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专题 06 预备知识六：等式性质与不等式性质
1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“ ”“ ”“ ”“ ”“
”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
自然语言 大于 小于 大于或等 小于或等 至多 至少 不少于 不多于
于 于
符号语言
知识点二：实数 大小的比较
1、如果 是正数，那么 ；如果 等于 ，那么 ；如果 是负数，那么 ，反过
来也对.
2、作差法比大小：① ；② ；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式 的探究
一般地， ，有 ，当且仅当 时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
注意c的符号（涉及分类讨
可乘性
论的思想）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同为正数
对点特训一：比较两个代数式的大小
角度1：由不等式比较数（式）的大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数 、 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的基本性质可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，由不等式的基本性质可得 ， ，故 .
故选：C.
例题2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果 ，那么下面结论一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由不等式的性质即可判断ABC，举反例即可判断D.
【详解】因为 ，所以 ， ， ，故ABC正确，
取 ，则 ，故D错误.
故选；ABC.
例题3．（多选）（23-24高一上·广东·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】综合运用不等式的性质和作差法即可做出判断.
【详解】对于选项A，当 时，不等式显然不成立，A错误；
对于选项B，由糖水不等式可得B正确；
对于选项C，因为 ，所以 ，则 ，C正确；
对于选项D，因为 ，所以 ，所以 ，D正确.
故选：BCD.
精练
1．（2024高二下·山东）已知 ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质可解.
【详解】由 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
故选：B
2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知 ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质判断A，举反例排除BCD，从而得解.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，故A正确；
对于B，取 ， ，则 ，故B错误；
对于C，取 ，则 ，故C错误；
对于D，取 ， ，则 ， 故D错误.
故选：A.
3．（多选）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知 ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.
【详解】对于A，取 ，满足 ，取 ，有 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，而 ，因此 ，B正确；
对于C，取 ， ，C错误；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于D，由 ，得 ，因此 ，D正确.
故选：BD
角度2：利用作差法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高二上·河南·期末）已知 且 ， ，则 、 的大小
关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】由作差法比较大小.
【详解】已知 .则 ，
所以，
，因此， .
故选:C.
例题2．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周
的白菜价格分别为 元 斤、 元 斤 ，王大妈每周购买 元的白菜，李阿姨每周购买 斤白菜，王
大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为 ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【分析】由题意可知 ， ，再利用作差法比较大小即可．
【详解】由题意可得， ， ， ，
， ，
，
．
故选：C．
例题3．（23-24高一上·云南昆明·期中）设 ， ，则 与 的大小关系为
（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法分析判断.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
精练
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法，得出 的等价条件 ，再分析充分性和必要性，即可得出结论.
【详解】由于 ，则 成立，等价于 成立，
充分性：若 ，且 ，则 ，则 ，
所以 成立，满足充分性；
必要性：若 ，则 成立，
其中 ，且 ，
则可得 成立，即 成立，满足必要性；
故选：C.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数 ， 满足 ，求证： .
【答案】证明见解析
【分析】利用作差法比较大小即可证明.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 .
3．（2024高三·全国·专题练习）已知 为正实数．求证： .
【答案】证明见解析
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，化简得到 ，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
角度3：利用作商法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设 ， ，则 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】由 均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案.
【详解】∵ ，即 .
又 ，
.
故答案为：>.
例题2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知 ，试比较 和 的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算
，从而可得 ，进而可求解.
【详解】（方法1）因为 ，所以 .
所以 .
因为 ，所以 ，即 ；
（方法2）所以 ，
又 ，
所以 , 所以 .
精练
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（2024高一·上海·专题练习） ，则 的大小关系为 ．
【答案】≥
【分析】用作商法比较 的大小关系，化简即可得结果.
【详解】因为 ， 则
由
所以
故答案为：
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 ，比较 与 的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】 ，
，
，
.
3．（23-24高一·全国·课后作业）若 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴ ，且 ．
∴作商得： ．
∴ ．
对点特训二：利用不等式的性质证明不等式
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）（1）比较 与 的大小．
（2）已知 ，求证： ；
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差比较法来比较大小；
（2）利用不等式的性质进行证明.
【详解】（1）
，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
例题2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小： 与 ；
（2）若 ， ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】利用作差法结合不等式的性质即得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ；
（2）因为 ， ，
所以 ，
故 .
精练
1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若 ， ，求证： .
