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高一上册数学期末模拟卷Ⅲ
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
【分析】
将特称命题否定为全称命题即可
【详解】
因为命题 ： ， ，
所以 为 ， ，
故选：B
2．设集合 ，则 的子集共有
（ ）
A．15个 B．16个 C．31个 D．32个
【答案】B
【解析】
【分析】
分别解出 集合，即可求出 ，则可求出答案.
【详解】
由题意得， ， 或 .
所以 ，
所以 的子集共有 个.
故选：B.3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知结合和的正弦公式和辅助角公式即可求出.
【详解】
因为 ，即 ，
即 ，即 ，所以 .
故选：D.
4．已知 是定义在R上的奇函数，且满足 ，当 时，
，若 ，则 （ ）
A．－8 B．－4 C．0 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
结合条件证得 的周期为8，即可求出结果.
【详解】
因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 的周期为8，
所以 ，故 ．
故选：B.
5．不等式 的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分 、 两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数 的不等式组，综
合可得出实数 的取值范围.
【详解】
关于 的不等式 的解集为 .
当 时，即当 时，则有 恒成立，符合题意；
②当 时，则有 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
6．在同一直角坐标系中，函数 ，且 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】讨论 时和 时，函数 的图象增减即可判断出可能的图象，即得
答案.
【详解】
当 时， 为指数函数，且递减，
为幂函数，且在 时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，
B正确；
当 时， 为指数函数，且递增，
为幂函数，且在 时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,
故选：B
7．已知函数 的一条对称轴为 ， ，且
函数 在区间 上具有单调性，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简,对称轴为 ,求出a和 ，得到解析式.由 ，
且函数 在区间 上具有单调性，,可得 与 关于对称中心对称,即可求解
的最小值.
【详解】
函数 ，其中 .
因为函数 的一条对称轴为 ，所以 ，解得： ，所以 .
对称中心横坐标满足 可得： .
又 ，且函数 在区间 上具有单调性，
所以 .
所以当k=1时,可得 最小.
故选：D.
8．设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6
个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由 最多有2个根，可得 至少有4个根，分
别讨论当 和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】
最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2
个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零点个数
情况.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
直接使用基本不等式可判断ACD；根据 ，使用基本不等式可判断B.
【详解】A中，因为 ，由基本不等式可知 成立；
B中，因为 ，所以 ，所以 ，所以 成立；
C中，因为 ，由基本不等式可知 成立；
D中，因为 ，由基本不等式可得 成立.
故选：ABCD
10．已知正实数x，y，z满足 ，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
在同一坐标系中画出 （ ）的图象，并画出直线 的图象，
根据图象可判断 的大小
【详解】
在同一坐标系中画出 （ ）的图象，如图所示
的关系有四种情况 ： ，
所以AB正确，
的关系有四种情况： ，所以CD正确，
故选：ABCD
11．已知函数 的最小正周期为 ， 图象的一
个对称中心为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用二倍角公式公式将函数化简，根据函数的周期求出 ，再根据函数的对称性求出
.
【详解】
解：因为 ，
所以 ，解得 ，即 .
又因为 图象的一个对称中心为 ，
所以 ，
所以 ， ，得 ， .
因为 ，所以 ， .
故选：BC
12．已知符号函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 是奇函数B．函数 是奇函数
C．函数 的值域为
D．函数 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】
由符号函数性质对选项逐一判断
【详解】
对于A，由题意 的图象关于原点对称，是奇函数，故A正确，
对于B，因为 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 不是奇函数，故B错误；
对于C，D，因为当 时， ， 时， ， 时
，所以函数的值域为 ．故C正确，D错误
故选：AC
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数 的零点是___．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据零点定义解方程可得.
【详解】
由 得 ，解得 ，即 的零点为8.
故答案为：8
14．把函数 的图像先向右平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得到的图像对应的函数解析式记为
，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式，结合余弦型函数的图像变换性质，运用代入法进行求解即可.
【详解】
，
由题意可知： ，
所以 ，
故答案为：
15．若函数 的值域为 的子集，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，对定义域内任意实数 ，使得 恒成立，由此进行讨论分析可求 的取
值范围．
【详解】
解： 解析式要有意义，有 ；
①当 时， 定义域为 ， ，此时 的值域为 满足
值域为 的子集；
②当 时， 定义域为 ， 则所以 ，满足值域为 的子集；
③当 时，在 略大于 时，有 ，不符合题意；
④当 时，有 在 ， 上恒成立，
在 ， 上恒成立，要使 的值域为 的子集，
，
．
综上可得：实数 的取值范围是 .
故答案为： .
16．已知非负实数 ， 满足 ，则 的最小值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
将 变形为 ，再借助“1”的妙用求解作答.
