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专题 05 基本不等式及其应用
【考纲要求】
1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【思维导图】
一、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
二、基本不等式
1．内容：
≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．证明：
∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.
∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
三、基本不等式的常用推论
1．ab≤2≤(a，b∈R)．
2.＋≥2 (a，b同号)．
3．当ab>0时，＋≥2；
当ab<0时，＋≤－2.
4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
四、基本不等式求最值
1．理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
3．利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．
(2)和或积为定值．
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【题型汇编】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：利用基本不等式求最值
题型三：利用基本不等式解决实际问题
【题型讲解】
题型一：基本不等式及其应用
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式可得 ，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 ．综上， ．
故选：A.
2．（2022·江西赣州·二模（理））在等差数列 和等比数列 中，有 ，且 ，
则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断两者的大小.
【详解】
设等比数列的公比为 ，则 ，故 ，
因为 为等差数列，故 ，
因为 为等差数列，故 ，故 ，
结合题设条件有 ，由基本不等式可得 ，
故 ，而 ，故 ，
故选：B.3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项， 成立的条件为 ，故错误；
对于C选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于 ，故 ，正确.
故选：D
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））已知 ， ，设 ， ，
，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出 ， 的表达式，再利用对数的运算法则进行变形比较 与 ，再利用基本不等式以及函数的单调
性进行判断即可.
【详解】
依题意得， ，，，
由基本不等式得： ，
又 为单调递增函数
即 ，
故选：D.
5．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知x，y都是正数，且 ，则下列选项不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
x，y都是正数，
由基本不等式， ， ， ，这三个不等式都是当且仅当 时等号
成立，而题中 ，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当 时取等号，如 即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
6．（2022·河北石家庄·二模）已知 ，则x､y､z的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出 ，再由 ，可比较出 与 的大小即可得
出 的大小关系.
【详解】
，
，
即 ，
，而 ，
，又 ，
，
综上， ，
故选：D
7．（2022·江西新余·二模（文））设 ， ， ，其中 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，利用函数的单调性结合均值不等式可得答案．
【详解】
令 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ， ，虽然 是单调递增函数，而 无法比较大小，
所以 大小无法确定，排除AB；， ，
故选：D.
二、多选题
1．（2022·湖南衡阳·三模）已知实数 ， ， ．则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A、D利用 换元整理， ， ，再结合基本不
等式；对于B根据 ，代入整理；对于C ，结合 计算处
理．
【详解】
∵ ，则
∴ ，当且仅当 即 时等号成立
A正确；
令 ，则
，当且仅当 即 时等号成立
D正确；∵ ，即 ，则 ，当且仅当 时等号成立，B正确；
∵ ，当且仅当 时等号成立
，C不正确；
故选：ABD．
2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）已知 、 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判
断C选项；构造函数 ，利用函数 在 上的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，A对；
对于B选项，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，B对；
对于C选项，取 ， ，则，此时 ，C错；
对于D选项，令 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上为增函数，
因为 ，则 ，D对.
故选：ABD.
3（2022·河北邯郸·一模）下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A、B选项画出 和 的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数 ，借助单调性进
行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.
【详解】作出 和 的图象，如图所示，由图象可得，当 时， ，
当 时， ， ， ，故A，B正确.
令 ，则 ， 在 上单调递减，所以 ，故C错误.
，所以
，故D正确.
故选：ABD.
4．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足 ，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD【解析】
【分析】
A选项，利用 作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选
项，用作差法求解.
【详解】
由于两个不相等的正实数a和b，满足 ，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即
，故 ，A错误；
由题意得： ，所以 ，B正确；
，其中 ，但不知道a和b的大小关系，故当 时，
，当 时， ，C错误；
，其中 ， ，所以 ，即
，D正确.
故选：BD
三、填空题
1．（2021·河南·模拟预测（文））已知关于 的方程 有两个实根 ， ，则下列
不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）
① ； ②
③ ； ④ .
【答案】①
【解析】
【分析】
解方程 得到 ， ， ，再利用作差法和基本不等式得解.【详解】
因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
因为关于 的方程 有两个实根 ， ，
所以 ， ，
对于①②，
，
所以 ，所以①正确，②错误.
