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第八章 立体几何初步
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个
选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】
设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由 得 ，而 ，
即 ，所以 ，圆锥的底面直径为4
故选：D
2．如图， 是水平放置的 的直观图，则 中 边上的高等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
[详解】
由题意可知， ，且 ，即OA边上的高为4.
故选：A.
3．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋
融化后正好盛满杯子，则杯子的高 （ ）A．9cm B．6cm C．3cm D．4.5cm
【答案】A
【详解】
由题意可得， ，解得 ．故选：A．
4．已知两条直线 及两个平面 ，以下说法中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】C
【详解】
对于A， ， ，则 可能平行、相交、异面，故错误；
对于B， ， ，则 在平面内或 ，故错误；
对于C，由 ， ，可得 ，又 ，所以 ，故正确；
对于D，由C可知 ，得不到 ，故错误.
故选：C
5．已知正方体 外接球的表面积为 ，正方体 外接球的表面积为 ，若这两个正方体的
所有棱长之和为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：设正方体 的棱长为 ，正方体 的棱长为 ．
因为 ，所以 ，则
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故当 时， 取得最小值，且最小值为 ．
故选：B
6．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆
形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为 ，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为轴截面的顶角为 ，所以底角 ，
在 中，依题意，
该圆形攒尖的底面圆半径 ，高 ，
则 ( )，
所以该屋顶的体积约为 .
故选：B.
7．如图，圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 ， 则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
圆锥底面周长为 ，又其侧面展开图为半圆，则圆锥母线长
直角三角形 中， ， , ，则
分别取 、 、 的中点M、N、P，连接 、 、 、 、
又由O为 中点，则 ， ，
则 为异面直线 与 所成角或其补角.
由 ，可知 平面 ，则
在△ 中， , ， ，则
在△ 中， ， ，则
则异面直线 与 所成角的余弦值为
故选：C
8．在直三棱柱 中， ，则三棱柱
外接球体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
在直三棱柱 中，因 ，即 ，则 ，
于是得 ，将其补形成棱长为2的正方体 ，如图，
则直三棱柱 的外接球即为棱长为2的正方体 的外接球，
球半径 ，因此， ，
所以三棱柱 外接球体积等于 .
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个
选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为
【答案】ABD【详解】
设 为等边三角形 的中心， 为 的中点，连接 ，
则 为正三棱锥的高， 为斜高，
又 ， ，故 ,
故AB正确.
而正三棱锥的体积为 ，侧面积为 ，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
10．已知 是两个不同平面， 是两条不同直线，则下述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 是异面直线，则 与 相交
D．若 ，则
【答案】BD
【详解】
解：对于A选项，当 ， 与 相交时， ，故错误；
对于B选项，线面垂直与线面平行性质知当 ，则 ，正确；
对于C选项，若 是异面直线，则 与 相交或 ，故错误；
对于D选项，根据线面垂直的判定定理得：若 ，则 ，故正确.
故选：BD
11．如图，已知正方体 的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB， 的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为2
B．
C．异面直线EF与 所成角的余弦值为
D．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
【答案】BD
【详解】
选项A： .判断错误；
选项B：连接 、 .正方体 中，
，则 面 ，又 平面
故 .判断正确；
选项C：连接 .
由E，F分别为AD，AB的中点，可知 .
则 为异面直线EF与 所成角或其补角，又由 为等边三角形可知，，则异面直线EF与 所成角大小为 ， .判断错误；
选项D：正方体 中，由E，F，G分别为AD，AB， 的中点，
可知 ，则梯形 即为过点E，F，G的正方体的截面.
梯形 中，上底 ，下底 ，腰 ，
则梯形 的高为 ，
故 .判断正确.
故选：BD
12．如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分
别为A，B，且 ，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直
线PQ与AB所成的角 ，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（ ）
A．PQ的长度为定值
B．三棱锥 的外接球的半径长为定值
C．三棱锥 的体积为定值
D．点M到AB的距离为定值
【答案】ABD
【详解】
如图，将图形还原为长方体 ，因为 ，所以 （易知其为锐角）是PQ与AB所成的角，即 ，易知
，则 .A正确；
对B，易知三棱锥 的外接球与长方体 的外接球相同，则其直径为
4，半径为2.B正确；
对C，
，不为定值.C错误；
对D，设 交于R，则R为CQ的中点，连接MR，取AB的中点N，连接MN，又因
为M为PQ的中点，所以 ，而 ，故
，所以四边形RBNM是平行四边形，则 ，因为
，则 .
因为AB⊥平面BCDQ， 平面BCDQ，所以 ，则 ，所以点M到AB
的距离为1.D正确.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．半径为 的球的表面积为_______ ．
【答案】 .
【详解】
由题意 .
