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第二章 一元二次函数、方程和不等式同步测试卷
一、单选题
1．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D．
2．函数 取得最小值时的自变量x等于（ ）
A． B． C．1 D．3
3．已知不等式 解集为 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知P＝a2＋ (a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
5．当0b，则 B．存在实数a，使得不等式 成
立
C．若a>b>0，m>0，则 D．若a”或“<”填空）
14．若关于x的不等式 （ ）的解集为 ，且
试卷第2页，共3页，则a的值为___________.
15．已知x>0，y>0，且 ，则x+2y的最小值为___________．
16．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为___________.
四、解答题
17．解下列不等式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
18．（1）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，p＝a2＋b2＋c2，q＝ab＋bc＋ca，试比较p与q
的大小．
19．（1）已知 ， ，且 ，求 的最大值；
（2）若 ， ，且 ，求 的最小值.
20．（1）求函数 的最小值；
（2）已知 且 ，求x＋y的最小值．
21．（1）k是什么实数时，方程 有两个不相等的实数根？
（2）已知不等式 对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围.
22．（1）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，求实数m的取值范
围；
（2）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，求实数m的取值范围．
试卷第3页，共3页第二章 一元二次函数、方程和不等式同步测试卷答案
1．B
【分析】
将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.
【详解】
解：∵ ，∴
∴ ，即 ，∴ ，解得
故选：B
2．A
【分析】
根据基本不等式确定函数 取得最小值时的自变量x的值.
【详解】
函数 ，且 ，可得 ，当且仅当 ，即
时，取得最小值 ．
故选：A．
3．C
【分析】
根据不等式 解集为 ，得方程 的解为 或 ，
且 ，利用韦达定理即可将 用 表示，即可判断各选项的正误.
【详解】
解：因为不等式 解集为 ，
答案第1页，共2页所以方程 的解为 或 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故ABD错误；
，故C正确.
故选：C.
4．C
【分析】
由基本不等式可得 ，通过配方结合 可得 即可选得答案.
【详解】
，当且仅当 时等号成立，
，当 时等号成立，
所以 .
故选：C
5．B
【分析】
利用基本不等式求解.
【详解】
因为0b>0，m>0，∴ ,即 ，故C正确；
∵a
【分析】
利用作差法即得.
【详解】
∵ ，
∴ > .
故答案为：>
14．
【分析】
根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求
出a的值.
【详解】
解：关于x的不等式 （ ）的解集为 ，
所以 ， 是一元二次方程 的实数根，
所以 ，且 ， .
答案第6页，共2页又因为 ，
所以 ，
又 ，解得 .
故答案为： .
15．
【分析】
利用“乘1法”即求.
【详解】
， 且 ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，
故答案为：
16． ##
【分析】
由条件 可得 且 ，利用基本不等式求解即可
【详解】
由 得 ，
又 ， 为正实数，所以 ，得 ，
则 ，
，
答案第7页，共2页当且仅当 ,即 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
17．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
；（6）
【分析】
利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
（1） ，
所以不等式的解集为 .
（2） 或 ，
所以不等式的解集为 .
（3） ，
解得 ，
所以不等式的解集为 .
（4） ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
（5）
答案第8页，共2页，
解得 ，所以不等式的解集为 .
（6） ，
方程 ， ，
二次函数 开口向上，
所以不等式 的解集为 .
18．（1）3x3≤3x2－x＋1；（2）p>q.
【分析】
（1）作差法可得3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1)，结合x≤1，即得解；
（2）由题意可证明a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac，三个不等式叠加，即得解
【详解】
（1） 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0，
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
即3x3≤3x2－x＋1.
（2） 因为a， b， c互不相等，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，
即a2＋b2>2ab.
同理b2＋c2>2ac， a2＋c2>2ac.
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.
19．（1） ；（2）4.
【分析】
（1）由基本不等式即可求解；（2）由已知得 ，根据基本不等式即
可求解.
【详解】
答案第9页，共2页（1）因为 ， ，且 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
所以 ，
故 的最大值为 .
（2）因为 ， ，且 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4.
20．（1）5；（2）16．
【分析】
（1）构造 ，利用均值不等式，即得解
（2）构造 ，利用均值不等式，即得解
【详解】
（1） ，
又 ，
．
当且仅当 ，即x＝4时，y有最小值5.
答案第10页，共2页（2） ，
，
当且仅当 ，又 ，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时， ．
21．（1） ；（2） 或 .
【分析】
结合二次不等式和二次函数之间的关系得出关于 的不等式，从而求出 的范围.
【详解】
（1）方程 有两个不相等的实数根，即 ，
则有 ，
即 ，
，即 ，解得 ；
（2）不等式 对一切实数x恒成立，
即 ，那么 ，那么 ，即 或 .
22．（1）{m|m＜－1}；（2）{m|m＜5}．
【分析】
先参变分离，转化为m＜x2－3x＋1，（1）恒成立问题，只需m小于函数y＝x2－3x＋1的
最小值；（2）有解问题，只需m小于函数y＝ x2－3x＋1的最大值.
【详解】
解 （1） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，
即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上恒成立．
答案第11页，共2页令y＝x2－3x＋1＝ ，
则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，
所以y ＝12－3×1＋1＝－1，
min
所以实数m的取值范围是{m|m＜－1}．
（2） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，
即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上有解．
令y＝x2－3x＋1＝ ，
则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，
所以y ＝(－1)2－3×(－1)＋1＝5，
max
所以实数m的取值范围是{m|m＜5}．
答案第12页，共2页答案第13页，共2页
