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2024 级高一年级 12 月学情检测试题
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
2. 已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，设 ， 在区间 中至少
有一个零点，则 是 的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
的
3. 下表是某次测量中两个变量 一组数据,若将 表示为关于 的函数,则最可能的函数模型是
2 3 4 5 6 7 8 9
0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99
A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
4. 函数 的零点个数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知 ，则 的最小值是（）
A. 9 B. C. 4 D. 2
6. 若存在 满足 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
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7. 函数 的图象大致是（）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ，关于 的方程 有8个不相等的实
数根，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（）
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B. 命题“ ， ”是真命题
C. “ ”是“ ”的充分条件
D. “ ”是“ ”的充分不必要条件
10. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的有（）
A. B.
C. D.
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11. 已知 是函数 的零点（其中 为自然对数的底数），则下列说法正确
的有（）
A B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 ，则 的值为__________.
13. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 ，经过一段时间
后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期.现有一杯用 热
水冲的速溶咖啡，放在 的房间中，如果咖啡降温到 需要 ，那么降温到 ，需要的
时长为__________ .
14. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
（1）请写出函数 图象的对称中心__________.
（2）利用题目中的推广结论，若函数 的图象关于点 对称，则
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 计算：
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（1）求值：计算
（2）求值： .
（3）已知 ，求值： .
16. 已知
（1）求证： 在 上存在零点；
（2）若对任意 的，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
17. 已知函数 是偶函数， .
（1）求实数 的值；
（2）当 时，求函数 的零点；
（3）若 的最小值为4，求实数 的值.
18. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，
发车时间间隔 （单位：分钟）满足: ，平均每班地铁的载客人数 （单位：人）与发车时间
间隔 近似地满足函数关系： ，
（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔 的取值范围；
（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为 （单位：元），则当发车时间间隔 为多
少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
19. 若函数 在区间 上有意义，对于给定的 ，存在 ，使得
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，则称 为 上的“ 阶等值函数”.
（1）判断 ，是否是 上的“ 阶等值函数”，并说明理由；
（2）若二次函数 满足 ，证明： 是 上的“ 阶等值函数”；
（3）证明： 是 上 “ 阶等值函数”，并求 的最大值.
的
2024 级高一年级 12 月学情检测试题
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
第5页1
【答案】A
3.
【答案】D
4.
【答案】B
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】 ##
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②. 6
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；
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（2）根据对数的运算性质计算可得；
（3）首先求出 ，接着求出 ，最后代入计算可得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为 ，
所以 ，即 ，
则 ，所以 ，
所以 .
16.
【解析】
【分析】（1）首先判断函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
第7页1
（2）结合（1）的单调性可知对任意的 ，不等式 恒成立，参变分离，结合基本不
等式计算可得，需注意 .
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，
又 与 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 为连续函数，
又 ， ，
所以 ，所以 在 上存在唯一零点，
即 在 上存在零点；
【小问2详解】
由（1）可知 在 上单调递增，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
所以对任意的 ，不等式 恒成立，
即对任意的 ，不等式 恒成立，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
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17.
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义 恒成立来求解 的值.
（2）令 ，先求出 的表达式，再代入，结合换元法解二次方程，最后指对互化，求值即可.
（3）先将 代入 得到表达式，再分类讨论，结合二次函数的性质求 的值.
【小问1详解】
因为 是偶函数，所以 恒成立.
即 ， ，则 .
移项得到 ，即 .
提取公因式 得到 ，
因为 不恒为 ，所以 .
【小问2详解】
当 时， ，则 .
由（1）知 ，令 ，即 .
设 ，则 .
分解因式得 ，因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
即函数 的零点为 ；
【小问3详解】
由（1）知 ，所以 ，则 .
设 ，则 .
当 即 时， 在 处取得最小值， ，解得 .
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当 即 时， 在 处取得最小值， ，此方程无解.
综上所得， .
18.
【解析】
【分析】
（1）根据题意即求解不等式 ；
（2）根据题意求出 的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.
【详解】（1）当 ， 超过1560，所以不满足题意；
当 ， 载客人数不超过1560，
即 ，解得 或 ，由于
所以 ；
（2）根据题意 ，
则
根据基本不等式， ，当且仅当 ，即 时取得
等号，所以 ，
即当 时，平均利润的最大值为260元，
当 时， 单调递减， ，
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综上所述 ，最大值为260元.
19.
【解析】
【分析】（1）根据“ 阶等值函数”的定义，判断在 上是否存在 使得
即可.
（2）根据题目中所给的定义，结合二次函数的对称性，可得答案；
（3）由题意代入端点值，求得参数值，利用反证法，结合指数函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
假设 是 上的“ 阶等值函数”.
则存在 ，使得 ，故 .
又因为 是单调递增函数，而 ，所以 ，矛盾，
所以 不是 上的“ 阶等值函数”.
【小问2详解】
证明：因为 是二次函数， ，
所以 的对称轴为 ，
若存在 ，使得 ，则 ，
解得 ，所以 是 上的“ 阶等值函数”．
【小问3详解】
证明：因为 ，
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当 时， ，令 ，得 ，
所以 ，
所以 是 上的“ 阶等值函数”，且 的一个值为 ，
下面证明 的最大值为 ：
假设存在 ，使得 是 上的“ 阶等值函数”，
则存在 ，使得 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，矛盾，
所以 的最大值为 .
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