文档内容
2025~2026 学年第一学期期中七校联合调研试题高一数学
2025.11
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．命题“x∈R，x2－x＋1≤0”的否定为
A．x∈R，x2－x＋1＞0 B．x∈R，x2－x＋1＞0
C．xR，x2－x＋1＞0 D．xR，x2－x＋1≤0
1
2．设集合M＝{x|x2－4＜0}，N＝{x| ≤x≤5}，则M∩N等于
3
1 1
A．{x|0＜x≤ } B．{x| ≤x＜2}
3 3
C．{x|4≤x＜5} D．{x|－2＜x≤5}
4－x
3．函数f(x)＝ 的定义域为
x－1
A．(－∞，4) B．(1，4)∪(4，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，4]
4．命题“k＞4”是命题“x2－4x＋k2－3k＞0对一切实数x恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
x2－2ax＋6，x≤1
5．已知函数f(x)＝ a 是R上的减函数，则实数a的取值范围是
x
，x＞1
7
A．[1， ) B．[1，＋∞)
3
7
C．[1， ] D．(1，＋∞)
3
6．牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体
的初始温度为θ ºC，环境温度为θ ºC，则t分钟后物体的温度θ（单位：ºC）满足：θ＝θ ＋(θ －θ )e－
1 0 0 1 0
kt．已知环境温度为20 ºC，一块面包从温度为140 ºC的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为80 ºC，那么
大约再经过( )分钟，温度降为35 ºC．
A．10 B．20 C．30 D．40
7．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝－1．若关于 x 的方程 f(x2＋4x＋t)＝1在[1，3]上有解，则实数t的最大值为
A．23 B．7 C．－7 D．－23
8．若ex－2＝e2y，则x－y的最小值为
（参考：a≥b＞0lna≥lnb，ea≥eba≥b．）
2ln2 4ln2 3ln2 3ln2
A． B． C． D．
3 3 2 4
二、选择题：本大题共3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9． 已知a＞b＞c＞0，下列不等式一定成立的是
a＋b c c
A．b＜ ＜a B． ＜
2 a b
b c b b＋a
C． ＞ D． ＜
a－b b－c c c＋a
10．设a，b，c为实数，已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，下列说法中正确的是
A．a＜0
B．4a－2b＋c＞0
1
C．关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＜ 或x＞1}
3
D．若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞a2－4恰有3个整数解，则a∈(－2，－1]
11．设集合M是实数集R的子集，如果t∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈M，使得
0＜|x－t|＜a，则称t为集合M的聚点，下列说法中正确的是
n＋1
A．1是集合{x|x＝ ，n∈N*}的聚点
n
B．0不是集合{x∈Z|x≠0}的聚点
n2－1
C．1不是集合{x|x＝ ，n∈N*}的聚点
n2＋1
n
D．0是集合{x|x＝ ，n∈N*}的聚点
2n2＋1
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知二次函数f(x)满足f(x－1)＝x2＋x＋2，则f(2)＝___▲_____．
13．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，若4x＋1≥mxy恒成立，则实数m的最大值为___▲_____．
x f(x )－x f(x )
2 1 1 2
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x ，x ∈(0，＋∞)，且x ≠x ，都有不等式
1 2 1 2 x －x
1 2
＞0，且f(－3)＝－3，则不等式f(x－1)＋1≥x的解集是___▲_____．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77分．请在答题卡指定区域内作答，作答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
计算下列各式的值：（1）16×( 16 ) － 2 1 －4 2×8 1 4－(－2025)0；
25
（2）log 3·错误!16＋5错误!；
4
4 27
（3）log ＋lg5·lg20＋(lg2)2．
3 3
16．（15分）
已知集合A＝{x|2m－4＜x＜3m＋2}，B＝{x|2x2－7x＋5≤0}．
（1）若m＝3，求A∪B，A∩(∁ B)；
R
（2）若A∩B＝，求实数m的取值范围．
17．（15分）
ax＋b
已知函数f(x)＝ 是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝1．
9－x2
