文档内容
南京市 2024－2025 学年度第一学期期末学情调研测试
高 一 数 学
2025．01
注意事项：
1．本试卷包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空题(第12题~第14题)、解
答题(第15题~第19题)四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁ B)＝
U
A．{3} B．{1，6} C．{5，6}
D．{1，3}
2．“a≠0”是“ab≠0”的
A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．函数f(x)＝lg(1－|x|)的定义域为
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[－1，1] D．(－1，1)
4．将函数y＝sin(x－ )图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为
A．y＝sin( x－ ) B．y＝sin(2x－ )
C．y＝sin( x－ ) D．y＝sin(2x－ )
5．已知cosα＝－ ， ＜α＜π，则cos( ＋α)的值为
A．－ B．－ C． D．
6．已知a＝log 3，b＝sin ，c＝3 ，则
2
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
7．根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000 ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康
不受到影响．已知某室内二氧化碳浓度y (ppm)与开窗通风的时长t (分钟)之间的关系式为y＝500＋
104λe－ (λ∈R)．经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000 ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为(参考数据：ln3≈1.099，ln5≈1.609)
A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟
8．若命题“x＞0，(ax－1)(x2－2ax－1)≥0”是真命题，则实数a的取值集合为
A．{ } B．{ } C．{a|a≥ } D．{a|0＜a≤ }
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0
分．
9．若a＞b＞0，则
A．a3＞b3 B．ab＜b2 C． ＋ ＞ D． ＋ ＜2
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－ ， )，角θ的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于点B
(A，B不重合)，下列说法正确的是
A．若cosθ＝－ ，则点A和点B关于x轴对称
B．若cosθ＝ ，则点A和点B关于y轴对称
C．若点A和点B关于直线y＝－x对称，则sinθ＝
D．若OA和OB相互垂直，则tanθ＝
11．函数f(x)满足：x∈R，f(x＋1)f(x)＝2．已知当x∈[0，1)时，f(x)＝2x，则
A．f(1)＝1 B．f(x)为周期函数
C．f(x)为偶函数 D．方程f(x)＝ 恰有3个解
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．已知函数f(x)＝log (x＋2) (a＞0，a≠1)的图象经过定点P(m，n)，则m＋n＝ ．
a
13．已知函数f(x)＝ 且f(2)＝ ，则α＝ ，使得f(x)＜ 成立的x的取值范围是
．
14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜ )图象的一个对称中心是(－ ，0)，一条对称轴是直线x＝
，且f(x)在区间(0， )上有且仅有两个零点，则ω＝ ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知6m＝2，6n＝5．（1）求62m－n的值；
（2）用m，n表示log 15．
20
16． （本小题满分15分）
已知f(α)＝ ．
（1）若sinα＋cosα＝ ，且0＜α＜π，求f(α)的值；
（2）若f(α)＝ ，求sin2α－3sinαcosα的值．
17．（本小题满分15分）
已知函数f(x)的定义域为R，函数g(x)＝f(－x)－f(x)．
（1）判断g(x)的奇偶性，并加以证明；
（2）若f(x)＝3x ．
①用函数单调性的定义证明：g(x)在R上单调递减；
②解关于x的不等式g(4x －9)＋g(6－2x＋1)＞0．
18．(本小题满分17分)
已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别
为( ，2)，( ，－2)．
（1）求f (x)的解析式；
（2）求f (x)在[0，π]上的单调增区间；
（3）设m＞1，证明：函数g(x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点．
19．(本小题满分17分)设函数f(x)在非空数集M上的取值集合为N．若N M，则称f (x)为M上的“T函数”．
（1）判断f (x)＝sin2x是否为[ ， ]上的“T函数”，并说明理由；
（2）若f (x)＝log ( －1)为[a，b] (a＜b)上的“T函数”，证明：a＋b＜2；
2
（3）若存在实数b，使得f (x)＝(x－a)2＋b为[0，1]上的“T函数”，求实数a的取值范围．
南京市 2024－2025 学年度第一学期期末学情调研测试
高一数学参考答案
2025.01
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．B 2．A 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0
分．
9．AC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．－1 13． ，(－∞，2) 14．18
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）62m－n＝ ＝ ；················································································5分
（2）因为6m＝2，6n＝5，
所以m＝log 2，n＝log 5．································································7分
6 6
从而log 15＝ ··········································································9分
20
＝ ··································································11分
＝ ，
因为log 2＋log 3＝1，
6 6
所以log 15＝ ＝ ．·················································13分
36
16. （本小题满分15分）
（1）解法1：f(α)＝ ，
因为sinα＋cosα＝ ，
所以(sinα＋cosα)2＝ ，即2sinαcosα＝－ ，··············································2分
从而(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝ ，····················································4分
因为0＜α＜π，sinα＞0，
又因为sinαcosα＜0，所以cosα＜0，因此sinα－cosα＞0，
从而sinα－cosα＝ ，·········································································6分
故f(α)＝ ＝ ．·······································································7分
解法2：由sinα＋cosα＝ 及sin2α＋cos2α＝1，····················································2分解得sinα＝ ，cosα＝ ，
或sinα＝ ，cosα＝ ，························································4分
因为 ＜α＜π，
所以sinα＝ ，cosα＝ ，
所以sinα－cosα＝ ，······································································6分
