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第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试 B 卷
（答卷时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求)
1.已知 且 则下列命题正确的是 （ ）
A．如果 那么 B．如果 那么
C．如果 那么 D．如果 ，那么
2.若 ，则 的最小值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3.不等式 的解集为R，则 的所有取值集合为 （ ）
A． B．
C． D．
4.已知 , 则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
5. “ ”的充分不必要条件是 （ ）
A． B． C． D．
6.已知 ，不等式 有解,则 的取值范围为 （ ）A． B． C． D．
7.在 上定义运算“＊”： ＊ ，则满足 ＊ 的
实数 的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0
分)
8.不等式 的解集为 ，则实数 可能是 （ ）
A． B． C． D．
9.下列说法不正确的有
A．不等式 的解集为 B．
C． 的最大值为-2 D． 是 的充分不必要条件
10.已知 下列说法成立的是 （ ）
A． B．
C． 的最小值为1 D．
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中13题第一个空2分，第二个空3分）
11.已知 则 的最大值是________.
12.若命题 为真命题，则实数 的取值范围是_____________.
13．若不等式 的解集是 ,则 ________，不等式
的解集是________.
14.做一个体积为64 m3，高为4m的长方体纸盒，则它底面周长的最小值为_______m.
四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤.）
15.设 ，求 的取值范围.
16.已知
（1）求 的最小值并说明取得最小值时 满足的条件.
（2） , 恒成立，求 的取值范围.17.如图，在一面墙的同侧，用彩带围成四个大小相同的矩形区域，若围成四个区域的
彩带总长度为96 m，若要使四个区域的总面积最大，则每个区域的长和宽分别是
多少米？求四个区域总面积的最大值.
(第17题)
第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试 B 卷参考答案一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求)
1.B.解析： 当 时 ,但无法判断 的正负,所以无法确定 与
的大小关系,所以排除A、C两选项；B选项中由于 则 ,当 时
成立,B正确；D选项中 ,由于无法判断 的正负，因此得不到
的结论. 故选B.
2.B.解析： 则 ,要求 的最小值,由于加号左右的两项均为正数，不妨
构造乘积为定值的形式利用基本不等式求其最小值.
由于 , ,则 ,当且仅当 时等号成
立,因此 ,当且仅当 时等号成立,所以 的最小值
为3. 故选B.
3.C.解析：
方法一：不等式 的解集为R,则函数 的图象始终在 轴的上
方,则一元二次方程 没有实数根,所以 即
,解得 ,故选C
方法二：不等式 的解集为R,也就是说 对于任意 恒成立,则函数 时函数 的最小值 满足 ,
解得 ,故选C.
方法指导：利用一元二次函数的图象,运用数形结合的思想是解决一元二次不等式问题
的常见思路;将一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题是常见的解题策
略，即若 恒成立则只需 ,这一结论是解决这类问题的
关键,也是解决恒成立问题的总的思考方向.
4.B.解析： , ,设函数 ,该函数的最大值为
,则 . ,当 时 所以
,当且仅当 即 时等号成立,所以 ,
当且仅当 时等号成立,所以 , ,所以 的最小值为 ,故选B.
5.C. 分析：要找“ ”的充分不必要条件, 则设该条件为 ,则条件 满足
, ,在四个选项中找出同时满足这两个条件的选项即可.
解析：A选项中 时, 和 可能满足 ,不能推出 ,充分性不
成立所以选项A错误；B选项中 时, ,也不能推出 ,
所以选项B错误；C选项中 时, 则 即 , 因此充分性成立,当 时,由于无法确定 和 的正负,所以无法推出 ,
所以 是 的充分不必要条件,符合题意. D选项中 时 ,
,由于无法确定 的正负, 不能推出 ,所以选项D错误.综上所述
选C.
6.B. 分析： ，不等式 有解,由于有 的限制条件,如果移项运用二
次函数求解必须讨论参数 的取值范围,这样会带来很多麻烦,观察不等式的特征及
已知条件不妨将不等式两边同时除以 构造基本不等式的形式.
解析： ,不等式 有解,则 即 有解,设 ,
时 所以 ,当且仅当 时等号成立,即 时
的最小值为 ,已知 且 有解,则 即 ,故
选B.
7.D. 分析：本道题考查学生对已知中给出新定义的理解能力,对新定义的本质理解清
楚后,即可将所学知识与新定义有机结合解决问题.
解析：在 上定义运算“＊”： ＊ 则 ＊
. ＊ 时 ,即 ,解得 ,所以满足 ＊
的实数 的取值范围为 ,故选D.
二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0
分)
8.ABC.思路：不等式 的解集为 ,由于不清楚参数 的取值范围,即不清
楚参数 是否为 ,因此不确定该不等式是否为一元二次不等式,因此可以对参数参
数 是否为 进行分类讨论.
解析：不等式 的解集为 .
① 当参数 时原不等式化为 ,满足解集为 ,符合题意,答案A正确.
② 当参数 时一元二次不等式 的解集为 ,则 恒成
立,则二次函数 的图象开口向上,且图象与 轴最多有一个交点,则
解得 ,答案BC正确.
综上所述正确答案是ABC.