对于③④， ，
因为 .
,
所以 或者 .
所以③④错误.
故答案为：①
2．（2021·全国·模拟预测）已知等比数列 的各项均为正数， ，且存在 ，使得
，则 的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
由递推关系结合基本不等式的性质，得 ，此时 时等号成立， ；再由条件 ，求得首项的最小值.
【详解】
设等比数列 的公比为 ， ，因为 ， ，所以由基本不等式得，
，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
则 ，
所以 ，即 的最小值为4．
故答案为：4
【点睛】
关键点点睛：利用基本不等式得到 ，进而利用等比数列的通项公式求解 的最小值．
四、解答题
1．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数 ，已知不等式 恒成立.
(1)求 的最大值 ；
(2)设 ， ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分类讨论可得 解析式，进而得到 的图象，采用数形结合的方式可确定 ；（2）令 ，可得 ，代入不等式左侧，利用基本不等式可求得 ，
由此可得结论.
(1)
当 时， ；当 时， ；当 时，
；
由此可得 图象如下图所示，
恒成立，则由图象可知：当 过点 时， 取得最大值 ，
.
(2)
由（1）知：只需证明 ；
令 ，解得： ，
（当且仅当 ，即 时
取等号），，即 .
2．（2022·四川·成都七中三模（文））设函数 ， ， 恒成立．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1） 转化为 ，令
，求 .
（2）要证 ，即证 ，结合均值不等式即可证明.
(1)
由题意知 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立
令
可得函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 ，则 ，即 ，整理得 ，解得 ，
综上实数 的取值范围是 .
(2)
由 ，知 ，即 ，
所以要证 ，
只需证 ，即证 ，
又
， 成立.
3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知函数
(1)若不等式 的解集为 ，求实数a的值.
(2)若 ，求证: .
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由绝对值不等式得解集求参数，首先得到 ，分 与 两种情况下求解；（2）利用绝对值
三角不等式和基本不等式进行证明.
(1)
即 ，
所以 ，即 ，显然 .当 时， ，则 ，解得： ；
当 时， ，则 ，无解.
综上可知， .
(2)
证明：
，
等号成立的条件是 与 同号，
， ， ，当且仅当 ，即 时
等号成立，
，
，
.
题型二：利用基本不等式求最值
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）若 、 均为非零实数，则不等式 成立的一个充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；
【详解】
解：因为 、 均为非零实数且 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，所以 ，
由 ，可得 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以不等式 成立的一个充要条件为 ；
故选：A
2．（2022·广东茂名·二模）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 可得 ，令 ，表示出a,b,再由
，结合不等式知识，即可求得答案.
【详解】
由 可得： ,故 ，
令 ，则 ，
因为
，
当且仅当 ，即 或 时等号成立，所以 ，即 的最小值为2，
故选：C．
3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，对于任意 ，必
有 ，若函数 只有一个零点，则函数 有
（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为4 D．最大值为4
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数 只有一个零点，结合条件可得方程 只有一个根，即可
求出 ，然后可求出 的最值情况.
【详解】
由 可得 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
因为对于任意 ，必有 ，所以 ，即 ，
因为函数 只有一个零点，
所以方程 只有一个根，所以 ，解得 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以函数 有最小值为 ，
故选：A
4．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列．若存在两项
使得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件及等差中项的性质可得 ，结合 可得 ，再应用基本不等式“1”的代换
求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设 ，即 ，又 为正项等比数列，
所以 ， ，
由 ，则 ，即 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，满足 ，
所以 的最小值为2.
故选：B
5．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，利用基本不等式即可求出.
【详解】
由 ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
6．（2022·全国·二模（理））△ABC中， ，若 ，则AB边上的高的最大值
为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知条件利用余弦的二倍角公式化简可得 ，然后由余弦定理和基本不等式可得面积的最大值，从
而得到高的最大值.
【详解】
ABC中， ，可得 ，即 ，解得
△
即 ，
, ,
可得 ，当 时取到最大值16，
设AB边上的高为h，则 ，解得 ，即AB边上的高的最大值为 ，
故选：C
7．（2022·全国·二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（
）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设动圆圆心 ，利用动圆M经过坐标原点，可得 ，利用基本不等式可得 ，从而得到
要求的最大值.
