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专题 1.6 集合与常用逻辑用语全章六类必考压轴题
【人教A版（2019）】
考点1 交、并、补集的混合运算
1．（2023·河北衡水·衡水市校考三模）已知全集I={x∈N∣x≤10}，集合M={1,2,3}，N={2,4,6,8,10}，
则∁ (M∪N)=（ ）
I
A．{5,7,9} B．{1,2,3,4,6,8,10}
C．{0,5,7,9} D．{0,1,2,3,4,6,8,10}
【解题思路】根据并集及补集运算求解即可.
【解答过程】由已知得M∪N={1,2,3,4,6,8,10}，全集I={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
故∁ (M∪N)={0 , 5,7,9}．
I
故选：C.
2．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集U=A∪B={x∈N|0≤x≤7}，A∩(∁ B)={1,3,5,7}，
U
则集合B=（ ）
A．{0,2,4,6} B．{2,4,6} C．{0,2,4} D．{2,4}
【解题思路】由U=A∪B={x∈N|0≤x≤7}可知集合U中的元素，再由A∩(∁ B)={1,3,5,7}即可求
U
得集合B.
【解答过程】由A∩(∁ B)={1,3,5,7}知，{1,3,5,7}⊆A,{1,3,5,7}⊆∁ B
U U
又因为U=A∪B={x∈N|0≤x≤7}={0，1，2，3，4，5，6，7}，
所以B= {0,2,4,6}.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U=R，集合M=¿，N={−4,−2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影
部分的集合为 {−1,2,3} ．
学科网（北京）股份有限公司【解题思路】由给定条件求出集合M，再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得．
【解答过程】由题意，集合M={x∈Z||x−1|<3}={x∈Z|−22m−1，解得m<2，此时满足B⊆A；
②当B≠∅时，要使得B⊆A，
则满足¿，解得2≤m≤3，
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
（2）解：由题意，要使得A⊆B，则满足¿，此时不等式组无解，
所以实数m不存在，即不存在实数m使得A⊆B.
5．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A={x|x<1},B={x|x1},B={x∣x≤a−1}，若
A∪B=R，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1] B．(−∞,2] C．[1,+∞) D．[2,+∞)
【解题思路】根据并集定义，结合数轴即可得到实数a的取值范围.
【解答过程】因为A∪B=R,所以a−1≥1，解得a≥2．
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）设集合 或 ， ，若 ，则 的取值范围是
A=¿ x≥4} B=¿ (∁ A)∩B≠∅ a
R
（ ）
A．a<2 B．a>2 C．a≤4 D．a≥4
【解题思路】先求得 ，再结合集合 及 ，运算即可得解.
∁ A={x|2≤x<4} B=¿ (∁ A)∩B≠∅
R R
【解答过程】由集合A=¿或x≥4}，则∁ A={x|2≤x<4}，
R
又集合 且 ，则 ，
B=¿ (∁ A)∩B≠∅ a>2
R
故选：B.
3．（2022秋·高一课时练习）已知 ， ，且 ，
A={x∣x2+px−6=0} B={x∣x2+qx+2=0} A∩(∁ B)={2}
R
14
则p+q的值等于 ．
3
【解题思路】根据 ，可得 ，即可解得p的值，进而可求得集合 ，又根
A∩(∁ B)={2} 2∈A A={2,−3}
R
据 ，可得 ，即 ，即可解得q的值，即可得答案.
A∩(∁ B)={2} −3∉∁ B −3∈B
R R
【解答过程】因为 ，
A∩(∁ B)={2}
R
所以2∈A，则22+2p−6=0，解得p=1，
所以 ，解得 ，
A={x∣x2+x−6=0} A={2,−3}
又因为 ，
A∩(∁ B)={2}
R
学科网（北京）股份有限公司所以−3∉∁ B，即−3∈B，
R
11
所以(−3) 2−3q+2=0，解得q= ，
3
11 14
所以p+q=1+ = ，
3 3
14
故答案为： .
