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第二章 一元二次函数、方程和不等式同步测试卷
一、单选题
1．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D．
2．函数 取得最小值时的自变量x等于（ ）
A． B． C．1 D．3
3．已知不等式 解集为 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知P＝a2＋ (a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
5．当0<x<1时， 最小值为（ ）
A．0 B．9 C．10 D．12
6．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知a，b为正实数，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知a<0且关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x<x<x}，则x＋x＋ 最大
1 2 1 2
值是（ ）
试卷第1页，共3页A．－ B．－ C． D．
二、多选题
9．已知关于 的不等式 ，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确
的是（ ）
A．不等式 的解集可以是
B．不等式 的解集可以是
C．不等式 的解集可以是
D．不等式 的解集可以是
10．已知 且 ，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．存在实数a，使得不等式 成
立
C．若a>b>0，m>0，则 D．若a<b<c，且a+b+c=0则ac<bc
12．关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值
可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
三、填空题
13．已知 ，则 ___________ .（用“>”或“<”填空）
14．若关于x的不等式 （ ）的解集为 ，且
试卷第2页，共3页，则a的值为___________.
15．已知x>0，y>0，且 ，则x+2y的最小值为___________．
16．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为___________.
四、解答题
17．解下列不等式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
18．（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q
的大小．
19．（1）已知 ， ，且 ，求 的最大值；
（2）若 ， ，且 ，求 的最小值.
20．（1）求函数 的最小值；
（2）已知 且 ，求x＋y的最小值．
21．（1）k是什么实数时，方程 有两个不相等的实数根？
（2）已知不等式 对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.
22．（1）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，求实数m的取值范
围；
（2）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，求实数m的取值范围．
试卷第3页，共3页第二章 一元二次函数、方程和不等式同步测试卷答案
1．B
【分析】
将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.
【详解】
解：∵ ，∴
∴ ，即 ，∴ ，解得
故选：B
2．A
【分析】
根据基本不等式确定函数 取得最小值时的自变量x的值.
【详解】
函数 ，且 ，可得 ，当且仅当 ，即
时，取得最小值 ．
故选：A．
3．C
【分析】
根据不等式 解集为 ，得方程 的解为 或 ，
且 ，利用韦达定理即可将 用 表示，即可判断各选项的正误.
【详解】
解：因为不等式 解集为 ，
答案第1页，共2页所以方程 的解为 或 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故ABD错误；
，故C正确.
故选：C.
4．C
【分析】
由基本不等式可得 ，通过配方结合 可得 即可选得答案.
【详解】
，当且仅当 时等号成立，
，当 时等号成立，
所以 .
故选：C
5．B
【分析】
利用基本不等式求解.
【详解】
因为0<x<1，则0<1-x<1，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为9，
故选：B.
答案第2页，共2页6．B
【分析】
由 得 ，再根据充分必要条件的概念即可得答案.
【详解】
由 得 ，
因为 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
7．C
【分析】
根据题意可得 ，由 ，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立．
故选：C．
8．A
【分析】
根据关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x<x<x}，由韦达定理得到
1 2
，进而得到x＋x＋ ，利用基本不等式求解.
1 2
【详解】
因为关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0解集为{x|x<x<x}，
1 2
所以 ，
又因为a<0，
答案第3页，共2页所以x＋x＋ ，
1 2
当且仅当 ，即 ，等号成立，
故选：A
9．BD
【分析】
选项A先假设结论成立，再得到不等式为 并求解，最后与解集产生矛盾判断选项
A错误；选项B当 ， 时，不等式 恒成立，判断选项B正确；选项C当
时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得 ，符合
题意，判断选项D正确；
【详解】
解：选项A：假设结论成立，则 ，解得 ，则不等式为 ，解得
，与解集是 矛盾，故选项A错误；
选项B：当 ， 时，不等式 恒成立，则解集是 ，故选项B正确；
选项C：当 时，不等式 ，则解集不可能为 ，故选项C错误；
选项D：假设结论成立，则 ，解得 ，符合题意，故选项D正确；
故选：BD
10．BC
【分析】
AD选项结合均值不等式即可判断；BC选项结合二次函数的最值问题即可分析.
答案第4页，共2页【详解】
A．因为 ，且 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，故A错误，
B． ，当且仅当 时，等号成立，
故B正确，
C．
，当且仅当 时，等号成立，因此 ，故C正
确，
D． ，当且仅当 ，即
时，等号成立，故D错误；
故选：BC.
