文档内容
专题 1.2 集合间的基本关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 子集、真子集的概念】..............................................................................................................................2
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】..............................................................................................................2
【题型3 判断两个集合是否相等】..........................................................................................................................3
【题型4 根据两个集合相等求参数】......................................................................................................................4
【题型5 空集的判断及应用】..................................................................................................................................4
【题型6 Venn图表示集合的关系】.........................................................................................................................4
【题型7 集合间关系的判断】..................................................................................................................................6
【题型8 利用集合间的关系求参数】......................................................................................................................6
【题型9 集合间关系中的新定义问题】..................................................................................................................7
【知识点1 子集与真子集】
1．子集的概念
一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个
定义
元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法 记作 (或 )，读作“A包含于B”(或“B包
与读法
含A”)
图示
或
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 ；
结论
(2)对于集合A,B,C，若 ，且 ，则
2．真子集的概念
学科网（北京）股份有限公司如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们
定义
称集合A是集合B的真子集
记法 记作 (或 )
图示
(1) 且 ，则 ；
结论
(2) ，且 ，则
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能
推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合
B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集
合A.
(4)对于集合A，B，C，若A B，B C，则A C；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若A B，且A≠B，则A B.
【题型1 子集、真子集的概念】
【例1】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A．
A⊆A
B．A⊂A C．
∅⊆A
D．∅⊂A
≠ ≠
【变式1-1】（2023·高一课时练习）集合A={x∣0≤x<4,且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【变式1-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A={0,1,2,3}，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【变式1-3】（2023·河南·统考模拟预测）已知集合 ，则集合 的所有非空真子集的
A={x∈N|−22}={y|y>2} D．{1,2}={2,1}
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合 和
M={(x,y)|x+ y<0,xy>0}
，那么（ ）
P={(x,y)|x<0,y<0}
A．P⊆M B．M⊆P C．M=P D．M≠P
学科网（北京）股份有限公司{ 1 }
【变式3-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合A= x|x= (2k+1),k∈Z ，
9
{ 4 1 }
B= x|x= k± ,k∈Z ，则集合A，B之间的关系表示最准确的为（ ）
9 9
A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A与B互不包含
【题型4 根据两个集合相等求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考期末）已知实数集合 若 ，则
A={1,a,b},B={a2,a,ab}, A=B
a+b=（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【变式4-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值
组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【变式4-2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
A={1,a,b} B={a2,a,ab} A=B
a2023+b2022=（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋
3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【题型5 空集的判断及应用】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为∅的是（ ）
A．{0} B．{∅}
C．{x|x2+4=0} D．{x|x+1≤2x}
【变式5-1】（2023·全国·高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
{x|x+3=3} {(x,y)|y2=−x2,x,y∈R}
C． D．
{x|x2≤0} {x|x2−x+1=0,x∈R}
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①
∅∈{∅}
；②∅⊂{∅}；③{0}⊃∅；④
≠ ≠
学科网（北京）股份有限公司0∉∅；⑤∅={0}；⑥∅≠{∅}，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-3】（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；
③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 Venn图表示集合的关系】
【例6】（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的
文氏图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023·高一课时练习）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的
Venn图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3}，集合A与
学科网（北京）股份有限公司B的关系如图所示，则集合B可能是（ ）
A．{2,4,5} B．{1,2,5} C．{1,6} D．{1,3}
【变式6-3】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(
)
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
【知识点3 集合间关系的性质】
集合间关系的性质：
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C；
②若A B，B=C，则A C.
(3)若A B，A≠B，则A B.
【题型7 集合间关系的判断】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）集合A={(x,y)|y=|x|}，集合B={(x,y)|y>0,x∈R}，则下列
说法正确的是（ ）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．B=A
D．集合A,B间没有包含关系
【变式7-1】（2023春·北京·高三校考开学考试）集合A={−2,−1,0}，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
A．{−1} B．{−1,1} C．{−1,0,1} D．{−2,−1,0,1}
kπ+π π kπ π
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）设集合M={x|x= − ，k∈Z}，N={x|x= + ，
2 4 4 2
学科网（北京）股份有限公司k∈Z}，则（ ）
A．M=N B．M⊊N C．M⊆N D．M⊋N
k
【变式7-3】（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）若A={x|x= +1,k∈Z}，
6
k 1 2k 1
B={x|x= + ,k∈Z}，C={x|x= + ,k∈Z}，则这三个集合间的关系是（ ）
3 2 3 2
A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B
【题型8 利用集合间的关系求参数】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=（ ）
2
A．2 B．1 C． D．−1
3
【变式8-1】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合 ，若 ，
A={x∈N||x|<2},B={x∣ax−1=0} B A
则实数a=（ ）
1 1
A． 或1 B．0或1 C．1 D．
2 2
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）设a,b∈R，A={1,a}，B={−1,−b}，若A⊆B，则a−b=
（ ）
A．−1 B．−2 C．2 D．0
【变式8-3】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合A={x|x≥11}，B=¿，若A⊆B，则实数
m的取值范围是（ ）．
A．(−∞,4] B．(−∞,4) C．(−∞,22) D．(−∞,22]
【题型9 集合间关系中的新定义问题】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）定义集合A★B={x∣x=ab,a∈A,b∈B}，设A={2,3},B={1,2}，
则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【变式9-1】（2022·江苏·高一专题练习）对于两个非空集合A，B，定义集合A−B=¿且x∉B}，若
M={1,2,3,4,5}，N={0,2,3,6,7}，则集合N－M的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式9-2】（2022·高一单元测试）定义A∗B={Z|Z=xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，
集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
学科网（北京）股份有限公司【变式9-3】（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）对于任意两个正整数m,n ，定义某种运算 ，法
则如下：当m,n都是正奇数时，m n=m+n ；当m,n不全为正奇数时，m n=mn，则在此定义下，
集合M={(a,b)|a b=16,a∈N∗,b∈N∗}的真子集的个数是（ ）
A．27−1 B．211−1 C．213−1 D．214−1
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