因此f(α)＝ ＝ ＝ ．····························································7分
（2）解法1：f(α)＝ ＝ ，
所以2sinα＝－4cosα，··········································································9分
假设cosα＝0，则由上式知sinα＝0，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，
所以cosα≠0，
从而tanα＝－2．················································································11分
则sin2α－3sinαcosα＝ ＝ ·······································14分
＝ ＝2．·······························································15分
解法2：f(α)＝ ＝ ，
所以sinα＝－2cosα，
又sin2α＋cos2α＝1，·······································································9分
所以5cos2α＝1，即cos2α＝ ，··························································11分
因此sin2α－3sinαcosα＝4cos2α＋6cos2α＝10cos2α···············································14分
＝2．·····························································15分
17. （本小题满分15分）
解：（1）g(x)是R上的奇函数．
因为g(x)定义域为R，对于任意的x∈R，都有－x∈R，且
g(－x)＝f(x)－f(－x)＝－g(x)，·····························································3分
所以g(x)是R上的奇函数．·······························································4分
（2）①g(x)＝ －3x．
任取x，x∈R，不妨设x＜x，
1 2 1 2
g(x 1 )－g(x 2 )＝ －3x 1 － ＋3x 2 ＝(3x 2 －3x 1)(1＋ )，································7分
因为x，x∈R，x＜x，且函数y＝3x在R上单调递增，
1 2 1 2
所以3x
2
－3x
1
＞0，1＋ ＞0，
从而g(x)－g(x)＞0，即g(x)＞g(x)，
1 2 1 2
因此g(x)在R上单调递减．·······························································9分
②因为g(4x－9)＋g(6－2x＋1)＞0，
又g(x)是R上的奇函数，且单调递减，
所以g(4x－9)＞g(2x＋1－6)，
从而4x－9＜2x＋1－6，·····································································12分解得－1＜2x＜3，
所以不等式的解集为(－∞，log 3)．··················································15分
2
18．(本小题满分17分)
解：（1）由题意，A＝2，··············································································1分
＝ － ＝ ，又ω＞0，所以 ＝ ，即ω＝2．······································3分
根据题意，当x＝ 时，sin(2× ＋φ)＝1，
从而 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，即φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，
又－π＜φ＜0，故φ＝－ ．·································································5分
所以f (x)＝2sin(2x－ )．·····································································6分
（2）令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，···················································8分
则－ ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z，
即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
所以f (x)的单调增区间为[－ ＋kπ， ＋kπ]，k∈Z．·····························10分
故f (x)在[0，π]上的单调增区间为[0， ]和[ ，π]．······························12分
（3）g (x)＝2sin(2mx－ )－2msin(2x－ )＝2[sin(2mx－ )－msin(2x－ )]，
当m＞1时，
则g (0)＝ (m－1)＞0，···································································14分
g ( )＝2[sin( － )－m]≤2(1－m)＜0，··············································16分
又g (x)在(0，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线，
所以由零点存在性定理知，
当m＞1时，函数g (x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点．················17分
19．(本小题满分17分)
解：（1）由x∈[ ， ]，得2x∈[ ， ]，
所以sin2x∈[ ，1]，即f (x)的取值集合为[ ，1]，····································2分
因为[ ，1] [ ， ]，
所以f (x)＝sin2x是为[ ， ]上的“T函数”．········································4分
（2）因为f (x)＝log ( －1)为[a，b](a＜b)上的减函数，
2
所以f (x)在[a，b]的取值集合为[f (b)，f (a)]，·········································5分
因为f (x)为[a，b]上的“T函数”，所以[f (b)，f (a)] [a，b]，
因此f (b)≥a，f (a)≤b，
即log ( －1)≥a，log ( －1)≤b，···············································7分
2 2
所以(2a＋1)(2b＋1)≤9，(2a＋1)(2b＋1)≥9，
从而(2a＋1)(2b＋1)＝9，即2a＋b＋2a＋2b－8＝0，·····································9分
因为a＜b，
所以0＝2a＋b＋2a＋2b－8＞2a＋b＋2× －8，
解得 ＜2，即a＋b＜2．·····························································11分
（3）解法1：①若a≤0，则f (x)的取值集合为[f (0)，f (1)]，
因此 即
从而
所以－a2＋2a≥－a2，解得a≥0，
又a≤0，故a＝0；········································································13分
②若0＜a＜1，则f (x)的取值集合为[f (a)，max{f (0)，f (1)}]，
因此 即
从而
所以 解得0≤a≤1，
又0＜a＜1，故0＜a＜1；·································································15分
③若a≥1，则f (x)的取值集合为[f (1)，f (0)]，
因此 即
从而
所以－a2＋1≥－a2＋2a－1，解得a≤1，
又a≥1，故a＝1；
综上，0≤a≤1．···················································································17分
