文档内容
高二年级期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（共8题，每题5分）
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题 的斜率 ,故倾斜角 的正切值为-1,又 ,故
故选：D
【点睛】本题主要考查了直线斜率为直线倾斜角的正切值,属于基础题型.
2. 已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆焦点在 轴上的标准方程的结构特征，得到关于 的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 ，解得 .
故选：C.
3. 在四面体 中，记 ， ， ，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得： ，
故选：B.
4. 若直线 与以 ， 为端点的线段有公共点（含端点），则 的取值范围为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 过定点 ，画出图形，求出 ， ，数形结合得到或 ，即 或 .
【详解】 经过定点 ，斜率为 ，画出图形，如下：
其中 ， ，
直线 与以 ， 为端点的线段有公共点（含端点），
则 或 ，即 或 .
故选：C
5. 已知直线 的一个方向向量是 ，平面 的一个法向量是 ，则 与 的位置关系
是（ ）
A. B.
C. 与 相交但不垂直 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，则 ，
又 是直线 的一个方向向量， 是平面 的一个法向量，
所以 或 .
故选：D.6. 若直线 与圆 相切，且点 到直线 的距离为3，则这样的直线的条数为（
）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论直线 的斜率不存在与存在两种情况，利用直线与圆相切的性质与点线距离
公式得到关于 的方程组，进而分析得其解的个数即可得解.
【详解】圆 可化为 ，圆心为 ，半径为1，
因为直线 与圆 相切，
当直线 的斜率不存在时，则直线 的方程为 或 ，
当直线 的方程为 时，点 到直线 的距离为 ，不满足题意；
当直线 的方程为 时，点 到直线 的距离为 ，不满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
则有 ，即 ，
即 ，解得 或 ，
当 时，有 ，解得 或 ；
当 时，有 ，整理得 ，
此时 ，即方程有两个解，且不为 或 ；综上， 的取值有四种情况，对应的 也有四种取值，所以满足条件的直线一共有四条.
故选：A.
7. 已知圆 过点 ， ，设圆心 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意由半径相等，结合两点距离公式得到 ，再利用基本不等式即可得解.
【详解】根据题意，得 ，又 ， ， ，
所以 ，化简得 ，
故 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为2.
故选：B.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别 ， ， 是椭圆上一点，直线 与 轴负半
轴交于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设 ，从而得到所需线段关于 的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求
得 关于 的表示，进而得解.
【详解】因为 ，不妨设 ，则 ，由椭圆的定义与对称性可得 ， ， ，
因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
则 ，故 ，
则在 中，由 ，
得 ，解得 ，
所以椭圆的离心率为 .
故选：C.
二、多项选择题（共3题，每题6分）
9. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上异于长轴端点的动点，则下列结
论正确的是（ ）
A. 椭圆 的焦距为6 B. 的周长为10
C. 椭圆 的离心率为 D. 面积的最大值为
【答案】BD
【解析】【分析】利用椭圆方程得到 ，利用椭圆的定义与性质，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】对于A，因为椭圆 ，所以 ，
所以椭圆 的焦距为 ，故A错误；
对于B，由椭圆的定义可知 ，
所以 的周长为 ，故B正确；
对于C，椭圆 的离心率为 ，故C错误；
对于D，当点 为椭圆的短轴的一个端点时，点 到 轴的距离最大，
此时 面积取得最大值，为 ，故D正确.
故选：BD.
10. 在三棱锥 中，△ 为边长为 的正三角形， ， ，设二面角
的大小为 ， ， 为 的重心，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 与 所成的角为 D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】取 中点 ，过 作 且 ，连接 ，则 平面 .取， ， 为基底向量，则根据题意知 ， .对于 项，根据 ，得
，用基底向量表示 ，再求模长即可；对于 项，根据模长公式建立等式，可得
，再用向量的数量积公式求夹角即可；对于 项，若 ，则 ，分别用
基底向量表示 ， ，并求模长，再利用向量法求异面直线的夹角即可；对于 项，若 ，则
，根据已知条件可证 平面 ，从而 平面 ，建立空间直角坐标系，写出点
的坐标，利用三角形重心公式求得 的坐标，再求模长即可.
【详解】如图，取 中点 ，过 作 且 ，连接 ，则 平面
.
因为△ 为正三角形，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的平面角为 ，则 .
以 ， ， 为基底向量，则 ， .
对于 项，若 ，即 ，所以 .
