文档内容
专练 09 解答题-压轴
1．（2020·江苏高一期中）已知 ， ，
.
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由全称命题为真，结合一元二次不等式恒成立即可得解；
（2）由一元二次不等式结合命题间的关系可转化条件为 ，即可得解.
【详解】
（1）若命题 为真，则不等式 对 恒成立，
所以 ， ，
所以实数 的取值范围为 ；
（2）命题 等价于 ，命题 等价于 ，
因为 是 的充分不必要条件，所以 ，所以 且上述等号不同时成立，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】
解决本题的关键是合理转化条件：将全称命题为真转化为一元二次不等式恒成立，将命题间的关系转化为
集合间的关系.
2．求下列各式的值.
（1） .
（2） .
【答案】（1） ；（2）210
【分析】
（1）根据对数的运算法则运算求值即可（2）根据指数的运算法则化简求值.
【详解】
（1）
（2）【点睛】
本题主要考查了对数的运算，指数的运算，属于中档题.
3．（2020·台州市实验中学高一期中）已知二次函数 满足 且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 且 在 上的最大值为8，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】
（1）由 ，可知 关于 对称，结合 、 ，可求出函数 的解析
式；
（2）分 和 两种情况，分别讨论函数 的最大值，令最大值等于8，可求出实数 的
值.
【详解】
（1）∵ ， 函数 关于 对称，
又 ，故设 ， ，
而 ， ，解得 ，，即 .
（2）①当 时， ，由 ，则 ，
由二次函数的性质可知， 的最大值为 中的较大者，
若 ，解得 或 ，都不符合题意，舍去；
若 ，解得 或 ，只有 符合题意.
②当 时， ，由 ，则 ，
由二次函数的性质可知， 的最大值为 中的较大者，
若 ，解得 或 ，只有 符合题意；
若 ，解得 或 ，都不符合题意.
综上所述，实数 的值为 或 .
【点睛】
易错点睛：本题主要考查二次函数相关知识，属于中档题.解决该问题应该注意的事项：
（1）要注意二次函数的开口方向、对称轴、顶点；
（2）开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越大；离对称轴越近，函数值越小；（3）开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越小；离对称轴越近，函数值越大.
4．（2020·邵东市第一中学高二月考）已知函数 在一个周期
内的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式．（2）求方程 的解的个数．
【答案】（1） ；（2）63．
【分析】
（1）由题图，知 ， ，从而求得 ，易知点 是五点作图法中的第五点，可得
；
（2）在同一平面直角坐标系中作函数 和函数 的图象，结合图象的交点个数即可求出答
案．
【详解】
解：（1）由题图，知 ，
由函数图象过点 ，得 ，即 ，又 ，∴ ，易知点 是五点作图法中的第五点，∴ ，则 ，
∴ ；
（2）在同一平面直角坐标系中作函数 和函数 的图象如图所示，
因为 的最大值为2，令 ，得 ，
令 ，得 ，
而 ，且 ，
∴在区间 内有31个形如 的区间，
在每个区间上 与 的图象都有两个交点，
故这两个函数的图象在 上有 （个）交点，
另外，两函数的图象在 上还有一个交点，所以方程 共有63个实数解．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查函数与方程，考查数形结合思想，考查转化与化归能力，属于
中档题．
5．设函数 ，
(1)用定义证明：函数 是R上的增函数；
(2)证明：对任意的实数t，都有 ；
(3)求值： ．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析（3）9.5
【分析】
（1）设 ，计算 ，判断 ，判断函数是单调递增函数；
（2） ，再变形计算求值；
（3）根据（2）的结果，计算求值.
【详解】
解：（1）证明：设任意 ，
则又 ，
∴ 在R上是增函数
（2）对任意t,
∴对于任意t,
（3）∵由（2）得
【点睛】
本题考查定义法证明函数单调性，以及指数幂的综合运算，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题
型.
6．（2016·上海高一期中）已知函数 .