3
4．（2023·全国·高一假期作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若U＝R，A∩(
∁
B)=A，求实数a的取值范围．
U
【解题思路】（1）题意说明2∈B，代入B中方程求得a值并检验是否满足题意；
（2）题意说明B⊆A，由集合的包含关系求解；
（3）题意说明A⊆∁ B，A∩B=∅，只要A中元素1和2不是集合B中方程的解，即可得出结论，说明
U
集合B中方程可以无实数解．
【解答过程】（1）x2 −3x+2=(x−1)( x−2)=0，x=1或x=2，
∴A={x|x2 −3x+2=0}={1,2},
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3．
当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上可得，a的值为－1或－3．
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A．
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，B=∅，满足条件；
②当Δ=0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．
综上可知，a的取值范围是a≤－3．
（3）∵A∩( ∁ B)=A，∴A⊆∁ B，∴A∩B=∅．
U U
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ<0，即a<－3时，B=∅，满足条件．
学科网（北京）股份有限公司②当Δ=0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．
③当Δ>0，即a>－3时，只需1∉ B且2∉ B即可．
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；
将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a=−1± √3，∴a≠－1，a≠－3且a≠−1± √3，
综上，a的取值范围是{a|a≠−1且a≠−3且a≠−1± √3}．
5．（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知A=¿，B=¿.
(1)若a=1，求A∩(∁ B)；
Z
(2)从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，
A∪(∁ B)=R A∩B=B B∩(∁ A)=∅
R R
并进行解答.
问题：若__________，求实数a的所有取值构成的集合C.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解题思路】（1）当a=1时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合A∩(∁ B)；
Z
{1}
（2）选①，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B= ，根据
a
可得出关于 的等式，综合可得出集合 ；
A∪(∁ B)=R a C
R
选②，分析可知B⊆A，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得
{1}
B= ，根据B⊆A可得出关于a的等式，综合可得出集合C；
a
{1}
选③，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B= ，根据
a
，可得出关于 的等式，综合可得出集合 .
B∩(∁ A)=∅ a C
R
【解答过程】（1）解：当a=1时，B=¿，
又因为A=¿，故A∩(∁ B)={5}.
Z
（2）解：若选①，当 时， ，则 ，满足 ，
a=0 B=∅ ∁ B=R A∪(∁ B)=R
R R
{1} 1 1
当a≠0时，B= ，若A∪(∁ B)=R，则 =1或5，解得a=1或 .
a R a 5
{ 1 }
综上所述，C= 0, ,1 ；
5
学科网（北京）股份有限公司若选②，∵A∩B=B，则B⊆A.
当a=0时，B=∅，满足B⊆A；
{1} 1 1
当a≠0时，B= ，因为B⊆A，则 =1或5，解得a=1或 .
a a 5
{ 1 }
综上所述，C= 0, ,1 ；
5
若选③，当 时， ，满足 ；
a=0 B=∅ B∩(∁ A)=∅
R
{1} 1 1
当a≠0时，则B= ，因为B∩(∁ A)=∅，则 =1或5，解得a=1或 .
a R a 5
{ 1 }
综上所述，C= 0, ,1 .
5
考点4 集合与充分、必要条件的综合应用
1．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知集合 ，集合 .
A={x|1−m≤x≤1+m} B={x|x2−8x−20≤0}
(1)若m=5，求A∩B，A∪B；
(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）代入若m=5再求解交集并集即可；
（2）根据必要条件满足的集合包含关系，列出A,B区间端点满足的不等式求解即可.
【解答过程】（1）若 则 ， ，故
m=5 A={x|−4≤x≤6} B={x|(x−10)(x+2)≤0}={x|−2≤x≤10}
A∩B={x|−2≤x≤6}，A∪B={x|−4≤x≤10}
（2）B={x|−2≤x≤10}，若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B或A为空集.
