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专题 06 预备知识六：等式性质与不等式性质
1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“ ”“ ”“ ”“ ”“
”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
自然语言 大于 小于 大于或等 小于或等 至多 至少 不少于 不多于
于 于
符号语言
知识点二：实数 大小的比较
1、如果 是正数，那么 ；如果 等于 ，那么 ；如果 是负数，那么 ，反过
来也对.
2、作差法比大小：① ；② ；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式 的探究
一般地， ，有 ，当且仅当 时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 （等价于）
传递性 （推出）
可加性 （等价于
注意c的符号（涉及分类讨
可乘性
论的思想）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同为正数
对点特训一：比较两个代数式的大小
角度1：由不等式比较数（式）的大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数 、 满足 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果 ，那么下面结论一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（23-24高一上·广东·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
精练
1．（2024高二下·山东）已知 ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知 ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知 ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
角度2：利用作差法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高二上·河南·期末）已知 且 ， ，则 、 的大小
关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
例题2．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周
的白菜价格分别为 元 斤、 元 斤 ，王大妈每周购买 元的白菜，李阿姨每周购买 斤白菜，王
大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为 ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
例题3．（23-24高一上·云南昆明·期中）设 ， ，则 与 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．无法确定
精练
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数 ， 满足 ，求证： .
3．（2024高三·全国·专题练习）已知 为正实数．求证： .
角度3：利用作商法比较大小
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设 ， ，则 （填入“＞”或“＜”）．
例题2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知 ，试比较 和 的大小.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（2024高一·上海·专题练习） ，则 的大小关系为 ．
2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 ，比较 与 的大小
3．（23-24高一·全国·课后作业）若 ，求证： ．
对点特训二：利用不等式的性质证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）（1）比较 与 的大小．
（2）已知 ，求证： ；
例题2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小： 与 ；
（2）若 ， ，求证： .
精练
1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若 ， ，求证： .
2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式：
(1)已知 ，求证： ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)已知 ，求证： .
对点特训三：利用不等式的性质求取值范围
典型例题
例题1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知 且满足 ，则 的取值范围是
.
例题3．（23-24高一上·云南玉溪·阶段练习）（1）已知 ，求证： ；
（2）已知 ，求 的取值范围；
（3）已知 ，求 的取值范围．
精练
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的取值范围是 ， 的取值范
围是 .
3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若实数 ， 满足 ，则 的取值范围为 .
一．单选题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高二下·上海·期中）已知 ，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）下列命题中真命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（2024·天津·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
5．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
6．（2024·福建福州·模拟预测）设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买
50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较
8．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·海南·阶段练习）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入
对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果 ， ，那么
B．如果 ，那么
C．若 ， ，则
D．如果 ， ， ，那么
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为
．
12．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足 ， ，则 的最大
值为 ．
四、解答题
13．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）（1）已知 ，比较 与 的大小；
（2）设x，y是不全为零的实数，试比较 与 的大小，并说明理由．
14．（21-22高一上·湖北十堰·阶段练习）（1）已知 ， ，求 和 的取值范围；
（2）已知 ， ，求 的取值范围.
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