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s 专题 08 三角恒等变换与三角函数应用
（4 种经典基础练+4 种优选提升练）
两角和与差（共7题）
1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知 都是锐角， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.
【详解】因为 都是锐角，则 ，
则 ，
所以
.
故选：B.
2．（23-24高一上·北京东城·期末）若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】先通过 求出 的范围，进而可得 的范围.
【详解】 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以根据 ，可得 ，
所以 ，则 .
故选：A.
3．（23-24高一上·福建南平·期末）已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重
合，它的终边过点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)-2；
(2) .
【分析】（1）由三角函数定义代入即可求解；
（2）由三角函数定义结合两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1）因为 的终边过点 ，所以 ， ，
所以 ．
（2）因为 的终边过点 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .
4．（23-24高一上·福建漳州·期末）在平面直角坐标系 中，角 的顶点为坐标原点，始边
为 轴的非负半轴，终边与单位圆交于点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义可得 ，后由两角和的正切公式可得答案；
（2）由 与诱导公式可得 ，后由 可得答案.
【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得 ，
即 ，所以 ；
（2）由诱导公式，结合题意可得： ，
又 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，则
5．（23-24高一上·安徽宿州·期末）（1）已知 ，求 的值.
（2）已知角 的终边过点 ， ， ，求 的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）化简已知式，求得 的值，将 利用弦的齐次式化弦为切代入即得；
（2）由条件分别求出 的值，再代入两角和的余弦公式计算即得.
【详解】（1）由 可得： ；
（2） 角 的终边过点 ，则 ．
由 ， 可知：
则 .
6．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知 为锐角， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再利用两角差的正弦公式，求得
的值．
【详解】（1） 为锐角，
.
（2）
或 .
7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 .
(1)求 在区间 上的对称轴；
(2)求函数 在区间 上的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由 的范围求出 的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）因为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司在区间 上的对称轴为 ；
（2）对于 ，
， ，
，
所以当 ，即 时 取得最大值，即 ；
当 或 ，即 或 时 取得最小值，即 ；
，
所以函数 在区间 上的取值范围为 .
二倍角公式（共5题）
1．（23-24高一上·广西贺州·期末）设 ， ， ，
则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两角差的正弦公式求 ，由二倍角的正切公式求 ，由二倍角的正弦公式求 ，即可根
据正弦函数的单调性比较大小．
【详解】 ，
，
，
正弦函数在 是单调递增的， ．
学科网（北京）股份有限公司又 ．
故选：A．
2．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次法计算得解.
【详解】由 ，得 .
故选：A
3．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各式中值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A项，逆用两角和的正切公式计算即得；对于B项，利用二倍角的正弦公式即得；对
于C项，利用二倍角的余弦公式即得；对于D项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得.
【详解】对于A项， ，故A项符合；
对于B项， ,故B项符合；
对于C项， ，故C项不符合；
对于D项， ，
故D项符合.
故选：ABD.
4．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知 ，且 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知， ，
展开整理可得 ，
即 ，
解得 （ 舍去）.
因为 ，所以 ．
（2）
．
5．（23-24高一上·福建·期末）在平面直角坐标系中，角 与 的顶点均与直角坐标系的原点重合，
始边均与x轴的非负半轴重合.已知角 的终边与单位圆交于点 ，若将 绕原点O按逆
学科网（北京）股份有限公司时针方向旋转 后与角 的终边 重合.
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义以及二倍角公式即可求解；
（2）首先得 ，进一步根据两角和差的三角函数运算即可求解.
【详解】（1）由题意角 的终边与单位圆交于点 ，
所以 ， .
（2）由题意 ，
.
简单的三角恒等变换（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数 ，则 可以化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式求出答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，C正确；
其他选项不满足要求.
故选：C
二、多选题
2．（22-23高一上·河北唐山·期末）设函数 ，若函数 为偶
函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数变换结合条件可得 ，进而
，即得.
【详解】因为 ，
所以 ，又函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 的值可以是 ， .
故选：BC.
三、填空题
3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）若函数 的最小值为1，则实数
．
【答案】3
【分析】利用辅助角公式与正弦函数的性质得到关于 的方程，解之即可得解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，其中 ， ，
所以 ，解得 ．
故答案为：3．
4．（20-21高一上·安徽安庆·期末）“无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的
几何图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式 ，第一
个括号为 ，第二个括号为 .
【答案】
【分析】在直角三角形 和直角三角形中，由三角函数表示即可.
【详解】
如图所示，
在直角三角形 中， ，
在直角三角形 中， ，
故答案为： ； .
