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专题 05 预备知识五：全称量词与存在量词
1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词
2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假
性
3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系
全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对 中的任意一个 ，有 成立；数学语言： .
②全称量词命题的否定： .
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在 中的元素 ，有 成立；数学语言： .
②存在量词命题的否定： .
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（ ） 大于（ ） 小于（ ） 是
否定词语 不等于（ ） 不大于（ ） 不小于（ ） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
对点特训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列命题为真命题的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，A错误；
对于B，当 时， ，B错误；
对于C，当 时， ，C正确；
由 可得 均为无理数，故D错误，
故选:C.
例题2．（23-24高三下·全国·自主招生）下列哪些命题是真命题？
（1） 是 的充要条件
（2）
（3） ，使得
（4）若 为无理数，则 为无理数
【答案】（1）（2）（3）
【分析】逐一判断命题的真假即可.
【详解】对（1）显然是成立的，故（1）是真命题；
对（2）当 时， ， ，故（2）是真命题；
对（3）取 ，其中 是不大于 的最大整数，即 的整数部分，则 ，
令 ，则 ，故（3）为真命题；
对（4）取 ， ，可以验证（4）是假命题.
故答案为：（1）（2）（3）
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（ ）
① ， ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.
【详解】 ， ，①正确；当 时， ，②错误；
当 时， ，③正确；由于 ，而 都是无理数，④错误，
所以正确命题的个数为2.
故选：B
2．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）下列命题错误的是（ ）
A． ， B． ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C． ， D． ，
【答案】AC
【解析】A. 解不等式 判断；B.解方程 判断； C. 解方程 判断； D. 由
判断.
【详解】A. 由 ，得 ，故错误；
B.由 得： 或 ，故正确；
C. 由 得： ，故错误；
D. 由 ，故正确；
故选：AC
对点特训二：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：
命题 的否定为： 为 ．
故选：C．
例题2．（2024·四川成都·模拟预测）命题 的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题 ，
则其否定为 .
故选:B
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1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“ ， ”为存在量词命题，
其否定为： ， .
故选：D
2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知命题p： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定.
【详解】将原命题的任意量词 换成存在量词 ，结论中的“ ”换成“ ”就得到原命题的否
定 为：
， ，
从而A正确.
故选：A
对点特训三：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p：“ ， ”是真命题，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求实数a的取值范围.
【详解】由题可知， ，则有 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 ，
故选:C.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知 为真命题，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解.
【详解】因为 为真命题，
所以 ，解得 .
故选：A.
例题3．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知命题 ，若命题 是假命题，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】综合应用含量词命题的否定和真假的判断即可求得结果.
【详解】若命题 是假命题，则命题 是真命题.
因为 ，
所以 ，
只需 ，
即 ，
故选：D.
例题4．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）命题 ：“ ， ”为假命题，则 的取值
范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得 ： ， 为真命题，从而得 ，求解即可.
【详解】∵ 为假命题，
∴ ： ， 为真命题，
∴ ，解得： ，
即 的取值范围为 .
故答案为：
例题5．（22-23高一上·辽宁锦州·期末）已知命题 ： ， 为假命题，则实数 的取值
范围是 .
【答案】 或
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用给定条件为假命题，说明 有解，结合二次函数图象可得答案.
【详解】因为 ， 为假命题，所以 有解，
所以 ，解得 或 .
故答案为： 或
例题6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“ ， ”为假命题，则实数m的
取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题中条件可得方程 无实数解，则 ，解出即可.
【详解】由题意可知方程 无实数解，
所以 ，解得 ，
故实数m的取值范围为 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“ ”是真命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得 的取值范围.
【详解】若命题“ ”是真命题，
则当 时，不等式为 对 恒成立；
当 时，要使得不等式恒成立，则 ，解得
综上， 的取值范围为 .
故选：D.
2．（23-24高三上·宁夏银川·期中）“ ， 恒成立”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据全称量词命题为真求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若 ， 恒成立，
当 时 恒成立，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时 ，解得 ，
综上可得 ，
所以“ ， 恒成立”是“ ”的充要条件.
故选：C
3．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知 需要大于 的最小值，求出其最小值即可得.
【详解】由题意得 ，又 ，此时 ，故 .
故选：A.
4．（23-24高三上·天津南开·期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可
求解.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 .
所以 ，
故 “ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的一个可
能取值为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意得 有解，再根据一元二次方程根的判别式即可得解.
