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章末检测（四) 指数函数与对数函数 能力卷
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝( C )
A．－ B．
C．－2 D．2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－
1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.
2．已知关于x的不等式( )x－4>3－2x，则该不等式的解集为( B )
A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4,1]
【答案】B
【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>
－2x，解得x>－4，故选B．
3．设函数f(x)＝log x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为( A )
2
A．(－1,3) B．(－∞，3)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
【答案】A
【解析】∵函数f(x)＝log x在定义域内单调递增，f(4)＝log 4＝2，
2 2
∴不等式f(a＋1)<2等价于0n，若log n2＋log m6＝13，则函数f(x)＝ 的大致图象为( A )
m n【答案】A
【解析】由题意，令t＝log n，则2t＋ ＝13，解得t＝ 或t＝6(舍去)，
m
所以n＝ ，即 ＝1，所以f(x)＝ 的大致图象为A中的图象．
7．若函数f(x)＝ (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( C
)
A．[ ，3] B．[ ，2]
C．[ ，2) D．[ ，＋∞)
【答案】C
【解析】先保证对数有意义即－x2＋4x＋5>0，解得－1200，则
n>2018＋ ≈2021.8，所以n＝2022.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( AD )
A．y＝x3＋x B．y＝log x
2
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
【答案】AD
【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；
B中，y＝log x为非奇非偶函数，与题意不符；
2
C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符，故选AD．
10．下列函数中值域为R的有( ABD )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1
【答案】ABD
【解析】f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件．
B．由x2－2>0得x> 或x<－ ，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件．
C．f(x)＝
当x>2时，f(x)＝2x>4，
当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件．
D．f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．
11．若函数f(x)＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围不能为( BD )
A．(5,8) B．(2,8)
C．[6,8) D．(3,8)
【答案】BD
【解析】因为函数f(x)＝ 是R上的增函数，
所以 解得4≤a<8.
12．设函数f(x)＝ 若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有( BC )A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】BC
【解析】作出函数f(x)＝ 的图象如图：
f(x)－b＝0有三个不等实数根，
即函数y＝f(x)的图象与y＝b有3个不同交点，
由图可知，b的取值范围是(1,3]，故b可取2,3.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9,2)，则f(2)＝__9__.
【答案】9
【解析】由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y＝ax图象过点(2,9)，
所以a2＝9，又a>0，所以a＝3.所以f(2)＝32＝9.
14．已知函数f(x)＝ 为定义在区间[－2a,3a－1]上的奇函数，则a＝__1__，b＝__1__.
【答案】1 1
【解析】因为f(x)是定义在[－2a,3a－1]上的奇函数，
所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，
因为函数f(x)＝ 为奇函数，所以f(－x)＝ ＝ ＝－ ，
即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.
15．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的
近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.
【答案】6
【解析】由 <0.01，得2n> ＝40，故n的最小值为6.
16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下
列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；
③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t，t，t，则有t＋t＝t；
1 2 3 1 2 3
④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)．
【答案】①②③
【解析】∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，
∴指数函数的底数为2，故①正确；
当t＝5时，S＝32>30，故②正确；
∵t＝1，t＝log 3，t＝log 6，
1 2 2 3 2
∴t＋t＝t，故③正确；
1 2 3根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算3log
3
2＋ ＋lg 50＋lg 2；
(2)已知2a＝3,4b＝6，求2b－a的值．
【解析】(1)3 log
3
2＋ ＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.
(2)由2a＝3，得a＝log 3，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log 6，
2 2
所以2b－a＝log 6－log 3＝log 2＝1.
2 2 2
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．
(1)求a的值及y＝f(x)的零点；
(2)求不等式f(x)≥－2的解集．
【解析】 (1)根据题意，函数f(x)＝ax－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，
又由a>0，且a≠1，则a＝5，
f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，
则x＝2，即函数f(x)的零点为2.
(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，
解可得x≥log 15，即不等式的解集为[log 15，＋∞)．
5 5
19．(本小题满分12分)(2019·河南南阳市高一期中测试)设函数f(x)＝log (4x)·log (2x)的定义域为[ ，
2 2
4]．
(1)若t＝log x，求t的取值范围；
2
(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．
【解析】(1)∵ ≤x≤4，∴－2≤log x≤2，
2
∴－2≤t≤2.∴t的取值范围是[－2,2]．
(2)y＝f(x)＝log (4x)·log (2x)＝(2＋log x)(1＋log x)，
2 2 2 2
由(1)知t＝log x，t∈[－2,2]，
2
∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋ )2－ .
当t＝－ ，即log x＝－ ，x＝ 时，y ＝－ ，
2 min
当t＝2，即log x＝2，x＝4时，y ＝12.
2 max
20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本
Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·log t；
b
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【解析】(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常
数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·log t中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时
b
上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c
进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，
解得 .所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝ t2－ t＋ .
(2)当 t＝－ ＝150 天时，西红柿种植成本最低为 Q＝ ·1502－ ·150＋ ＝100
(元/102kg)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
【解析】(1)∵f(x)＝2x，
∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
因为 f(x)的定义域是[0,3]，所以 0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得 0≤x≤1.于是 g(x)的定义域为{x|
0≤x≤1}．
(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；
当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.
22．(本小题满分12分)若函数f(x)满足f(log x)＝ ·(x－ )(其中a＞0且a≠1)．
a
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
【解析】(1)令log x＝t(t∈R)，则x＝at，
a
∴f(t)＝ (at－a－t)．
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且 ＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且 ＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.
∴ ≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－ ≤a≤2＋ .又a≠1，
∴a的取值范围为[2－ ，1)∪(1,2＋ ]．