四、解答题
5．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）（1）若 ，化简：
学科网（北京）股份有限公司；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）-2；（2）
【分析】（1）根据 的角度范围，判断出 和 的取值范围，即可化简求值.
（2）根据已知条件，将式子化成含 的式子，即可求出该式的值.
【详解】解：（1）由题意， ，
∴ ， ，
原式
．
（2）由题意 ，
∴
．
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数关系得到 ，再利用二倍角公式进行计算；
（2）凑角法，结合正弦和角公式进行计算.
【详解】（1）由 ，得 ．
．
则 ．
（2）由 ，得 ，
所以 ．
．
7．（21-22高一上·广东湛江·期末）证明下列等式：
学科网（北京）股份有限公司(1)
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证.
【详解】（1）左边 右边，得证；
（2）左边
右边，得证.
8．（22-23高一上·宁夏中卫·期末）已知 ．求：
(1) 的值；
(2)若 ，求角 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据二倍角的正切公式即可得解；
（2）利用两角和的正切公式求出 ，结合范围即可得结果.
【详解】（1）因为 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
故 .
9．（22-23高一上·河南郑州·期末）计算
(1)已知 .求 的值.
(2)已知 ，且 ， ，求角 的值；
【答案】(1)4
(2)
【分析】
（1）利用诱导公式和齐次式化简，化为关于 的式子，代入求值即可；
（2）利用同角三角函数关系及角的范围得到 和 ，从而利用余弦差角公式求出
，从而求出角 的值.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，
所以 .
10．（23-24高一上·天津河北·期末）已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正切和角公式求出答案；
（2）利用二倍角公式得到齐次式，再化弦为切，代入求值即可.
【详解】（1） ；
（2）
.
三角函数的应用（共10题）
一、单选题
1．筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在
水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒
车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒 距离水面的高度 （单位：米，记水筒 在水面上方
学科网（北京）股份有限公司时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间 （单位：秒）满足函数关系式
， ，且 时，盛水筒 位于水面上方 米处，当筒车转动到
第 秒时，盛水筒 距离水面的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 求出 ，即可得到函数解析式，再代入 计算可得.
【详解】依题意可得 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，
则当 时 ，
即当筒车转动到第 秒时，盛水筒 距离水面的高度为 米.
故选：B
二、多选题
2．如图，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为
．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位： ）（在水面下则d为负数），若以盛
水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为
下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案.
【详解】由题意，一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，
所以振幅 且 ，可得 ，所以A、B正确；
又由筒车的轴心O距离水面的高度为 ，可得 ，所以D错误；
根据题意，当 时， ，即 ，可得 ，所以C正确.A
故选：ABC.
三、填空题
3．一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动
的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s．
【答案】 6 4
【分析】根据图象求得振幅以及最小正周期.
【详解】单摆作简谐振动的位移-时间图符合正弦型函数，
由图可知振幅为6，最小正周期为 ．
故答案为： ；
4．已知某段电路中电流 （单位：A）随时间 （单位： ）变化的函数解析式是
学科网（北京）股份有限公司，若 时的电流为 ，则 时的电流为
.
【答案】
【分析】由题意得 ，结合角 、平方关系以及二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】由题意 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 时的电流为 .
故答案为： .
四、解答题
5．已知函数 .
(1)写出函数的振幅、周期、初相；
(2)求函数的最大值和最小值并写出当函数取得最大值和最小值时x的相应取值．
【答案】(1)振幅为 ，周期为 ，初相为 ；
(2)当 时，函数有最大值 ；当 时，函数有最小值 .
【分析】（1）根据振幅定义、周期公式、初相定义进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】（1）由函数 的解析式可知：振幅为 ，周期为 ，初相为 ；
（2）当 时，即当 时，函数有最大值 ；
当 时，即当 时，函数有最小值 .
学科网（北京）股份有限公司6．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN， ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD
作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN．
(1)设 ，用 分别表示AB和AD；
(2)当 为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？
【答案】(1) ， .
(2)当 时， 最大，为
【分析】借助三角函数表示 和 ，进一步表示矩形的面积，可求矩形面积的最大值.
【详解】（1）如图：过 做 于 .
则 ，所以 ， .
（2）
，
当且仅当 即 时取“ ”.
学科网（北京）股份有限公司故当 时矩形场地的面积最大且最大为 .
7．深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，
可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上
“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最
近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为 米．
(1)经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足
（其中 ， ， ），求摩天轮转动一周的解析式 ；
(2)若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，
游客能有多长时间有最佳视觉效果？
【答案】(1)
(2) 分钟
【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出 ，根据转一周的时间计算出 ，再结合
初始位置计算出 ，由此可求 ；
（2）化简 ，根据 ，求解出 的范围，由此可知结果.