（1）实数 的值为多少时， 是偶函数；（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
（3）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【分析】
（1）利用偶函数的定义进行求值；
（2）由题意，可得 ，进而利用不等式即可；
（3）利用函数单调性的定义进行求值判断即可.
【详解】
（1）由 ，要使 是偶函数，则 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的值为 .
（2）由 ，即 ，整理得 ，
所以 ，
因 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
（3）由题意， 在区间 上单调递增，任取 ，则 ，即 ，
整理得 ，
又因为 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性和最值的应用，考查学生的运算能力，属于中档题.
7．（2020·江苏省昆山中学高一月考）已知函数 ， ．
（1）求函数 的值域；
（2）设 ， ， ，求函数 的最小值 ；
（3）对 中的 ，若不等式 对于任意的 时恒成立，求实数t的取值
范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】
先判断单调性，再利用单调性求最值可得值域；整体换元，令 ，转化为关于t的二次函数，求最值；
由 对a进行分类讨论得出 的单调性求出t的取值范围即可．
【详解】
解： 设任意的 ， ，且 ，
则 ，
，且 ， ， ，
是 上的单调递增函数，
时， 取得最小值 ，
时， 取得最大值 ，
函数 的值域为 ．
，令 ，
，
当 时， 在 上单调递增，故 ；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ；当 时， 在 上单调递减， ；
由 知，当 时， ， ，
即 整理得 ，
， 对任意的 恒成立，
令 问题转化为 ，则 任取 ， 且 ，
则 ， ， ，
①当 ， 时 ， ，
在 上单调递增，
②当 ， 时 ， ， 在 上单调递减；
综上 ，从而 ，所以实数t的取值范围是 ．
【点睛】
本题考查了函数单调性、整体换元、二次函数求最值、分类讨论、不等式恒成立．属于难题．8．某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府
决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员 户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事
蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高 ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为
万元．
（1）在动员 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总
年收入，求 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的
农民的总年收入，求 的最大值．
【答案】（1） ；（2）9.
【分析】
（1）根据题意，表示出动员 户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收入，再解不等
式.
（2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题.
【详解】
解：（1）动员 户农民从事蔬菜加工后，农民的总年收入为 ，
由题得 ．
（2）由题 恒成立，其中 ，
即 恒成立，又因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ．
【点睛】
本题是应用问题，应理解题意，列出关系式，还考查了解一元二次不等式，和恒成立问题的处理方法，以
及利用均值不等式求最值.
9．已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的表达式；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若关于 的方程
在 上有实数解，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
(1)利用函数的图象得到 ，求出 ，利用函数图象经过的特殊点，求出 ，即可求出函数 的解析
式；
（2）根据函数平移关系求出函数 的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题
即可.【详解】
（1）由题图可知 ，
，所以 ，所以 ，
将点 的坐标代入函数 ，得 ，
即 ，因为 ，所以 ， 所以函数 的表达式为
．
（2）依题意 ，方程 在 上有实数解，
即方程 在 上有实数解．令
，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的值域为 ，
所以实数 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查的是三角函数的解析式的求法、三角函数图象变换以及正弦三角函数图象和性质的应用，方
程根的存在性，体现了转化的数学思想，考查学生的计算能力，是中档题.
10．（2020·四川省江油市第一中学高一期中）已知二次函数 满足： ，且方
程 有两个相等实根.
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的最大值；
（3）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得
成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）答案将解析；（3） .
【分析】
（1）利用二次函数的对称轴方程以及 根的判别式 ，求解出 的值，则 解析式可
求；
（2）根据 的对称轴，分类讨论 与 的关系，结合单调性即可求解出 的最大值；
（3）根据条件分析出 值域之间的关系，从而求解出参数 的取值范围.
【详解】
（1）因为 ，所以 的对称轴为 ，所以 ，又因为 有两个相等的实数根，所以 有两个相等的实数根，所以
，
所以 ，所以 ，所以 ；
（2）因为 的对称轴为 ，
当 时， 在 上单调递增，所以 ；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
综上：当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最大值为 ；
（3）因为 在 上单调递增， ，
所以当 时， ，
因为对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
所以 在 时的值域是 在 时的值域的子集，
因为 在 上单调递增，所以当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ，即 .