因为 ，
所以 ，故正确；
对于 项，由 知 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，故 正确；
对于 项，若 ，即 ，所以 .
由 知 ，又 ，
所以 ,
， ，
设 与 所成 角为 ，则 ，
的
所以 与 所成的角不是 ，故 错误；
对于 项，若 ，即 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以 平面 ，则 三线两两垂直，建立如图坐标系.
则 ， ， ， ，则根据三角形重心坐标公式得 ，所以 ，所以 ，故 正确.
故选： .
11. 已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 曲线 关于直线 对称
C. 曲线 围成的封闭图形的面积不大于
D. 曲线 围成的封闭图形的面积随 的增大而增大
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用曲线的方程得到关于 的不等式可判断A；利用点关于直线的对称点判断得曲线的对称性，
从而判断B；分析曲线 与曲线 上的两个横坐标相同的点的纵
坐标大小关系，从而得到曲线 围成的封闭图形的面积情况，从而判断CD.
【详解】对于A，因为曲线 ，
所以 ，解得 ，故A正确；
对于B，因为曲线 ，可化为 ，
设点 是曲线 上任一点，则其关于 对称的点为 ，
将 代入曲线 方程，得 ，
所以曲线 关于直线 对称，故B正确；
对于CD，因为 ，所以 ，则 ，设点 是曲线 上任一点，则 ，
点 是曲线 上的一点，则 ，
则 ， ，故 ，
易知当 时， 在其定义域内单调递减，
所以 （当且仅当 或 时，等号成立），故 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
故当 增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的，
又曲线 围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大，
即曲线 围成的封闭图形的面积随 的增大而增大，故D正确，
又当 时，曲线 为 ，即其图形是半径为 的圆，
此时其面积为 ，则曲线 围成的封闭图形的面积不小于 ，故C错误.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题CD选项解决的关键在于，分析得两曲线 与
上的点的情况，从而得到其围成的封闭图形的面积情况，由此得解.
三、填空题（共3题，每题5分）
12. 若圆 上存在两点关于直线 对称，则 的值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意可得圆心 在直线 上，从而列式得解.
【详解】圆 的圆心为 圆心，半径为2，
圆上存在两点关于直线 对称，则圆心在直线上，所以 ，解得 .
故答案为：2.
13. 已知点 ， ，C(1,1,0)，则点 到直线 的距离是______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用空间向量中点到线的距离公式，结合向量数量积与模的坐标表示即可得解.
【详解】因为点 ， ，C(1,1,0)，
所以 ， ，
则 ， ，
所以点 到直线 的距离是
.
故答案为： .
14. 过椭圆 上一点 作圆 的两条切线，切点为 ， ，当 最大
时，点 的纵坐标为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求 最大值问题.【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
由 切圆 于点 知， ，则 ，
因此 最大，当且仅当 最大，设 ， ，
则 ，
当且仅当 时取等号，所以点 的纵坐标为 .
故答案为：
四、解答题（共5题，共77分）
15. 已知直线 ，圆 .
的
（1）求与直线 平行且与圆 相切 直线方程；
（2）设直线 ，且 与圆 相交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） 或 ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得 ，从而得解；
（2）根据题意假设直线 的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线 的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解.
【小问1详解】
依题意，设所求直线方程为 ，
因为所求直线与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
，解得 或 ，
所求直线方程为 或 ；
【小问2详解】
依题意，设直线 的方程为 ，
因为直线 与圆 相交于A，B两点， ，
圆心 到直线 的距离为 ，
，解得 或 ，
直线 的方程为 或 .
16. 设椭圆 ， ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，且 与
轴垂直，直线 与 的另一个交点为 .
（1）若直线 的倾斜角为 ，求椭圆 的离心率；
（2）若直线 在 轴上的截距为1，且 ，求 ， .
【答案】（1）（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据条件求出 的坐标，利用直线 的的倾斜角，建立关于 的齐次方程，解之即可
得解；
（2）根据题意，结合线段的数量关系求得 的坐标，代入椭圆方程，解之即可得解.
【小问1详解】
依题意，设椭圆 的半焦距为 ，
则 ，则由题意可知，点 在第二象限，设 ，
将 代入 ，得 ，解得 ，则 ，
因为直线 的倾斜角为 ，
所以 ，则 ，则 ，
所以 ，即 ，则 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以椭圆 的离心率为 .【小问2详解】
记直线 与 轴的交点为 ，
易知 ，且 ，故 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
即 是 与 的中点，所以 ，
将 代入椭圆方程，得 ，
所以 ，解得 ，故 ，即 ，
所以 ， .