【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面 ，最低点距离地面 ，所以
，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为转一周大约需要 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 且 ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，
令 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，且 分钟，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有 分钟最佳视觉效果.
8．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动
能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为
，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并
且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在
转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为 （ ， ， ）．
(1)求函数 的解析式；
(2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于
80米的时长．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2) 秒
【分析】（1）根据题意，建立关于 的方程组，解出即可；
（2） ，解出三角不等式即可.
【详解】（1）由题意，得风机的角速度 每秒，当 时 ．
解得
．
（2）令 ，则 ，即 ，
，解得 ， ．
当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，
在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为 秒．
9．如图，一个大风车的半径为 旋转一周，它的最低点 离地面 ，它的右侧有一点
且距离地面 .风车翼片的一个端点 从 开始计时，按逆时针方向旋转.
学科网（北京）股份有限公司(1)试写出点 距离地面的高度 关于时刻 （min）的函数关系式 ；
(2)在点 旋转一周的时间内，有多长时间点 距离地面超过 ？
【答案】(1)
(2) 分钟.
【分析】（1）建立以圆心为坐标原点的坐标系，根据任意角三角函数的概念表示出 的纵坐标
即可求解；（2）令 ，解三角不等式即可求解.
【详解】（1）
以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为 轴，
过圆心且垂直于地面的直线为 轴建立平面直角坐标系 .
以 轴非负半轴为始边， 为终边的角为 ；
点 时刻 所转过的圆心角为： .
若 时刻时蚂蚁爬到圆环 点处，
那么以 轴非负半轴为始边，
为终边的角为 ，
则 点纵坐标为 ，
所以
学科网（北京）股份有限公司（2）令 ，
即 所以 ，
解得 ，
所以在一周范围内， 距离地面超过 持续时间为：
分钟.
10．如图，在扇形 中，半径 ，圆心角 . 是扇形圆弧上的动点，矩形
内接于扇形，记 .
(1)将矩形 的面积 表示成关于 的函数 的形式；
(2)求 的最大值，及此时的角 .
【答案】(1) （ ）
(2) 时， 取得最大值
【分析】（1）借助三角函数定义及几何性质即可求解；
（2）借助三角函数性质即可求解.
【详解】（1）在 中， ， ，
， ，
，
学科网（北京）股份有限公司，
（ ）；
（2） ，
，
，
因为 ，
，
当 ，即 时，
取得最大值 .
辅助角应用（共14题）
一、多选题
1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）下列各式中值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】选项A，由 ，结合诱导公式，化简即可；选项B，利用二倍角公式，
可得解；选项C，结合诱导公式与二倍角公式，化简运算，得解；选项D，由辅助角公式化简，结
合正弦的二倍角公式，即可得到结果
学科网（北京）股份有限公司【详解】选项A， ，即A符合题意；
选项B， ，即B符合题意；
选项C， ，即C不符合题意．
选项D，
，即D符合题意．
故选：ABD．
2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）关于函数 ，下列结论正确
的是（ ）
A．函数 的最大值是2
B．函数 在 单调递减
C．函数 的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移 个单位得到
D．若方程 在区间 有两个实根，则
【答案】BC
【分析】根据题意，化简函数 ，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即
可求解.
【详解】由函数
，
对于A中，当 时，函数 的最大值为 ，所以A错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B中，当 时，可得 ，
根据正弦函数的性质，可得正弦函数单调递增，所以B正确；
对于C中，函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，所以C
正确；
对于D中，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
所以 在区间 上有两个实根，可得 ，所以 D不正确.
故选：BC.
3．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．
D．
【答案】ACD
学科网（北京）股份有限公司【分析】验证 是否相等可以判断A；验证特殊值 ，可以判
断B；由角的范围，利用诱导公式化简 ，即可判断C；由已知化简可得 ，
令 ，则 ，则 可转化为 ，通过研究 的单调
性，再利用复合函数的单调性求得 的最值，可判断D.
【详解】 ，
所以 的图象关于直线 对称，A正确.
因为 ，所以 的图象不关于点 对称，B错误.
当 时，
，所以 正
确.
由 ，解得 ，所以 的定义域为 .
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
令 ，则 ，所以函数
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
又因为函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， 正确.