故答案为： ．
14．已知球面上的三点A，B，C满足 ， ， ，球心到平面ABC的距离
为 ，则球的表面积为______．【答案】
【详解】
由题意， ， ， ，则 ，可知 ，
所以 外接圆的半径为 ，
因为球心到平面 的距离为 ，
所以球的半径为： ，
所以球的表面积为： .
故答案为： .
15．我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即夹在两
个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面
积都相等，则这两个几何体的体积相等．在数学上运用祖暅原理推导球的体积公式时，构
造了一个底面半径与高都为 的圆柱内挖掉一个等高的圆锥的几何体（如图所示），则该
几何体的体积为___________
【答案】
【详解】
圆柱的体积为 ，圆锥的体积为 ，
所以所求的几何体的体积为 .
故答案为： .
16．已知 为正方体 表面上的一个动点， ， 是棱 延长线上
的一点，且 ，若 ，则动点 运动轨迹的长为___________.
【答案】
【详解】
因为 ， 是棱 延长线上的一点，且 ，所以 ，
由勾股定理，可知 ，
因为 ，所以点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球与正方体表面的交线，如下如所示：
所以动点 运动轨迹在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为半径的圆弧，
其中该圆弧所对圆心角为 ；在平面 上的交的弧线是以 为圆心， 为
半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为 ；在平面 上的交的弧线是以 为圆心，
为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为 ；
所以动点 运动轨迹的长为 .
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．如图在三棱锥 中， ， ， ，D为棱AB上
一点， ，棱AC的中点E在平面PAB上的投影F在线段PD上．
（1）证明： 平面PDE；
（2）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明：取AB的中点M，连结CM．因为 ，
所以 ．又因为 ， ，所以 ．故 ．又点E在平面PAB上的投影F在线段PD上，
则 平面PAB，所以 ．又 ，
DE， 平面PDE，所以 平面PDE．
（2）由（1）知 平面PDE， 平面PDE，所以 ．
因为 ，E为AC的中点，所以 ．
又 ，AB， 平面ABC，所以 平面ABC．
又因为 平面ABC，所以 ．因为 ，
，所以 ， ．
又因为 ， ， ，所以 ，
．由（1）知 ， ，
所以 ， ．
由 ，所以 ，
所以 ．又因为 ，
所以 ．
18．如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ，侧棱 ，底面
是直角梯形，其中 是 上一点.
（1）若 平面 ，求 ；
（2）求证：平面 平面 .【答案】（1）解：因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面
，
所以 ，
又 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 ，所以 ，即 ．
（2）证明：因为平面 平面 ， 底面 ，面 面 ，
且 ，所以 平面 ，则 ，
又 ，且 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
19．如图，在四棱锥 中， 平面 ，
是等边三角形.
（1）证明：平面 平面 .
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明：设 ，因为 是等边三角形，且 ，
所以 是 的中点，则 .
又 ，所以 ，所以 ，
即 .
又 平面 平面 ，
所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：因为 ，所以 .
在 中， ，所以 ，则
又 平面 ，所以 .
如图，连接 ，则 ，
所以 .
设点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为 .
20．如图，在三棱锥 中， ， ， ， 平面 ， 是
的中点， 是 的中点.
（1）求证： ；
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，若四棱锥 的体积为2，求 的长.
【答案】（1）证明：因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为在 中， 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，所以 .
（2）解：在 和 中，
， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以四边形 的面积
取 的中点 ，连接 ，
在 中， 分别为 的中点，
所以 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，又因为 平面 ， ，
所以 平面 ，
所以 为四棱锥 的高，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的长为 .
21．如图，在 中， ，斜边 ，现将 绕AC旋转一周
得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点， 为圆锥底
面圆周上异于B，D的一点．（1）求内切球O的体积；
（2）求证： 平面 ．
【答案】（1）在 中， ，斜边 ，
所以 ， 为等边三角形，
球O的半径即为等边 内切圆的半径，即为OP．
所以 ，
．
（2）由切线长相等可知 ，由（1）可知 ，
所以 ，所以P为DC中点，又因为A为DB中点，所以
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
22．如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ， 分别是 ， 的中点，
且 ， ．
（1）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．【答案】（1）解：假设在线段 上存在点 ，使得 平面 ，
连接 ，取 中点 ，连接 ，则 ,
连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 平面 .
在 中，设 ，则
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
， .
（2）
解：由于 是 的中点，且 ，
可知 为直角三角形， ，
因为 ，则 为等腰直角三角形，CE⊥BD，
平面 平面 ， 平面 ， .
设 ，则 ， ， ，
所以 是等腰三角形， ,
由 ，可知DF= .
平面 ， 平面 平面 ，
过点 作 交延长线于点 ， ， ，
则 平面 ，
连接 ，则 即为直线 与平面 所成的角
在 中， ， ， .
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