9.AD.解析：方程 的解为 , ,所以不等式 的解集为
,因此A选项的说法不正确；当 时 则符合
基本不等式的条件,因此 ,因此B选项的说法正确；当 时
, 则 ,当且仅当 ,即 时等号成立, ,因此 ,所以当且仅当 时 有最大值为-2,
因此C选项的说法正确；D．当 时,由于 则 ,
当 时,说明 , 所以 , 所以 是
的必要不充分条件,因此D选项的说法不正确.题目中要求选说法不正
确的选项,因此选择AD.
10.BD 解析：
所以 ,
因 此 A 选 项 的 说 法 不 成 立 ； 由 于 则 , , 所 以
,即 ,当且仅当
, , 时等号成立,但是 无解,所以不能说明
的最小值为 1,因此 B 选项的说法正确, C 选项的说法不正确；当
时基本不等式 成立，所以 ，因此 D选项的说
法正确.综上所述正确答案为BD. 注意：加强对基本不等式的理解,明确利用基本
不等式求最大（小）值时的条件.三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中13题第一个空2分，第
二个空3分）
11.4
分析：已知 求 的最大值,由于 可知
,所以如果 为常数,则可利用基本不等式求解
的最大值,由 可知 ,因此可以尝试利用基本
不等式求解,特别要注意基本不等式求最大（小）值的条件.
解析：由于 可知 ,由 可知
所以 ,当且仅当 即 且 时
取得最大值4.（注意基本不等式的变形表达式 当且仅当
时等号成立）.
12.
分析：若命题 为真命题,则不等式 的解集为 ,
由于不清楚参数 的取值范围,即不清楚参数 是否为 ,因此不确定该不等式是否
为一元二次不等式,因此可以对参数参数 是否为 进行分类讨论.
解析：命题 为真命题,则不等式 的解集为
① 时当不等式 化为 ,解集为 ,不符合题意；② 当 时一元二次不等式 的解集为
说明二次函数 的图象开口向上,且图象与 轴没有交点,即一元二次方程
没有实数根,所以 解得 .
综上所述实数 的取值范围是
13. 第一空： ,第二空：
解析：不等式 的解集是 ,所以方程 是一元
二次方程,且有两个根 , ,因此 且 ,解得 ,
所以 ；由于 , ,解不等式 即 ,由于一元二
次方程 的解为 , ,因此 的解集为 .
14.16
分析：长方体体积等于底面积与高的乘积,题目中给出了体积和高的值,底面周长和底
面积均可用长方体的长和宽表示,因此可以利用长方体的长和宽搭建等量关系,从而
解决问题.
解析：设长方体底面的长和宽分别为 m和 m. 长方体体积为64 m3,高为4m,则有
即 , ,长方体底面周长为 m. 由于 ,
当且仅当 时等号成立,所以 ,即当且仅当 时长方体底面周
长取得最小值, 最小值为 m.且 和 的算术平均数是 ， 和 的几何平均数是 ，因此“
和 的算术平均数不小于它们的几何平均数”的符号表达式为 ；由
变形可知 ,当且仅当 时等号成立, ,
,所以当且仅当 时 的最大值16.
四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤.）
15.解： ,则不等式 有实数解.
① 当 时当不等式 化为 ,解集为 ,符合题意,此时
；
② 当 时,二次函数 的图象开口向上, 因为一元二次不等式
有解,则二次函数 的图象与 轴有两个交点,一元二次
方程 有两个不相等的实数根,因此有 解得 ,
此时 ；③ 当 时, 二次函数 的图象开口向下, 则不等式 有
实数解,符合题意, 此时 .
综上所述 的取值范围是 ，即 的取值范围是 .
方法指导：不等式 有实数解,由于不清楚参数 的取值范围,即不清楚参
数 是否为 ,因此不确定该不等式是否为一元二次不等式,因此可以对参数参数
是否为 进行分类讨论,注意同时满足的条件分别求出各自参数取值集合,然后取交
集,不同情况均满足时取几种情况的并集.
16. 解：（1） ,则 ,
,
当且仅当 即 时等号成立,所以
因此 有最小值 ,当 满足 时取得最小值.
（2）设函数 则 ,因为 则 ,所以
当且仅当 即 时等号成立,所以当 时 有最小值 .
, 恒成立,则 ,所以 的取值范围为 .方法指导： ,求 的最小值,由于 为固定常数,则考虑
“1代换法”构造基本不等式的形式. , 恒成立, 要求 的
取值 范围,则可设函数 ,则 小于或等于函数的最小值 ,因此可
以通过求 函数 的最小值,进而得到 的取值范围.
17. 解：设每个区域矩形的长和宽分别是 m和 m ,四个区域的总面积为 m2.
,若围成四个区域的彩带总长度为96 m,则 ,由于 则
,所以 ,当且仅当 时等号成
立, , 384,当且仅当 即 时四个区
域总面
积 有最大值384 m2.
方法指导：求实际问题中最值的一般思路
（1）先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式,注意变量的取值范围；（2）
把实际问题抽象成求函数最大值或最小值问题.（3）在定义域内求函数的最大值或
最小值,一般考虑应用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时则考虑其
他方法.