【详解】
非负实数 ， 满足 ，有 ，
则
，当且仅当 ，即
时取“=”，
由 ， 得 ，所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤
17．设 ，已知函数过点 ，且函数的对称轴为 .
(1)求函数的表达式；
(2)若 ，函数的最大值为 ，最小值为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
根据函数过点 及二次函数的对称轴，得到方程组，解得 、 即可求出函数解析
式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
(1)
解：依题意 ，解得 ，所以 ；
(2)
解：由（1）可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ， ，
即 、 ，所以 .
18．已知集合： ；集合 （m为常数）．(1)定义 且 ，当 时，求 ；
(2)设命题 ，命题 ，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)求出集合A，B再由定义求A-B即可；
(2)由题意可解得 ，又由因为若p是q成立的必要不充分条件，得 ，
求解即可.
(1)
解：因为 ，若 ，即 时， 即 ，解得 ；若
，则 ，无解，所以 的解集为 ．
故 ．由 可得 即 ，解得 ，
故 ，
则 ．
(2)
由 ，即 ，
解得 ．
因为p是q成立的必要不充分条件，所以 ，所以 或 ，
解得 ，
故m的取值范围为 ．19．已知函数 的部分图像如图所示.
(1)求 的解析式及对称中心；
(2)先将 的图像纵坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位后得到 的图
像，求函数 在 上的单调减区间和最值.
【答案】(1) ，对称中心为 ， ．
(2)单调递减区间为 ； ， ．
【解析】
【分析】
（1）由函数的图像的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可
得 的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．
（2）由题意利用函数 的图像变换规律，求得 的解析式，再利用余
弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．
(1)
解：根据函数 ， ， 的部分图像，
可得 ， ， ．
再根据五点法作图， ， ，故有 ．根据图像可得， 是 的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为 ， ．
(2)
解：先将 的图像纵坐标缩短到原来的 ，可得 的图像，
再向右平移 个单位，得到 的图像，
即 ，
令 ， ，解得 ， ，
可得 的减区间为 ， ，
结合 ，可得 在 上的单调递减区间为 ．
又 ，故当 ， 时， 取得最大值，即 ；
当 ， 时， 取得最小值，即 ．
20．某单位决定投资64000元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙
不花钱，正面用铁栅，每米长造价800元；两侧墙砌砖，每米长造价900元；顶部每
平方米造价400元.设铁栅长为 米，一堵砖墙长为 米.假设该笔投资恰好全部用完.
(1)写出 关于 的表达式；
(2)求出仓库顶部面积 的最大允许值是多少？为使 达到最大，那么正面铁栅应设计为
多长？
【答案】(1)
(2)最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米
【解析】
【分析】
（1）根据总投资额列出等式，化简即可得到出y关于 的表达式;
（2）列出仓库顶部面积 的表达式，进行变形，利用基本不等式求得其最大值，可得答案.
(1)
因为铁栅长为 米，一堵砖墙长为 米，所以由题意可得
，即 ，解得 ，
由于 且 ，可得 ，
所以 关于 的表达式为 ；
(2)
,
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
因此，仓库面积 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.
21．已知函数
(1)求 的值；
(2)从① ， ；② ， 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条
件，求函数 在区间 上的最小值，并直接写出函数 的一个周期.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)2
(2)选①，最小值为 ， .选②，最小值为 ，周期为
【解析】
【分析】（1）直接将 代入即可得解；
（2）选①，利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可得出答案.
选②，根据平方关系可得 ，求出 的范围，
再根据二次函数的性质即可求得最值，根据三角函数的周期性即可求出函数的一个周
期.
(1)
解： ;
(2)
解：选①，由 ， ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
.
选②，由 ， ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，
因为 ，
所以函数 的周期可以为 .22．已知函数 为奇函数．
(1)求常数k的值；
(2)当 时，判断 的单调性，并用定义给出证明；
(3)若函数 ，且 在区间 上没有零点，求实数m的取值范
围．
【答案】(1) ；
(2) 单调递增，证明见解析；
(3) .
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；
（2）令 ，结合对数函数的性质判断 的大小关系即可.
（3）将问题转化为 在区间 上无解，根据右侧函数的单调性求
值域，即可确定m的范围.
(1)
由 ，即 ，
所以 ，故 ，则 ，
当 时， 显然不成立，经验证： 符合题意；
所以 ；
(2)
单调递增，证明如下：
由（1）知： ，若 ，
则 ，而 ，即 ，
所以 ，故 单调递增.
(3)
由 ，令 ，
所以 ，由（2）知： 在 上递增，而 在 上递减，
所以 在 上递减，则 .
又 在区间 上无解，故
