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◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎
1
1．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3- ，则f（x）（ ）
x3
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
【答案】A
1 1
【解析】因为f（x）＝x3- ，则f（﹣x）＝﹣x3+ =- f（x），即f（x）为奇函数，
x3 x3
1 1
根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y = 在（0，+∞）为减函数，y =-
1 x3 2 x3
1
在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3- 单调递增，故选：A．
x3
4x
2．（2020•天津）函数y = 的图象大致为（ ）
x2+1
A． B．
C． D．
【答案】A
4x
【解析】函数y = 的定义域为实数集R，关于原点对称，
x2+14x 4x
函数y＝f（x）= ，则f（﹣x）=- =- f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，
x2+1 x2+1
D，
当x＞0是，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．
3．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf
（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
【答案】D
【解析】∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如
图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，{ x＞0 )
此时 ，此时1＜x≤3，
0＜x-1≤2
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，
{ x＜0 )
即 ，得﹣1≤x＜0，
-2≤x-1＜0
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．
4．（2018•新课标Ⅱ）已知 f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足 f（1﹣x）＝f
（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．
5．（2020•海东市模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递
增，若f（2）＝3，则满足f（x+1）＜3的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，1） D．（﹣3，1）【答案】D
【解析】因为f（x）是偶函数，所以f（﹣2）＝f（2）＝3，
因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（x+1）＜3等价于﹣2＜x+1＜2，
解得﹣3＜x＜1，即满足条件的x的取值范围是（﹣3，1）．故选：D．
6．（2020•安庆模拟）已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）＝2，则f
（2019）+f（2020）＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】根据题意，函数f（x）为奇函数，则﹣f（x）＝f（﹣x），
又由f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（2+x）＝f（﹣
x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x）即函数的周期为4，且f（1）＝2，
则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2020）＝f（0）＝0，
则f（2019）+f（2020）＝﹣2故选：A．
7．（2020•益阳模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当x [﹣1，0]时，
∈
17
f（x）＝x（1﹣x），则f（ ）＝（ ）
2
3 3 1 1
A． B．- C． D．-
4 4 4 4
【答案】A
【解析】由f（2+x）＝﹣f（x）可得f（4+x）＝f（x），所以函数的周期T＝4，
1 3
当x [﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则f（- ）=- ，
2 4
∈
17 1 1 1 3
则f（ ）＝f（ +8）＝f（ ）＝﹣f（- ）= ．故选：A．
2 2 2 2 48．（2020•山西模拟）已知函数
{x2+4x，x≥0，)，f（x）＝xg（x），若f（2﹣a）＞f
g(x)=
4x-x2，x＜0
（2a），则实数a的取值范围是（ ）
2 2 2 2
A．(-1， ) B．(-2， ) C．(-∞， ) D．( ，+∞)
3 3 3 3
【答案】B
【解析】因为g（x）
=
{x2+4x，x≥0)
=
{ (x+2) 2-4，x≥0 )，
4x-x2，x＜0 -(x-2) 2+4，x＜0
由g（x）的解析式可知，g（x）在R上是奇函数且单调递增，f（x）＝xg（x）为偶函数，
当x＞0时，有g（x）＞g（0），
任取x ＞x ＞0，则g（x ）＞g（x ）＞0，由不等式的性质可得x g（x ）＞x g（x ）＞0，
1 2 1 2 1 1 2 2
即f（x ）＞f（x ）＞0，所以，函数f（x）在（0，+∞）上递增
1 2
2
再由f（2﹣a）＞f（2a），得|2﹣a|＞2|a|，即3a2+4a﹣4＜0，解得﹣2＜a＜ ．故选：B．
3
x-1
9．（2020•茂名二模）将函数f(x)= 的图象向左平移1个单位长度，得到函数g（x）的图
2x-x2
象，则函数g（x）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
x+1-1 x
【解析】g(x)=f(x+1)= =
．
2(x+1)-(x+1) 2 1-x2
因为g（x）＝﹣g（﹣x），所以g（x）为奇函数，排除A；g（x）有唯一的零点，排除C；1 2
g( )= ＞0，排除D，只有B符合条件．故选：B．
2 3
10．（2020•北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未
f(b)-f(a)
达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量 W与时间t的关系为W＝f（t），用- 的
b-a
大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放
量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
在[t ，t ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
1 2
①
在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
2
②
在t 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
3
③
甲企业在[0，t ]，[t ，t ]，[t ，t ]这三段时间中，在[0，t ]的污水治理能力最强．
1 1 2 2 3 1
④
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】
①②③
【解析】设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），乙企业的污水排放量W与时间t
的关系为W＝g（t）．
对于 ，在[t ，t ]这段时间内，甲企业的污水治理能力为 f(t )-f(t )，
1 2 - 2 1
t -t
2 1
①乙企业的污水治理能力为 g(t )-g(t )．
- 2 1
t -t
2 1
由图可知，f（t ）﹣f（t ）＞g（t ）﹣g（t ），∴ f(t )-f(t ) g(t )-g(t )，
1 2 1 2 - 2 1 ＞- 2 1
t -t t -t
2 1 2 1
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故 正确；
①
对于 ，由图可知，f（t）在t 时刻的切线的斜率小于g（t）在t 时刻的切线的斜率，但两切线斜
2 2
率均为②负值，
∴在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故 正确；
2
②
对于 ，在t 时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
3
③
∴在t 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故 正确；
3
③
对于 ，由图可知，甲企业在[0，t ]，[t ，t ]，[t ，t ]这三段时间中，在[t ，t ]的污水治理能力最
1 1 2 2 3 1 2
强，故④ 错误．
④
∴正确结论的序号是 ．
①②③
故答案为： ．
①②③
11．（2019•江苏）函数y 的定义域是 ．
=❑√7+6x-x2
【答案】[﹣1，7]
【解析】由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．
∴函数y 的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．
=❑√7+6x-x2
2
12．（2019•浙江）已知a R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤ ，则
3
∈ ∈
实数a的最大值是 ．
4
【答案】
32 2
【解析】存在t R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤ ，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|≤ ，
3 3
∈
2 2 2
化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|≤ ，可得- ≤2a（3t2+6t+4）﹣2≤ ，
3 3 3
2 4
即 ≤a（3t2+6t+4）≤ ，由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，
3 3
4 4 4
可得0＜a≤ ，可得a的最大值为 ．故答案为： ．
3 3 3