【点睛】
方法点睛：“轴定区间动”的二次函数求最值的方法：
（1）根据对称轴，对区间端点对应的参数作分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论在不同参数范围下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数
值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
11．（2019·大连市旅顺中学高三期中（理））已知函数
（Ⅰ）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 对一切 均成立，求实数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ， ．（Ⅱ）
【分析】
整理 ,
（Ⅰ）令 , ,求解即可；（Ⅱ）转化问题为 对一切 均成立,即先求 在 的最大值,进而求解.
【详解】
,
（Ⅰ）由 , ,解得 , ,
所以 的递增区间为 , .
（Ⅱ）由 ,得 对一切 均成立,
∵ ,∴ ,∴ , ,
在 的最大值为3,∴ ,∴ ,
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查正弦型函数的单调区间,考查求正弦型函数的最值,考查转化思想.
12．已知函数 （其中a为实数）为奇函数.
（1）判断 的单调性并证明；（2）解不等式 .
【答案】（1） 在 上单调递增；（2）
【分析】
（1）由奇函数性质 可求 ，然后结合单调性的定义即可判断；
（2）结合已知（1）中奇偶性及单调性进行转化，然后结合二次不等式的求解即可．
【详解】
（1） 为奇函数，则 即 ，
所以 ，经检验符合题意，
设 ，则 ，所以 ，
所以 在 上单调递增；
（2）因为 ．所以 ，
所以 ，解可得， ，
故不等式的解集
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断及应用，根据定义法是解决本题的关键，属于中档题．13．（1）若正实数 满足 ，求 的最小值.
（2）求函数 的最小值.
【答案】（1）18 （2）
【分析】
（1）将 看成整体，对 直接利用基本不等式求得答案；
（2）设 ，将函数转化为 ，再利用基本不等式求得最小值.
【详解】
（1） ，当且仅当 等号成立
令 ，可得 .又 ，解得 ，故 的最小值为18.
（2）设 ，则 ，
.
当且仅当 ，即 ，且此时 时，取等号， .
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意
验证等号成立的条件.14．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中）设函数 ，且函数 的图象关于
直线 对称.
（1）求函数 在区间 上的最小值；
（2）关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
（3）设 ，若对于任意的 都有 ，求 的最小值.
【答案】（1）1；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）由对称轴得 ，从而可得最小值；
（2）分离参数后，求出函数的最大值，即得．
（3）确定 的单调性，求出最大值 和最小值 ，由 可得．
【详解】
（1）因为 是函数的对称轴，所以 ，即 ，
时， ；
（2）不等式 为 ，因为 ，所以 ，
由勾形函数知 在 上递减，在 上递增，时， ， 时， ，所以 ，
不等式 在 上有解，则 ．
（3）由题意 ，易知 在 上递减，在 上递增，
， ， ，所以 ，
因为对于任意的 都有 ，所以 ，
所以 的最小值为 ．
【点睛】
结论点睛：二次函数 在区间 上的最值问题：
设 ，函数的对称轴 （ ），
当 时， ， 时， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ．
类似讨论．
15．（2020·江西省奉新县第一中学高一月考）若 是定义在 上的增函数，且.
（1）求 的值；（2）若 ，解不等式 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）特殊赋值法，令 ，即可求得 ；
（2）利用 和 ，将 转化为 ，再根
据函数的单调性和定义域列式可解得结果.
【详解】
（1）令 ，则有 ， .
（2） ，
令 ， ，则 ，
不等式 等价为不等式 ， ，
又 是 上的增函数， ，解得 ，即不等式的解集为 .所以不等式 的解集为 .
【点睛】
利用函数单调性解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根
据函数的单调性去掉" "，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义
域内，考查学生的转化思想与运算能力，属于中档题.