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f(x)在(－3，3)上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）若f(t2－1)＋f(1－5t)＜0，求实数t的取值范围．
18．（17分）
海洋潮汐（Ocean Tide）是沿海地区的一种自然现象，古代称白天的河海涌水为
“潮”，晚上的为“汐”，合称为“潮汐”．习惯上把海水在海面垂直方向的涨落称
为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．如图所示，现在海里竖立着一块等腰三
角形状的标识牌，若该标识牌的腰长为 5 米，底边长为 8 米，开始时均在海平面以下，随着海水落潮该标识牌逐渐露出水面，最终全部在海平面以上．设海平面与该标
识牌的交线为PM，且BP＝4x（0＜x＜2）米，记海平面以下部分的多边形为Ω，Ω的
面积为S(x)，Ω的周长为L(x)．
1 3
（1）计算S( )和L( )；
2 2
（2）求S(x)和L(x)的解析式；
L(x)
（3）记F(x)＝ ，求F(x)的最小值．
S(x)
19．（17分）
已知函数f(x)＝x－2 x－1－4，x∈[1，26]，g(x)＝x|x－a|＋a2．
（1）求函数f(x)的值域；
（2）若a＜－3，且对任意x ，x ∈[－2，2]，都有|g(x )－g(x )|≤36，求实数a的取值
1 2 1 2
范围；
（3）若a∈R，且对任意x ∈[1，2]，都存在x ∈[1，26]，使得g(x )＝f(x )，求实数a
1 2 1 2
的取值范围．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C
二．选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0分．
9．AB 10．ACD 11．ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．14 13．6＋2 5 14．[－2，1]∪[4，＋∞)
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
16
解：（1）16×( )－4 2×8－(－2025)0
25
4 5
＝16×( )－2×(23)－1＝16× －2－1
5 4
＝20－2－1＝17． …………………………………………………………4分
（2）log
4
3·错误!16＋5
＝log
22
3·24＋5·5＝4log
2
3·log
3
2＋5×6
＝4＋30＝34． ………………………………………………………………………4分
4 27
（3）log ＋lg5·lg20＋(lg2)2
3 3
＝log ＋lg5·(lg2＋1)＋(lg2)2＝log 3＋lg5·lg2＋(lg2)2＋lg5
3 3
1 1
＝－ ＋lg2·(lg5＋lg2)＋lg5＝－ ＋lg2＋lg5
4 4
1 3
＝－ ＋1＝ ． ………………………………………………………………………5分
4 4
16．（15分）
解：（1）当m＝1时，A＝{x|2＜x＜11}， …………………………………………………1分
5 7 5
B＝{x|x2＋ ≤ x}＝{x|1≤x≤ }， …………………………………………………………2分
2 2 2
所以A∪B＝{x|1≤x＜11}． …………………………………………………………………2分
5
又因为(∁ B)＝{x|x＜1或x＞ }，
R 2
5
所以A∩(∁ B)＝{x| ＜x＜11}． ……………………………………………………………2分
R 25
（2）因为A∩B＝，由于A＝{x|2m－4＜x＜3m＋2}，B＝{x|1≤x≤ }，
2
①所以当A＝时，则有2m－4≥3m＋2，即m≤－6； …………………………………2分
m＞－6
m＞－6
②当A≠时，则有 或 5， ………………………………………3分
1≥3m＋2 2m－4≥
2
1 13
解得－6＜m≤－ 或m≥ ． ………………………………………………………………1分
3 4
1 13
综上所述，实数m的取值范围为(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)． ……………………………2分
3 4
17．（15分）
ax＋b
解：（1）因为函数f(x)＝ 是定义在(－3，3)上的奇函数．
9－x2
b
所以f(0)＝ ＝0，解得b＝0． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
9
ax
则f(x)＝ ．
9－x2
a
又因为f(1)＝1，则 ＝1，解得a＝8． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
9－12
－8x 8x
经检验a＝8，b＝0时，f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)，
9－(－x)2 9－x2
8x
则f(x)＝ 是奇函数．
9－x2
所以a＝8，b＝0． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
8x
（2）因为f(x)＝ ，x∈(－3，3)．
9－x2
函数f(x)在(－3，3)上单调递增， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