【详解】
设动圆圆心 ，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得 ,即 ，
，当且仅当 时取等号，即 ，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
二、多选题
1．（2022·全国·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为， ，解得
，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足 ，则 的最小值为4
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．若随机变量 ，且 ，则
D．命题 ，则p的否定：
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，可用基本不等式“1”的妙用求最值；对于B，根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；对于
C，根据二项分布期望及方差公式求解判断；对于D，根据命题的否定的知识进行判断.
【详解】
对于A， ，当且仅当 时等号成立，故A
错误；对于B，“ ”能推出“ ”，故B正确；
对于C， ，解得 ，故C正确；
对于D，p的否定： ，故D错误.
故选：BC.
3．（2022·湖南师大附中三模）若 ， ， ，则 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用题设条件，将式子化成 ，观察得出 ，之后利用乘以1不变，结合基本不等式求得
其范围，进而得到正确答案.
【详解】
原式
（当且仅当 ， 时取等号）.
故选：CD.
4．（2022·辽宁沈阳·三模）已知 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 关于直线 对称 D． 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过题目信息求出 的解析式，然后利用函数性质进行判断.
【详解】
由题，将 代入 得 ，因为
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得 ，将该式与题
干中原式联立可得 .
对于A： ，故A正确；
对于B：由 ， ，所以 不可能在在 上单调递减，故B错误；
对于C： 为偶函数，关于 轴对称， 表示 向右平移1101个单位，故 关于
对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式 ，当且仅当 时取等，故D正确.
故选：ACD
5．（2022·河北唐山·三模）下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D． ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
可通过反例排除A、C，对于B，两边取对数即可，对于D，通过对数运算得到 的式子，应用基本不等
式即可确定.
【详解】
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；对于C， ，故C错误；
对于D， ，所以
，故D正确.
故选：BD.
三、双空题
1．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在 中， ，D为 中点，P为 上一点，且满足
， 的面积为 ，则 ___________； 的最小值为___________.
【答案】 ； .
【解析】
【分析】
根据平面向量加法的几何意义、共线向量的性质，结合平面向量的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】
设 ，由 而
，
所以有 ，即 ；因为 的面积为 ， ，
所以有 ，
因为 ，
所以有
，
当有仅当 时取等号，
故答案为： ； .
【点睛】
关键点睛：运用基本不等式是解题的关键.
2．（2022·天津·二模）如图直角梯形 中， ， ， ，在等腰直角
三角形 中， ，则向量 在向量 上的投影向量的模为____________；若 ， 分别为线
段 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设 ，
， ，进而根据题意得 ，再根据坐标运算得 ，进而
结合基本不等式求解即可.
【详解】
解：根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为 ，
所以 ，
所以， ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为 ，
故其模为 .
因为 ， 分别为线段 ， 上的动点，
所以，设 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为： ；
3．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知函数 ，若 在定义域内为单调递减函数，
则实数 的最小值为___________；若 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围为
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
空1：根据题意可得 当 时恒成立，即 ，利用基本不等式处理求解；
空2：根据题意可得 ，借助于导数求解最值，同时注意讨论 和 ．
【详解】
，则
∵ 在定义域内为单调递减函数，则 当 时恒成立
则可得：∵ ，当且仅当 时等号成立，则
∴ ，即实数 的最小值为 ；
∵ ，即
当 时，整理得：
构建 ，则
∵当 时，
则 当 时恒成立
∴ 在 上单调递减，则
则 ，即
当 时， ，即在 时不满足原式
综上所述：实数 的取值范围为
故答案为： ； ．
四、填空题
1．（2022·上海虹口·二模）函数 的值域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据基本不等式即可解出．
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号．
故答案为： ．
2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知 ，当 取到最小值时，
___________．
【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】
先将 化为 ，再结合基本不等式即可求出最小值及此时 的
值.
【详解】
知 ，当 取到最小值时，
由题意知：
，
当且仅当 ，即 时取等，
故当 取到最小值时， .
故答案为： .