16．已知函数 的图象关于直线 对称，且图象上相邻
两个最高点的距离为 .
（1）求 和 的值；
（2）当 时，求函数 的最大值和最小值；
（3）设 ，若 的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间 ，
求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）最大值为 ，最小值为 ；（3）
.
【分析】
（1）由函数的周期可得 ，再由对称轴可得 ，即可得 ；（2）由 可得 ，由三角函数的图象与性质即可得解；
（3）由函数的周期可得 ，求得函数图象的对称轴为 ，假设 的某一条对
称轴与x轴的交点的横坐标属于区间 ，可得 ，给 赋值后取补集即可得解.
【详解】
（1）因为 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，所以 的最小正周期 ，而 ，
又因为 的图象关于直线 对称，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，综上， ， ；
（2）由（1）知 ，
当 时， ，所以当 即 时， ；
当 即 时， ；
（3）由题意 ，∵ 的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间 ，∴ ，即 ，
令 ，解得 ，
若 的某一条对称轴与x轴的交点的横坐标属于区间 ，
则 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
故 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.
17．（2020·安徽高三月考（文））已知定义在 上的函数 是奇函数.
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）由题意可得 ，求得 ，再由 （1），求得 ，检验可得所求值；（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数
的值域，结合恒成立思想，可得所求范围．
【详解】
（1）由题意可得 ，解得 ，再由 （1） ，得 ，解得 ，
当 ， 时， 的定义域为 ，
由 ，可得 为奇函数，所以 ， ；
（2）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
令 ，则 ，此时不等式可化为 ，
记 ，因为当 时， 和 均为减函数，
所以 为减函数，故 ，因为 恒成立，所以 ．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．对于求不等式恒成立时的参数范
围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体
的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法
不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.18．（2020·江苏高一月考）已知不等式 的解集为 .
（1）证明： ；（2）求不等式 的解集.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）由不等式的解集得一元二次方程的解，由韦达定理得 的关系，代入可证；
（2）由（1）得 ，并把 用 代入后，可解不等式．
【详解】
（1）因为不等式 的解集为 ，
所以 且 的根为 ， ，所以 ，即 ，
所以 .
（3）因为 ，将不等式 两边同时除以 ，得到不等式 ，
因为 ，所以 ，整理得： ，解得： .【点睛】
本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次之间的关系是解题关键．
19．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知函数 （ ）.
（1）若 ，求函数 的值域；（2）若方程 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）化简函数的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值即可；
（2）通过函数的零点与方程根的关系，分离变量，利用函数的最值求解即可.
【详解】
解：（1） ，（ ）
设 ，得 ，
（1）当 时， ，
所 ， ，所以函数 的值域为 ；（2）方程 有解等价于函数 在 上有零点，
也即 在 上有解，
而函数 在 上单调递减，故函数 在 上的值域为 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查换元法求函数值域，考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力的应用，是中
档题.
20．（2019·河北易县中学高一期中）已知 是定义在 上的奇函数，且 .若对任意
， 都有 .
（1）证明： 在定义域 为增函数
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若不等式 对所有 和 都恒成立，求正实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2） （3）【分析】
（1）根据单调性的定义，设任意的 ， ，且 ，然后作差可以得到
，这样根据条件便可得出 ，从而说明 在 上
为增函数；
（2）由（1）便可由 得到 ，解该不等式组即可得出实数 的取值范围；
（3）由（1）可得 ，从而 对任意 都恒成立，
从而有 ，解该不等式组即可得出实数 的取值范围．
【详解】
解：（1）设任意 ， 满足 ，由题意可得
，
在定义域 上为增函数.
（2）由（1）知 ， ， 即 的取值范围为 .（3）由（1）知 对任意 都恒成立
即 对任意 都恒成立
，
【点睛】
考查函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法，根据增函数的定义解不等式的
方法，根据增函数的定义求函数最值的方法，掌握本题对于恒成立问题的处理方法．
