意；
当 的斜率存在时， ，即 ，此时直线 的斜率均存在，
由 得 ，即 ，解得 ；
综上，a的值为0或5.
故答案为：0或5.
11．在四面体OABC中， 是棱OA上靠近 的三等分点， 分别是 的中点，设
，若 ，则 __________．
【答案】
【解析】 ，
故 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司12．直线 分别交 轴､ 轴的正半轴于 ､ 两点，当 面积最小时，直
线 的方程为__________．
【答案】
【解析】∵直线 ，
∴ ，
由 ，得 ，
∴直线恒过定点 ，
可设直线方程为 ，则 ， ，
又 ，即 ，当且仅当 时取等号，∴ ，
当 面积最小时，直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .
13．已知正方体 的顶点均在半径为1的球 表面上，点 在正方体 表面
上运动， 为球 的一条直径，则正方体 的体积是__________， 的范围是
__________．
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【解析】设正方体的棱长为 ，由题意 ， ，则正方体体积 ，
因为 ，
因为点 在正方体 表面上运动，
所以 ，故 范围为 ．
故答案为： ， ．
14．已知直线 （m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为__________；若
直线 与直线 ， 分别交于M点，N点，则 的最小值为__________．
【答案】 42
【解析】直线 ，
联立 ，解得 ， ，故 ；
易知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 ，
令 ，得 ；
令 ，得 ，
则 ， ，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立．故答案为： ， ．
15．如图，在棱长为2的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，点 在 上，
点 在 上，且 ，点 在线段 上运动，给出下列四个结论：
①当点 是 中点时，直线 平面 ；
②直线 到平面 的距离是 ；
③存在点 ，使得 ；
④ 面积的最小值是 ．
其中所有正确结论的序号是 _ ________ _．
【答案】①③
【解析】对①，如下图所示：因为 是 中点， ，
所以点 是 的中点，连接 ，显然 也是 的交点，连接 ，
所以 ，而 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 ，①对；
学科网（北京）股份有限公司以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ,
对②， 分别是棱 的中点，∴ ， 平面 ， 平面 ，故
平面 ，
故直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设为h，
， ， ，
，
由 得 ，②错；
对③，设 ，则 ，则 ，
，
由 即 得 ，
由 ，故存在点 ，使得 ，③对；
对④，由③得 到 的投影为 ，故P到 的距离
，
△ 面积为 ，
学科网（北京）股份有限公司由二次函数性质，当 时， 取得最小值为 ，④错.
故答案为：①③．
三、解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）
已知点 ．
(1)求过点 且与 平行的直线方程；
(2)求过点 且在 轴和 轴上截距相等的直线方程．
【解析】（1）直线 的斜率： ，
故过点 且与 平行的直线方程斜率 .
且 故直线方程为： ，即 .
（2）过点 且在 轴和 轴上截距相等的直线方程,
当截距为0时, 直线过原点，直线方程为： ，即 ；
当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为： ，
代入 得 ，
故直线方程为 即 .
学科网（北京）股份有限公司综上得：直线方程为 或 ．
17．（15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， 平面 ，
，点 分别在线段 和 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值；
【解析】（1）因为底面 为直角梯形， ，
所以 ，
因为 ， 是线段 的中点，
所以 ，
又因为 ， ，且 ，
所以四边形 是矩形，同时 ，
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
因为点 是线段 的中点，且 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
（2）
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，且 ，所以直线 两两垂直，
如图所示，分别以直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，
且 ，
则 ，
由上问 平面 ，则向量 是平面 的一个法向量，且 ，
设向量 是平面 的法向量，且 ，
则 ，即 ，不妨取 ，
令向量 与向量 的夹角为 ，
所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ， ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为： .
18．（15分）
设直线 和直线 的交点为 .
学科网（北京）股份有限公司(1)若直线 经过点 ，且与直线 垂直，求直线 的方程；
(2)若直线 与直线 关于点 对称，求直线 的方程.
【解析】（1）联立 得交点 ，
由直线 与直线 垂直，则可设直线 的方程为 ，
又直线 过点 ，代入得 ，则 ，
所以直线 的方程为 ；
（2）法一：由题意可得直线 与直线 平行，
则可设直线 方程为： ，
由直线 与直线 关于点 对称，得 到两条直线的距离相等，
即 ，得 （舍）或 ，所以直线 的方程为 .
法二：设直线 上任意一点 ，则点 关于点 对称的点为 ，
且点 在直线 上，得 ，
化简得直线 的方程为 .
19．（15分）
已知直角梯形 ， ， ， ， 为对角线 与 的
交点．现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，点 为 的中点，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)当三棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）直角梯形 中，
由相似可得， ，
因为 ， ，可得 ， ，
故可得 ， ，
由 ，则由勾股定理逆定理得， ，即 ，
，
翻折后可得， ， ，
又因为 ， 在平面 内，
故 平面 ．
（2）因为点 为边 的中点，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为 为定值，
当h最大时，三棱锥 的体积最大，
学科网（北京）股份有限公司而 ，则 ，
当h=1时， .
（3）由（2）得，当三棱锥 的体积最大时，
点P到平面ABC的距离为 ，即 平面 ．
故 ， ，
又因为 ，
故 ， ， 两两垂直．
故可以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
由题可得， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20．（16分）
学科网（北京）股份有限公司如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ，M，N分别是
， 的中点，点 在直线 上，且 .
(1)证明：无论 取何值，总有 ；
(2)当 取何值时，直线 与平面 所成角 最大?并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点 ，使得平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 ，若存在，试确定点 的位
置，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，即 ， ，
∵ ，∴ ，所以无论 取何值， .
学科网（北京）股份有限公司（2）∵ 是平面ABC的一个法向量.
∴ ，
∴当 时， 取得最大值，此时 ， ， .
（3）假设存在， ，因为 ，
设 是平面 的一个法向量.
则 ，解得 ，令 ，得 ， ，
∴ ，∴ ，
化简得 ，解得 ，
∴存在点 使得平面 与平面 所成的二面角正弦值为 ，此时点 的位置满足
.
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