故选：ACD
二、填空题
4．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，要在一块半径为6．圆心角为 的扇形铁皮POQ中截
取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径
OP上，且点F为线段OB的中点．设 ，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为
，此时 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，得到矩形 的面积为 ，矩形 的面积
学科网（北京）股份有限公司为 ，进而化简 ，结合三角函数的性质，以及基本关系式和
正切的倍角公式，即可求解.
【详解】由题意知，一块半径为6，圆心角为 的扇形铁皮，
可得 且 ，
在直角 中， ，所以 ，
所以 ，
所以矩形 的面积为 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以矩形 的面积为 ，
所以两块矩形铁皮的面积之和为：
，
其中 ，且 ，
所以，当 时， 取得最大值 ，
此时 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 或 （不合题意，舍去），
综上可得，当 时， 取得最大值 .
故答案为：9；
【点睛】知识方法点拨：求解三角函数实际应用问题的处理策略：
1.若已知三角函数模型，根据给定的三角函数模型，利用三角函数的图象与性质解决问题，其关键
学科网（北京）股份有限公司在于准确理解自变量的意义，以及自变量与函数之间的对应关系；
2、把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，结合三角函数的图象与性质等有关知识
解决问题，其关键在于正确理解题意，合理建模.
5．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数 满足： ．若函数
在区间 上单调，且 ，则当 取得最小值时，
．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数式，三角函数的图象与性质先计算得 ，再计算 何时取
最小值即可得结果.
【详解】易知 ，
若 ，由辅助角公式得 ，
其中 ，
因为 ，则 ，
则 ，所以 ，
若 ，则 ，
其中 ，同上 ，与前提矛
盾，舍去，
故 ，
易知 以 为对称中心，
学科网（北京）股份有限公司根据题意函数 在区间 上单调，且 ，则
则当 取得最小值时， .
故答案为： .
【点睛】难点点睛：现根据 确定 的值，得出 解析式，利用三角函数的单调性、
对称性计算即可.
6．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数 ，若对任意的 ，
，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将问题转化为对任意的 ，当 时， 恒成立，
不妨设 ，将问题转化为 在 单调递减，再结合利用正弦函
数的性质求出 的取值范围．
【详解】 ，
由 ，
得 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为对任意的 ，当 时， 恒成立，
所以对任意的 ，
当 时， 恒成立，
，
不妨设 ，则问题转化成 在 单调递减，
所以 ，其中 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使
不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参
式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化
为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
三、解答题
7．（23-24高一上·福建·期末）如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利
用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形 的四个顶点都落在边界上.经
过测量，扇形的半径为 ， ， .记弧 的中点为G，连接 ，分别与
， 交于点M，N，连接 ，设 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求矩形 的面积关于 的函数 ；
(2)求矩形 的最大面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用 的正余弦表示出边长 ，再用面积公式表示
出函数关系即可；
（2）由正弦函数的性质求出最值即可.
【详解】（1）由题意可知， ，
代入数值并化简可得
，
所以矩形 的面积关于 的函数
①，
利用降幂公式，二倍角公式，辅助角公式化简上式可得
①
，
所以
（2）由正弦函数的值域可知，当 时，
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数 ，其相邻两个对称
中心之间的距离为
(1)求实数 的值及函数 的单调递增区间；
(2)求函数 在 上的最大值和最小值；
(3)设 ，若函数 在 上有两个不同零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1) ， 单调递增区间是 ；
(2) ， ；
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数 ，再利用正弦函数的性质求解即得.
（2）函数 的零点问题转化为直线与函数图象的交点个数问题，再结合几何图形求出范围.
【详解】（1）依题意， ，
显然函数 的周期 ，解得 ，因此 ，
由 ，得 ，
故 单调递增区间是 .
（2）当 时， ，则当 ，即 时， ，
当 ，即 时， .
（3）由（1）知，函数 在 上单调递增，函数值从0增大到 ，
在 上单调递减，函数值从 减小到1，
学科网（北京）股份有限公司函数 在 的图象，如图，
由 ，得 ，函数 在 上有两个不同零点，
即直线 与函数 在 的图象有两个公共点，此时 ，
所以实数m的取值范围是 .