证明：任取－3＜x ＜x ＜3． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
1 2
f(x )－f(x )＝－
1 2
＝＝
＝（*） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
8(x －x )(x x ＋9)
1 2 1 2
＝ ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
(3－x )(3＋x )(3－x )(3＋x )
1 1 2 2
【说明】如果只化到（*）式，扣1分，但不影响后续得分；若分子未因式分解到位，则证明过程除取值外
不给分．
因为－3＜x ＜x ＜3，
1 2
所以3－x ＞0，3＋x ＞0，3－x ＞0，3＋x ＞0，x x ＋9＞0，x －x ＜0，
1 1 2 2 1 2 1 2
8(x －x )(x x ＋9)
1 2 1 2
则f(x )－f(x )＝ ＜0，
1 2 (3－x )(3＋x )(3－x )(3＋x )
1 1 2 2所以f(x )－f(x )＜0，即f(x )＜f(x )，
1 2 1 2
故函数f(x)在(－3，3)上单调递增． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
【说明】若未判断单调性，但正确证明单调递增，不扣分．
（3）函数f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(t2－1)＋f(1－5t)＜0．
则f(t2－1)＜－f(1－5t)＝f(5t－1)， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
因为函数f(x)在(－3，3)上单调递增．
－3＜t2－1＜3
所以－3＜5t－1＜3， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
t2－1＜5t－1，
4 4
解得0＜t＜ ，所以t的取值范围是(0， )． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
5 5
【说明】若未考虑定义域（即解得0＜t＜5）扣2分．
18．（17分）
1
解：（1）当x＝ 时，BP＝2，
2
2 4 3
所以 ＝ ，所以MP＝ ．
MP 3 2
3
所以S ＝ ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
△BPM 2
1 21
又因为S ＝12，所以S( )＝ ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
△ABC 2 2
3
当x＝ 时，BP＝6，所以CP＝2
2
3 5
同理MP＝ ，又因为CM＝ ，
2 2
3
所以L( )＝6． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
2
（2）①当0＜4x≤4时，即0＜x≤1时，
4x 4
因为 ＝ ，所以MP＝3x．
MP 3
1
所以S ＝ ·3x·4x＝6x2，
△BPM 2
又因为S ＝12，所以S(x)＝12－6x2＝－6x2＋12． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
△ABC
L(x)＝18－9x＋3x＝－6x＋18． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
②当4＜4x＜8时，即1＜x＜2时，
因为CP＝8－4x，
8－4x 4
所以 ＝ ，所以MP＝6－3x．
MP 31
所以S(x)＝ ·(6－3x)·(8－4x)＝6x2－24x＋24． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
2
L(x)＝(6－3x)＋(8－4x)＋(10－5x)＝－12x＋24． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
－6x2＋12，0＜x≤1
综上所述：S(x)＝ ，
6x2－24x＋24，1＜x＜2
－6x＋18，0＜x≤1
L(x)＝ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
－12x＋24，1＜x＜2．
（3）①当0＜x≤1时，
L(x) －6x＋18 x－3
F(x)＝ ＝ ＝ ,0＜x≤1．
S(x) －6x2＋12 x2－2
令t＝x－3，则t∈(－3，－2]，且x＝t＋3．
t t
所以y＝ ＝ ＝错误!
(t＋3)2－2 t2＋6t＋7
＝错误!≥错误!＝错误!＝错误!． ．．．．．．．．．．．3分
7
当且仅当－t＝－ ，即t＝－ 7，此时x＝3－ 7时取等号． ．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
t
所以F(x) ＝F(3－ 7)＝错误!．
min
②当1＜x＜2时，
L(x) －12x＋24 2
F(x)＝ ＝ ＝ ,1＜x＜2．
S(x) 6x2－24x＋24 2－x
因为F(x)在[1，2)上单调递增，
所以F(x)＞F(1)＝2＞错误!． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
综上所述，F(x)的最小值为错误!． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