当A⊆B时¿，解得0≤m≤3；
当A为空集时1−m>1+m，即m<0.
综上有m≤3.
2．（2023·全国·高一专题练习）设U=R，已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)当4∈B时，求实数m的范围；
(2)设p:x∈A；q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围．
【解题思路】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得B是A的真子集，分类讨论B为空集和B不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.
5
【解答过程】（1）由题可得m+1≤4≤2m−1，则 ≤m≤3；
2
学科网（北京）股份有限公司（2）由题可得B是A的真子集，
当B=∅，则m+1>2m−1⇒m<2；
当B≠∅，m≥2，则¿（等号不同时成立），解得2≤m≤3
综上：m≤3.
3．（2023秋·安徽芜湖·高一校考期末）设全集是 ，集合 ．
R A={x|a3或a+1<−1，
学科网（北京）股份有限公司解得a>4或a<−2，
所以实数a的取值范围是(−∞,−2)∪(4,+∞)．
考点5 根据命题的真假求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为
（ ）
A．a>0 B．a≥0 C．a≤0 D．a≤1
【解题思路】结合二次函数的性质来求得a的取值范围.
【解答过程】依题意命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，
当a=0时，1≥0成立，
当a>0时，ax2+1≥0成立，
当a<0时，函数y=ax2+1开口向下，ax2+1≥0不恒成立.
综上所述，a≥0.
故选：B.
2．（2023春·四川宜宾·高二校考期末）已知命题p：∃x∈R,x2+2x+2−a=0为真命题，则实数a的值
不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．−3
【解题思路】利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.
【解答过程】因为命题p：∃x∈R,x2+2x+2−a=0为真命题，
所以Δ=4−4(2−a)≥0解得a≥1，
结合选项可得实数a的值不能是−3，
故选:D.
3．（2023·高一课时练习）已知命题p:∀x∈[1,2],x2−a≥0，命题q:∀x∈R,x2+2ax+2−a≠0，
若命题p和¬q都是真命题，则实数a的取值范围是 (−∞,−2]∪{1} ．
【解题思路】先根据命题的真假求出a的范围，取交集可得答案.
【解答过程】当p:∀x∈[1,2],x2−a≥0为真时，a≤1；
当q:∀x∈R,x2+2ax+2−a≠0为真时，Δ=4a2−4(2−a)<0，即−22成立.
②当B不是空集时，∵B⊆A，¿，∴−1≤m≤2
综上①②，m≥−1.
（2）∃x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠∅,m+1≥2m−1,m≤2.
当A∩B=∅时¿，无解或¿，m<−4，
∴A∩B≠∅,m∈[−4,2].
4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题p:∃x∈R,x2−6x+a2=0，当命题p为真命题时，
实数a的取值集合为A．
(1)求集合A；
学科网（北京）股份有限公司(2)设集合B=¿，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可知x2−6x+a2=0有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出B⊆A,且B≠A，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【解答过程】（1）因为p为真命题，所以方程x2−6x+a2=0有解，即Δ=36−4a2≥0，
所以−3≤a≤3，即A=¿；
（2）因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⊆A,且B≠A，
1
i）当B=∅时，3m−2>m−1，解得m> ；
2
ii）当B≠∅时，¿，且3m−2≥−3,m−1≤3等号不会同时取得，
1 1
解得− ≤m≤ ，
3 2
1
综上，m≥− .
3
5．（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设全集U=R，集合A=¿，非空集合B=¿，其中a∈R．
(1)当a=4时，求A∩∁ B；
R
(2)若命题“∃x∈B，x∈∁ A”是真命题，求实数a的取值范围．
U
【解题思路】（1）首先求出集合A，再根据补集、交集的定义计算可得；
（2）首先求出∁ A，依题意可得B∩∁ A≠∅，即可得到不等式，解得即可；
R R
1
【解答过程】（1）解：不等式log ≤x