五、解答题
1．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．【答案】(1) ；
(2) ．
【解析】
【分析】
（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合
，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
(1)
因为 ，即 ，
而 ，所以 ；
(2)
由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ．
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
2．（2022·上海·高考真题）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的
最小值.
【答案】(1)
(2)交点为 ，在椭圆上，理由见解析
(3)6
【解析】
【分析】
（1）写出 三点的坐标，可将 用坐标表示出来，求出 的值，再结合已知条件，即可求出
，进而写出椭圆的标准方程；
（2）根据条件，写出直线 和 的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断
该点与椭圆的位置关系；
（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点 的坐标，再结合点 的坐标，写出直线
和 的方程，求出点 的坐标，表示出 ，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简
，最后根据重要不等式计算出 的最小值.
(1)
由题可得 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
(2)由 ，得直线 的方程为： ，
由 ，得直线 的方程为： ，
联立两方程，解得交点为 ，
代入椭圆方程的左边，得 ，
故直线 与 的交点在椭圆上；
(3)
由题有
因为 两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设 ，
直线 ，则 ，
直线 ，则 ，
所以
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，则 ，即 的最小值为6.
【点睛】
关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角恒等变换
和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将 化简，最终利用重要不等式求出其最小值.题型三：利用基本不等式解决实际问题
一、单选题
1．（2022·陕西西安·三模（文））已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件结合基本不等式进行求解.
【详解】
由题意， ，故选项A错误；
，当且仅当 时，等号成立，故选项B正确；
，则 ，故选项C错误；
，故选项D错误.
故选：B.
2．（2022·安徽省舒城中学一模（文））在三棱锥 中， 平面ABC， ， 与
的外接圆圆心分别为 ， ，若三棱锥 的外接球的表面积为 ，设 ， ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，然后利用球的性质可得 ，进而可得 ，再利用基本不等
式即求.
【详解】
∵ 平面ABC，
∴ ，
则 为直角三角形，其外心 为PB的中点， 的外心 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
设三棱锥 的外接球的为 ，连接 ，则 平面ABC，
∴ ，
∴ ，又三棱锥 的外接球的表面积为 ，
∴ ，即 ，
由 可得 ，
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值是 .
故选：B.
3．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知三棱锥 的顶点 在底面的射影 为 的垂心，若 的面积为 的面积为 的面积为 ，满足 ，当
的面积之和的最大值为8时，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角新的垂心，利用线线垂直与线面垂直的关系，证明 两两垂直，从而可以将三棱锥的外
接球问题，转变为一个长方体的外接球问题求解.
【详解】
连接 交 于 点，连接 ,
因为 为 的垂心，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，而 ,
所以 平面 ，所以 ，
可得 ，
因为 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ,
又 平面 ， 平面 ，故 ，
而 ,所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
同理可知 ，且 ，所以 平面 ，
所以 ，因此 两两垂直，
设 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，
所以 ，解得 ，
所以三棱锥 外接球的体积为 ,
故选:D.
4．（2022·四川·石室中学二模（理））设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M
是线段PF上的点，且 ，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设出 ，P点坐标，根据 及抛物线方程，得到 ，从而表达出直线OM的斜
率，利用基本不等式求出最大值.
【详解】
因为 ，设 ，显然当 时， ，当 时， ，则要想求解直线OM的
斜率的最大值，此时 ，设 ，因为 ，所以 ，即，解得： ，由于 ，所以 ，即 ，
由于 ，则 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，故直线OM的斜率的最大值为 .
故选：C
二、多选题
1．（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知 ， ，且 ，则
B．函数 ，若 ，且 ，则 的最小值是
C．已知 ，则 的最小值为
D．已知 ，则 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于选项A，利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用对勾函数的单
调性求解判断；C，用“1”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D，将 ，
转化为 ，利用二次函数的性质求解判断.