11．BCD
【分析】
利用特例可判断AB，利用作差法可判断C，利用不等式的性质可判断D，即得.
【详解】
若 ，可知 ，故A错误；
当 时， ，故存在实数a，使得不等式 成立，故B正确；
∵a>b>0，m>0，∴ ,即 ，故C正确；
∵a<b<c，且a+b+c=0，∴ 即 ，∴ac<bc，故D正确.
答案第5页，共2页故选：BCD
12．ABC
【分析】
利用二次函数的对称性确定原不等式的三个整数解即可计算作答.
【详解】
函数f(x)= x2-6x+a的图象对称轴为x=3，即在x=3时函数f(x)取得最小值，
依题意，不等式f(x)≤0的解集中有且仅有3个整数，则这三个整数必为2，3，4，
即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得 ，解得 ，
而a∈Z，则a=6或a=7或a=8，
所以a的取值可以是6或7或8.
故选：ABC
13．>
【分析】
利用作差法即得.
【详解】
∵ ，
∴ > .
故答案为：>
14．
【分析】
根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求
出a的值.
【详解】
解：关于x的不等式 （ ）的解集为 ，
所以 ， 是一元二次方程 的实数根，
所以 ，且 ， .
答案第6页，共2页又因为 ，
所以 ，
又 ，解得 .
故答案为： .
15．
【分析】
利用“乘1法”即求.
【详解】
， 且 ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，
故答案为：
16． ##
【分析】
由条件 可得 且 ，利用基本不等式求解即可
【详解】
由 得 ，
又 ， 为正实数，所以 ，得 ，
则 ，
，
答案第7页，共2页当且仅当 ,即 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
17．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6）
【分析】
利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
（1） ，
所以不等式的解集为 .
（2） 或 ，
所以不等式的解集为 .
（3） ，
解得 ，
所以不等式的解集为 .
（4） ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
（5）
答案第8页，共2页，
解得 ，所以不等式的解集为 .
（6） ，
方程 ， ，
二次函数 开口向上，
所以不等式 的解集为 .
18．（1）3x3≤3x2－x＋1；（2）p>q.
【分析】
（1）作差法可得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1)，结合x≤1，即得解；
（2）由题意可证明a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac，三个不等式叠加，即得解
【详解】
（1） 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0，
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
即3x3≤3x2－x＋1.
（2） 因为a， b， c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，
即a2＋b2>2ab.
同理b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac.
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.
19．（1） ；（2）4.
【分析】
（1）由基本不等式即可求解；（2）由已知得 ，根据基本不等式即
可求解.
【详解】
答案第9页，共2页（1）因为 ， ，且 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，
故 的最大值为 .
（2）因为 ， ，且 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4.
20．（1）5；（2）16．
【分析】
（1）构造 ，利用均值不等式，即得解
（2）构造 ，利用均值不等式，即得解
【详解】
（1） ，
又 ，
．
当且仅当 ，即x＝4时，y有最小值5.
答案第10页，共2页（2） ，
，
当且仅当 ，又 ，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时， ．
21．（1） ；（2） 或 .
【分析】
结合二次不等式和二次函数之间的关系得出关于 的不等式，从而求出 的范围.
【详解】
（1）方程 有两个不相等的实数根，即 ，
则有 ，
即 ，
，即 ，解得 ；
（2）不等式 对一切实数x恒成立，
即 ，那么 ，那么 ，即 或 .
22．（1）{m|m＜－1}；（2）{m|m＜5}．
【分析】
先参变分离，转化为m＜x2－3x＋1，（1）恒成立问题，只需m小于函数y＝x2－3x＋1的
最小值；（2）有解问题，只需m小于函数y＝ x2－3x＋1的最大值.
【详解】
解 （1） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，
即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上恒成立．
答案第11页，共2页令y＝x2－3x＋1＝ ，
则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，
所以y ＝12－3×1＋1＝－1，
min
所以实数m的取值范围是{m|m＜－1}．
（2） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，
即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上有解．
令y＝x2－3x＋1＝ ，
则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，
所以y ＝(－1)2－3×(－1)＋1＝5，
max
所以实数m的取值范围是{m|m＜5}．
答案第12页，共2页答案第13页，共2页