【答案】证明见解析．
【分析】利用作差法即可证明．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司∴ ．
2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知 ，求证： ；
(2)已知 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 ，再根据不等式的性质证明；
（2）利用作差法证明即可.
【详解】（1） ，即 ，
，则 .
（2） ，
，
，
则 ，
对点特训三：利用不等式的性质求取值范围
典型例题
例题1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 .
故选：D.
例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知 且满足 ，则 的取值范围是
.
【答案】
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用待定系数法得到 ，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设 ，可得 ，
解得 ， ，
因为 可得 ，
所以 .
故答案为： .
例题3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知 ，求证： ；
（2）已知 ，求 的取值范围；
（3）已知 ，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.
（2）先求出 的范围，从而可求 的取值范围.
（3）根据 可求 的取值范围．
【详解】（1）因为 ，所以 ,则 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（3）已知 ，
因为 ，所以
精练
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设 ，
所以 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 ，
所以 ，故A，C，D错误.
故选：B.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的取值范围是 ， 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
又 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
因为 所以 ，
即 ，
所以 的取值范围是
答案： ,
3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数 ， 满足 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由不等式的加法性质可求.
【详解】由 ， ， ，
则， ， ，
又 ，所以 ,
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司一．单选题
1．（23-24高二下·上海·期中）已知 ，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.
【详解】对于A， ，而 ，A不成立；
对于B， ，而 ，B不成立；
对于C， ，因为 ，所以 ， ，即 ，C不成立；
对于D， ，因为 ，所以 ，即 ，D成立.
故选：D
2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取 ，满足 ，
显然 ， ， ，ABD错误；
对于C， ，则 ，C正确.
故选：C
3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.
【详解】对于A，若 ，显然 不能得出 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，故B错误；
对于C，若 ，则 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，故D正确.
故选：D
4．（2024·天津·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为 ，当 时，有 ，则 成立，即充分性成立；
当 时， ，即 成立，而 ，即 不成立，进而必要性不成立.
所以 ，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，如果 ，那么 ，故B正确；
对于C，当 时， ，故C错误；
对于D，当 时， ，故D错误.
故选：B.
6．（2024·福建福州·模拟预测）设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充要条件的概念即可求解.
【详解】当 时， 或 ，则 ，即充分性成立；
当 时， ，则 ，即必要性成立；
综上可知，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买
50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】
根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.
【详解】设两次葡萄的单价分别为 元/千克和 元/千克，且 ，
则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为 元/千克，
小港两次均购买50元葡萄，平均价格为 元．
因为 ，
所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．
故选：A.
8．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对A、D，可借助特殊值法举出反例即可得；对B、C，借助不等式的基本性质即可得.
【详解】对A，令 ， ，有 ，故A错误；
对B，由 ，故 ，故B错误；
对C， ，
即只需， ，由 ，故 ，故C正确；
对D，令 ，有 ，故D错误.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高一下·海南·阶段练习）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】由
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于A中，由 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，当 时，可得 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，因为 的符号不确定，无法比较大小，
所以C不正确；
对于D中，由A知 ，且 ，根据不等式的性质，可得 ，所以D正确.
故选：AD.
10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把
“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入
对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果 ， ，那么
B．如果 ，那么
C．若 ， ，则
D．如果 ， ， ，那么
【答案】AD
【分析】
根据不等式的性质逐个选项推导即可.
【详解】对A，如果 ， ，则 ，那么 ，故A正确；
对B，如果 ，那么 ，则 ，故B错误；
对C，若 ， ，则 ，故C错误；
对D，如果 ， ， ，则 ，故 ，
则 ， ，故D正确；
故选：AD
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为
．
【答案】a＜b
【详解】
解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋
1＞0，所以a＜b.
【考查意图】
作差比较法比较大小．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足 ， ，则 的最大
值为 ．
【答案】7
【分析】先得到 ，根据 得到答案.
【详解】因为 ， ，所以 ，
设 ，
故 ，所以 ，
，
由于 ，
故 ，
即 .
故答案为：7
四、解答题
13．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）（1）已知 ，比较 与 的大小；
（2）设x，y是不全为零的实数，试比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）
【分析】作差法比较大小.
【详解】（1） ，所以
（2） ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故
14．（21-22高一上·湖北十堰·阶段练习）（1）已知 ， ，求 和 的取值范围；
（2）已知 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】（1）根据不等式的性质求解
（2）由待定系数法配凑后求解
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ，
又 ，
，
又 ，
（2）设 ，得
即
而 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