【详解】
对于选项A，∵ ， ， ，∴ ，∴ ，当且仅当 时取等号，∴，∴A正确；
对于选项B：因为 ，所以 ，又 ，所以由对勾函数的单调性可知函数
在 上单调递减，所以 ，即 ，故B不正确；
对于选项C，根据题意，已知 ，则
，当且仅当 ，即
时，等号成立，所以 ，故C正确；
对于选项D， ，令 ，所以 ，所
以 ，此时 无解，所以选项D不正确，
故选：AC．
2．（2022·浙江·模拟预测）已知三棱锥 ，过顶点B的平面 交分别棱AC，AD于M，N（均不与
棱端点重合）．设 ， ， ，其中 和 分别表示三棱锥 和三棱
锥 的体积．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
设 ， ，根据题设结合棱锥的体积公式得 ，，进而有 且 ，再应用不等式的性质、基本不等式判断各选项中不等式
是否一定成立即可.
【详解】
若 ，则 ，令 ，
所以 ， ，
若 到底面 的距离为 ，则 ， ，
所以 ，且 ，
由 ，而 ，则 ，所以 ，A正确；
由 ，则 ，B正确；
由 当且仅当 时等号成立，所以 ，C错误；
由 ，而 ，则 ，
所以 ，则 ，D正确；
故选：ABD
3．（2022·广东肇庆·二模）已知 ， ， ，且 ，则（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据基本不等式逐个分析判断
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 或 时取等号，故A正确；
∵ ，∴ ，当且仅当 或 时取等号，故B错误；
∵ ，当且仅当 或 时取等号，故C正确；
由选项B的解析可知 ，所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当
或 时取等号，故D错误．
故选：AC
三、双空题
1．（2022·浙江台州·二模）已知正实数 满足 ，则 的最大值为___________；的最大值为___________.
【答案】 ##0.5； ##
【解析】
【分析】
①由基本不等式直接计算即可；
②先由基本不等式计算 的最大值，再由两部分取等条件相同得到整体的最大值
即可.
【详解】
①由 ，得 ，当且仅当 ，即 时取等；
② ，当且仅当 ，即 时
取等，
又由上知 ，故 ，当且仅当 时取等，所以 ，
当且仅当 时取等.
故答案为： ； .
四、填空题
1．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
2．（2022·山东济南·三模）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全
民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，
其中 ， 千米．现需要在 ，OB， 上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊
DE，DF，EF，若 ， ，则 的最大值为______千米．【答案】 #
【解析】
【分析】
利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【详解】
∵在四边形 中， ， ， ，
∴ ,
在△ 中，由余弦定理得 ,
即 ,
，
，当且仅当 时取等号，
， ,
即 ， .
故答案为： .
五、解答题
27．（2022·上海松江·二模）如图，农户在 米、 米的长方形地块 上种植向日葵，
并在 处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为
，其中点 、 分别在长方形的边 、 上，监控的区域为四边形 ．记
．(1)当 时，求 、 两点间的距离；（结果保留整数）
(2)问当 取何值时，监控区域四边形 的面积 最大？最大值为多少？（结果保留整数）
【答案】(1)82
(2) ，4886
【解析】
【分析】
（1）根据 ， 求解 ，再用勾股定理求解即可
（2）根据直角三角函数中的关系分别求得 的面积，进而表达出四边形 的面积
，再令 ，化简 再用基本不等式求解最小值即可
(1)
∵ ，∴
∵ ∴
∴
(2)
， ，
所以 ，所以 ，
令 ，则
∴
∴
此时 ， ， ，即 时.
故当 时，监控区域四边形 的面积 最大约为
35．（2022·上海宝山·一模）吴淞口灯塔 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小
组测量其高度 （单位： ，如示意图，垂直放置的标杆 的高度 ，使 ， ， 在同一直线上，
也在同一水平面上，仰角 ， .（本题的距离精确到
(1)该小组测得 ､ 的一组值为 ， ，请据此计算 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 （单位： ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为 ，试问 为多少时， 最大？
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给数据，解直角三角形并利用 建立方程即可求解；
（2）由两角差的正切公式，结合均值不等式求出 的最值，再根据角的范围即可求得 何时
有最大值.
(1)
由 可得： ，
同理可得 ，
因为 ，
所以 ，
可得 .
(2)
由题意可得 ，
则 ，
所以 ，
而 ，
当且仅当 时等号成立，
故当 时， 取最大值，
因为 ，所以 ，所以 时， 最大.