【详解】因为命题“ ，使 ”是假命题，
所以命题“ ，使 ”是真命题，
即方程 有解，
所以 ，得 ，
故实数 的一个可能取值为 （满足 即可）．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： （答案不唯一）.
6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“ ，使得 ”是真命题，则实数m的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】原命题转化为“方程 有实数解”，再由 可求实数 的取值范围.
【详解】若命题“ ，使得 ”是真命题，也就是“方程 有实数解”，
∴ .
故答案为：
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据命题“ ， ”的否定是“ ， ”直接得出结果.
【详解】命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
故选：C．
2．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据题目条件，结合含有量词的命题的否定即可求解．
【详解】命题“ ， ”的否定是 ， ．
故选：A．
3．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列三个命题中有几个真命题（ ）
① ， ；② ， ；③至少有一个实数 ，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.
【详解】①由 ，可得 或 ，为真命题；
②由 ，为假命题；
③当 时 ，为真命题.
故选：C
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）以下是真命题的（ ）
A． ，都有 B． ，都有
C． ，有 D． ，有
【答案】C
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判定方法逐项判断即得.
【详解】对于A，当 时， ，A是假命题；
对于B，当 时， ，B是假命题；
对于C，当 时，满足 ，C是真命题；
对于D，当且仅当 时， ，因此不存在 ，使得 ，D是假命题.
故选：C
5．（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解.
【详解】对于A，当 时， ，为真命题，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，则 ，为真命题，故B错误；
对于C，当 时， ，为假命题，故C正确；
对于D，由 ，得 ，为真命题，故D错误.
故选：C.
6．（22-23高二下·山西运城·阶段练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A． ，使 B． ，
C． ， D． ，使
【答案】B
【分析】
对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断.
【详解】对于A，由 ，得 ，所以不存在自然数使 成立，所以A错误，
对于B，因为 时， ，所以 ，所以B正确，
对于C，当 时， ，所以C错误，
对于D，由 ，得 ，所以D错误，
故选：B
7．（23-24高一上·辽宁·期末）已知命题：“ ，方程 有解”是真命题，则实数a的取值
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围.
【详解】“ ，方程 有解”是真命题，故 ，解得： ，
故选：B
8．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知命题p： 为真命题，则实数a的值不
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.
【详解】因为命题p： 为真命题，
所以 解得 ，
结合选项可得实数a的值不能是 ，
故选:D.
二、多选题
9．（23-24高一上·江西·期中）命题 ， 是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先由p是假命题，得到 是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.
【详解】由 ， ，得 ， .
由于命题p是假命题，所以 是真命题，所以 在 时恒成立，则 ，解得
.
故选：BCD.
10．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知命题 ， .若 为假命题，则实数 的
值可以是（ ）
A． B．
C．0 D．
【答案】BC
【分析】根据题意，求得当命题 为真命题时， 的取值范围，即可得到结果.
【详解】若命题 为真命题，则 ，解得 ，则当命题 为假命题时， .
故选：BC
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一上·四川成都·开学考试）已知命题“ ， ”是假命题，则实数a的
取值范围为 ．
【答案】 或 .
【分析】根据命题为假，得到 ，解得答案.
【详解】命题“ ， ”是假命题，故 ，
解得 或 .
故答案为： 或 .
12．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知命题 ， .若 为真命题，则实数 的
取值范围 .
【答案】
【分析】根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】依题意，命题 ， ，是真命题，
所以 ，
解得 ，所以 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题 ： ， 为假命题．
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)设非空集合 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即 求解即可；
（2）根据题意可得 ，结合 得到 ，解得即可．
【详解】（1）因为命题 ： ， 为假命题，
所以命题 的否定为： ， ，为真命题，
且 ，解得 ．
∴ ．
（2）由 解得 ，即 ，
若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 是 的真子集，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值集合为 ．
14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合 ，
.
(1)若“命题 ， ”是真命题，求 的取值范围；
(2)若“命题 ， ”是真命题，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解不等式求集合A、B，再根据题意判定两集合的关系计算范围即可；
（2）根据题意判定两集合的关系计算范围即可.
【详解】（1）由题意可知 ，即
,
若“命题 ， ”是真命题，则 ，
所以 ，
故 的取值范围为： ；
（2）若“命题 ， ”是真命题，则 ，
结合上问可知：
或 ，
所以 或 ，
所以 .
故 的取值范围为：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