17. 如图，在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，且
．
（1）证明： ， ， ， 四点共面．
（2）设平面 与棱 的交点为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用共面向量定理，结合向量的坐标运算计算推理得证.
（2）结合（1）的信息，求出点 的坐标及平面 法向量，利用线面角的向量求法求解.
【小问1详解】
在正方体 中，以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令 ，则 ，
则 ，
于是 ，即向量 共面，
又向量 有公共点 ，所以 ， ， ， 四点共面.
【小问2详解】
设 ，则 ，由点 平面 ，
得 ，即 ，则 ，
解得 ，即 ， ，
而 ，则 ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
令 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之
间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的
长度．这个弧长就被称作两点的球面距离．
（1）在正四棱柱 （底面为正方形的直棱柱）中， ， ，求顶点 ，
在该正四棱柱外接球上的球面距离．
（2）如图1，在直角梯形 中， ， ， ， ．现将
沿边 折起到 ，如图2，使得点 在底面 的射影 在 上．
①求点 到底面 的距离；
②设棱锥 的外接球为球 ，求 ， 两点在球 上的球面距离．
参考数据： ， ．
【答案】（1） ；
（2）① ；② .【解析】
【分析】（1）求出线段 所对的正四棱柱 外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长.
（2）①根据给定条件可得 平面 ，再在直角三角形中求出 ；②利用球的截面性质确定球心，
求出球半径，进而求出球面距离.
【小问1详解】
正四棱柱 的外接球直径 ，球半径 ，
因此球心与点 构成正三角形，弦 所对球过 的大圆圆心角为 ，弧长为 ，
所以顶点 ， 在该正四棱柱外接球上的球面距离为 .
【小问2详解】
①在直角梯形 中， ， ， ， ，
， ，则 为正三角形，
在
棱锥 中， 平面 ，而 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，因此 ， ，
在 中， ， ， ，
所以点 到底面 的距离为 .
②取 中点 ，则 为 外接圆圆心，令正 的外接圆圆心为 ，
连接 ，则 ， 平面 ， 平面 ，于是 ， ，
在 中， ，因此棱锥 的外接球半径 ，
有 ，球 的弦 所对大圆的圆心角为 ，
，即 是钝角，而 ，
则 ， 在大圆中所对劣弧长为 ，
所以 ， 两点在球 上的球面距离为 .
19. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ， ， ，点 在线段
上，点 在线段 上，且 ，设直线 与 交于点 ．
（1）证明：当 变化时，点 始终在某个椭圆 上运动，并求出椭圆 的方程．（2）过点 作直线与椭圆 交于 ， 不同的两点，再过点F(1,0)作直线 的平行线与椭圆
交于 ， 不同的两点．
①证明： 为定值．
②求 面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）求出直线 与 的方程，消去参数 即可得到椭圆 的方程；
（2）①分别联立方程 与 ，借助韦达定理，表示出 与 ，进
一步求解即可；
②将 转化为 ，再借助韦达定理，可转化为 的函数，根据 的范围求函数值域即可.
【
小问1详解】
解：设点 ，依题意可知 ，即 ，
所以 ，即 ；
同理可得 .
于是直线 的斜率为 ，
所以 的直线方程为 ，直线 的方程为 ，即 ，
设直线 与 的交点 坐标为 ，
由 可得 ，
整理可得 ，
所以当 变化时，点 始终在椭圆 ： 上运动.
【小问2详解】
①证明：设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得， ，
为
因 直线 与椭圆 交于两点 ， ，
所以 ，即 或 ，
由韦达定理可知 ， ，
又 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，直线 与椭圆 交于两点 ， ,
联立 ，消去 得， ，同理可得： ，
,
所以 （定值）.
又当直线 的方程为 时，直线 与直线 重合不符合题意.
故 （定值）.
②因为 ，
又因为 ，
所以 ，
整理可得 ，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为当 时， ，所以 ，
所以 ，
即 面积的取值范围为 .【点睛】关键点睛：（1）在得到直线 与 的方程后整体消参是比较简捷的方法；
（2）将直线 的方程设为 ，直线 的方程设为 ，在后续运算中
能比较简捷运算量稍小，给 转化为 提供了便利条件.
