文档内容
专题 1.3 集合的基本运算【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 并集的运算】..............................................................................................................................................2
【题型2 根据并集结果求集合或参数】..................................................................................................................2
【题型3 交集的运算】..............................................................................................................................................2
【题型4 根据交集结果求集合或参数】..................................................................................................................3
【题型5 补集的运算】..............................................................................................................................................4
【题型6 交、并、补集的混合运算】......................................................................................................................4
【题型7 集合混合运算中的求参问题】..................................................................................................................5
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】............................................................................................................6
【知识点1 并集与交集】
1．并集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B
的元素组成的集合，称为集合A A∪B={x|x∈ A,
与B的并集，记作 A ∪ B (读作 或x∈ B}
“ A 并 B ”)
2.交集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的
所有元素组成的集合，称为A A∩B={x|x∈ A,
与B的交集，记作 A ∩ B (读作"A 且x∈ B}
交 B ")
【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
学科网（北京）股份有限公司(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元
素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
【题型1 并集的运算】
【例1】（2023·高一单元测试）已知集合A=[3,7),B=(4,8]，则A∪B=（ ）
A．[3,8] B．[4,7] C．(3,8) D．(4,7)
【变式1-1】（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合 ，则
A={−1,0,1},B={x∣x2−3x+2=0}
A∪B=（ ）
A．{1} B．{1,2} C．{−1,0,1} D．{−1,0,1,2}
【变式1-2】（2023·辽宁大连·统考三模）已知集合M,N，满足M=M∪N，则（ ）
A．M⊆N B．N⊆M C．N∈M D．M∈N
【变式1-3】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知集合A={1,3,5,7}，B=¿，则A∪B中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型2 根据并集结果求集合或参数】
【例2】（2023·湖北荆门·校考模拟预测）已知集合A={a,5−a,4}，B={3,2a+1}，A∪B={2,3,4,5}，
则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合A=¿，B=¿，若A∪B=¿，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】（2023·北京·校考模拟预测）已知集合A={−1,0,1}，若A∪B={−1,0,1,2,3}，则集合B可
以是（ ）
A．∅ B．{−1,0,1} C．{2,3,4} D．{1,2,3}
【变式2-3】（2023春·江西景德镇·高二校考期中）设集合 ，
M={x|−3x} A∩B
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型4 根据交集结果求集合或参数】
【例4】（2023·云南·校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
A={−1,0,1} B={a,a2−3a+2} A∩B={0}
a=（ ）
A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【变式4-1】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知集合A={3,4,2a−4}，B={a}，若A∩B≠∅，则
a=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4-2】（2023·广东·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，
A={1,2,3} B={x|x2−2x+m=0} A∩B={3}
则B=（ ）
A．{3,1} B．{3,4} C．{2,3} D．{3,−1}
【变式4-3】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知集合A=¿，若A∩B=A，则实数a的取值范围是
（ ）
A．[5,+∞) B．(−∞,5] C．[0,+∞) D．(−∞,0]
【知识点2 补集与全集】
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
学科网（北京）股份有限公司2．补集
对于一个集合A，由全集U中不属于集合
文字 A 的所有元素组成的集合称为集合A相
语言 对全集U的补集，简称为集合A的补集，
记作∁ A
U
定
义 符号
∁ A={x|x∈U,且x∉A}
语言 U
图形
语言
【注】∁ A的三层含义：
U
(1) (1)∁ A表示一个集合；
U
性
质 (2) (2)A是U的子集，即A⊆U；
(3)∁ A是U中不属于A的所有元素组成
U
的集合．
【题型5 补集的运算】
【例5】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合U=¿，A=¿，则集合∁ A=（ ）
U
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【变式5-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知集合U={x|2−x>0}，A={x|x+3<0}，则∁ A=
U
（ ）
A．(−3,2) B．[−3,2) C．(−∞,−2] D．(−∞,−2)
【变式5-2】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集U={1,3,5},且∁ A={3},则集合A的真子集的个
U
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】（2023·全国·校联考三模）已知全集U={1,2,3,4,5},∁ A={2,4},∁ B={3,4}，则（ ）
U U
A．1∈A,1∉B B．2∈A,2∈B
C．3∈A,3∉B D．5∉A,5∈B
【题型6 交、并、补集的混合运算】
【例6】（2023春·天津南开·高二校考期末）集合A={x∣−1≤x<2}，B={x∣x>1}，则A∩(∁ B)=
R
（ ）
A．{x∣−1≤x<1} B．{x∣−1≤x≤1}
C．{x∣−1≤x<2} D．{x∣x<2}
学科网（北京）股份有限公司【变式6-1】（2023春·天津南开·高二统考期末）若 ， ， ，则
U={x|x<9,x∈N∗} A={1,2,3} B={5,6,7}
（ ）
(∁ A)∩(∁ B)=
U U
A．{4,8} B．{2,4,6,8}
C．{1,3,5,7} D．{1,2,3,5,6,7}
【变式6-2】（2023春·江苏南通·高一统考期末）设全集U=Z，集合A={−2,−1,0,1,2},B={−1,0,1,2,3}，
则{−2}=（ ）
A． B． C． D．
A∩B A∪B A∩(∁ B) (∁ A)∩B
U U
【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知全集 ， ， ，
U={a,b,c,d,e} (∁ M) ∩P={a} (∁ P) ∩M={b}
U U
，则（ ）
(∁ M) ∩ (∁ P) ={c}
U U
A．P={a} B．M={a,c} C．P∩M={c,d,e} D．P∪M={a,b,d,e}
【题型7 集合混合运算中的求参问题】
【例7】（2022秋·广西钦州·高一校考期中）设全集U=R，集合
A={x∣x2+ax−12=0},B={x∣x2+bx+b2−28=0}，若A∩(∁ B)={2}，则b的值为（ ）
U
A．4 B．2 C．2或4 D．1或2
【变式7-1】（2023·江苏无锡·江苏省校考模拟预测）已知集合A={x∈Z|−12
【变式7-3】（2022·云南·校考模拟预测）设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}，
， ，若点 ，则 的最小值为
A={(x,y)|2x−y+m≥0} B={(x,y)|x+ y−n>0} P(2,3)∈A∩(∁ B) m+n
U
（ ）
A．−6 B．1 C．4 D．5
【知识点3 Venn图表达集合的关系和运算】
学科网（北京）股份有限公司如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】
【例8】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集U=R，集合A={x|x≥4或x≤0}，B={x|x>4或
x≤−2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．(−2,0] B．[−2,0]
C．[−2,0]∪{4} D．(−2,0]∪{4}
【变式8-1】（2023·湖南邵阳·邵阳市校考模拟预测）如图，集合 均为 的子集， 表示的
A,B U (∁ B)∩A
U
区域为（ ）
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，I是全集，A，B，C是I的三个子集，则图中阴影部分表
示（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
A∩B∩C A∩C∩(∁ B)
I
C． D．
A∩B∩(∁ C) B∩C∩(∁ A)
I I
【变式8-3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合M={1,2,3,4,5}，N={1,3,5,7,9}，且M，N都是
全集U的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2,4} B．{1,3,5}
C．{7,9} D．{1,2,3,4,5,7,9}
学科网（北京）股份有限公司