19．（17分）
解：（1）令t＝ x－1，t∈[0，5]，则x＝t2＋1，
所以y＝t2＋1－2t－4＝t2－2t－3，t∈[0，5]． ……………………………………………1分
因为对称轴t＝1，所以f(x)∈[－4，12]． …………………………………………………2分
－x2＋ax＋a2，x≤a，
（2）因为g(x)＝
x2－ax＋a2，x＞a．
由题意可知g(x) －g(x) ≤36．……………………………………………………………1分
max min
a
①若 ≤－2，即a≤－4时，
2
因为g(x)在[－2，2]上单调递增，
所以g(x) ＝g(2)＝a2－2a＋4，g(x) ＝g(－2)＝a2＋2a＋4．
max min
所以g(x) －g(x) ＝－4a≤36，所以a≥－9．
max min
所以－9≤a≤－4．
a
②若 ＞－2，即－4＜a＜－3时，
2a a
因为g(x)在[－2， ]上单调递减，在[ ，2]上单调递增，且g(－2)＜a2，g(2)＞a2．
2 2
a 3
所以g(x) ＝g(2)＝a2－2a＋4，g(x) ＝g( )＝ a2．
max min 2 4
1
所以g(x) －g(x) ＝ a2－2a＋4≤36，即a2－8a－128≤0，所以－8≤a≤16．
max min 4
所以－4＜a＜－3．……………………………………………………………………………3分
【说明】一段正确给2分，两段均正确给3分．
综上所述a∈[－9，－3)．……………………………………………………………………1分
（3）方法一：设y＝g(x)，x∈[1，2]的值域为集合A，f(x)的值域为集合B，所以AB．
由（1）知B＝[－4，12]．
①当a≤1时，
因为g(x)在[1，2]上单调递增，
所以g(x) ＝g(2)＝a2－2a＋4，g(x) ＝g(1)＝a2－a＋1．
max min
a2－a＋1≥－4 a2－a＋5≥0 a∈R
所以 ，即 ，即 ，解得－2≤a≤4．
a2－2a＋4≤12 a2－2a－8≤0 －2≤a≤4
所以－2≤a≤1． ……………………………………………………………………………2分
a
②当 ≥2，即a≥4时，
2
因为g(x)在[1，2]上单调递增，
所以g(x) ＝g(2)＝a2＋2a－4，g(x) ＝g(1)＝a2＋a－1．
max min
a2＋a－1≥－4 a2＋a＋3≥0
所以 ，即 ，即错误!，
a2＋2a－4≤12 a2＋2a－16≤0
解得－1－ 17≤a≤－1＋ 17．
所以无解． ……………………………………………………………………………………2分
1 a
③当1＜a≤2时，则 ＜ ≤1，
2 2
因为g(x)在[1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，
所以g(x) ＝g(a)＝a2，
min
又因为g(1)＝a2＋a－1，g(2)＝a2－2a＋4．
a2≥－4 a∈R
所以a2＋a－1≤12 ，即a2＋a－13≤0 ，即错误!，
a2－2a＋4≤12 a2－2a－8≤0
解得－2≤a≤错误!．
所以1＜a≤2．…………………………………………………………………………………2分
a
④当2＜a＜4时，则1＜ ＜2，
2a a
因为g(x)在[1， ]上单调递增，在[ ，2]上单调递减，
2 2
a 5a2
所以g(x) ＝g( )＝ ，
max 2 4
又因为g(1)＝a2＋a－1，g(2)＝a2＋2a－4．
所以错误!，即错误!，所以错误!，
4 15
所以2＜a≤ ．……………………………………………………………………………2分
5
4 15
综上所述－2≤a≤ ． ……………………………………………………………………1分
5
方法二：设y＝g(x)，x∈[1，2]的值域为集合A，f(x)的值域为集合B，所以AB．
由（1）知B＝[－4，12]．
又因为当x∈[1，2]时，g(x)＞0，所以只需g(x) ≤12．
max
①当a≤1时，
因为g(x)在[1，2]上单调递增，
所以g(x) ＝g(2)＝a2－2a＋4≤12．即a2－2a－8≤0，解得－2≤a≤4．
max
所以－2≤a≤1． ……………………………………………………………………………2分
a
②当 ≥2，即a≥4时，
2
因为g(x)在[1，2]上单调递增，
所以g(x) ＝g(2)＝a2＋2a－4≤12．即a2＋2a－16≤0，解得－1－ 17≤a≤－1＋ 17．
max
所以无解． ……………………………………………………………………………………2分
1 a
③当1＜a≤2时，则 ＜ ≤1，
2 2
因为g(x)在[1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，
又因为g(1)＝a2＋a－1，g(2)＝a2－2a＋4．
a2＋a－1≤12 a2＋a－13≤0
所以 ，即 ，即错误!，
a2－2a＋4≤12 a2－2a－8≤0
解得－2≤a≤错误!．
所以1＜a≤2．…………………………………………………………………………………2分
a
④当2＜a＜4时，则1＜ ＜2，
2
a a
因为g(x)在[1， ]上单调递增，在[ ，2]上单调递减，
2 2
a 5a2 4 15 4 15
所以g(x) ＝g( )＝ ≤12，解得－ ≤a≤ ．
max 2 4 5 5
4 15
所以2＜a≤ ．……………………………………………………………………………2分
5
4 15
综上所述－2≤a≤ ． ……………………………………………………………………1分
5