9．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一
圆心角为 ，半径为 米的扇形 空地 如图 改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和
绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方
案：
方案 让矩形的一个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
方案 让矩形的两个端点位于 上，其余端点位于 ， 上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
【答案】答案见解析
【分析】方案 ，如图 所示，设 ，将 ， 都用 表示，再根据矩形的面积公式结
合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论
方案 ，如图 所示，过点 作 的垂线分别交 ， 于 ， ，设 ，将 ，
都用 表示，从而可将矩形的面积表示成 的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：选择方案 ，
如图 所示，矩形 内接于扇形 ，
在直角 中，设 ，则 ，
在直角 中，可得 ，
所以 ，
设矩形 的面积为 ，
则
由 ，可得 ，
当 ，即 时，
平方米
所以，当 时，活动场地面积取得最大值，最大值为 平方米．
选择方案 ，
如图 所示，矩形 内接于扇形 ，
过点 作 的垂线分别交 ， 于 ，
由对称性可知， 平分 ，
在直角 中，设 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司在直角 中，可得 ，
所以 ，
设矩形 的面积为 ，
则
，
由 ，可得 ，
当 ，即 时， 平方米 ，
因此，当 时，活动场地面积取得最大值为 平方米．
10．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，若存在
，使得不等式 有解，求 的取值范围.
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）先利用和差角公式，二倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单
调性即可求解；
（2）先求出 的解析式，然后结合恒成立与存在性问题与最值关系转化即可求解.
【详解】（1）
令 ，
得
即 的单调递减区间为 .
（2）根据题意可得 .
因为存在 ，使得不等式 有解，
所以 .
当 时， ， ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 的取值范围为 .
11．（23-24高一上·重庆·期末）如图所示， 是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出
一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域
外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，
其中 在 边上， 在 边上， 是弧 上一点.设 ，矩形 的面积为 平方米.
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)求 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用三角函数分别表示出 ，再由矩形的面积公式表示出
关于 的函数解析式即可.
（2）令 ，由同角的三角函数关系得到 ，即
，再由二次函数的性质求出取值范围即可.
【详解】（1）如图，延长 交 于点 ，延长 交 于点 .由四边形 是正方形，四
边形 是矩形，
可知 .由 ，可得
学科网（北京）股份有限公司，
.
.
（2）令 ，由 ，可得 ，
故
，即 ，
，其对称轴为
所以当 时， 取最大值，最大值为16；
所以当 时， 取最小值，最小值为14.
即 .
12．（23-24高一上·福建宁德·期末）如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动
赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段 ，该曲线段为函数
在 的图象，且图象的最高点为 ）；赛
道的中间部分为长度是 的水平跑道 ；赛道的后一部分是以 为圆心的一段圆弧 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求 ， 和 的值；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪 ，如图所示，记 ，求矩
形草坪 面积的最大值及此时 的值.
【答案】(1) ， , ；
(2)当 时， .
【分析】（1）根据三角形函数的图像性质求值；
（2）由题意，表示出 ， ， ，从而得到矩形草坪
面积的表达式，由三角恒等变形求最值.
【详解】（1）由题意可得 ，
则 ，故 ，
将点 代入，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
从而可得曲线段 的解析式为 ，
令 ，可得 ，所以 ，
所以 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司.
（2）由(1)，可知 ，
又易知当矩形草坪 的面积最大时，点 在弧 上，故 ，
由 ,
则 ， ， ，
所以矩形草坪 的面积为
.
又 ，所以 ,
故当 ，即 时， ，
矩形草坪 面积取得最大值 ．
13．（23-24高一上·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余
弦函数 ，类似地我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许
多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: _____________.
（只写出即可，不要求证明）；
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司(3)若 ，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解.
（2）根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得.
（3）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.
【详解】（1） .
（2）依题意， ，不等式 ，
函数 在 上单调递增， ，令 ，
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，于是 ， ，
因此 ， ，显然函数 在 上单调递减，
当 时， ，从而 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3） ， .
依题意， ，
，
当 时， ， ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司于是 ，而 ，因此 ，
当 时， ，则 ， ，
即 ，而 ，因此 ，
于是 ， ，所以 .
【点睛】结论点睛：函数 的定义区间为 ，①若 ，总有 成立，则
；②若 ，总有 成立，则 ；③若 ，使得 成立，
则 ；④若 ，使得 成立，则 .
14．（23-24高一上·福建福州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流
量稳定的情况下，一个半径为 的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒
车的轴心 距离水面的高度为 .设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位： ）（在
水面下则 为负数）.若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：s）之间的关
系为 .
(1)求 ， ， ， 的值；
(2)若盛水筒 在不同时刻 ， 距离水面的高度相等，求 的最小值；
(3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高
度差的最大值.
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解；
（2）不妨设 ，由题意得 ，通过分类讨论即可求解；
（3）由题意首先得 ， ，由此即可进一步求解.
【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为 ， ，连接 ，
过点 作 于点 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ，
则 ，
因为筒车转一周需要1分钟，所以 ，
故 .
在 中， ，
所以 ，即 .
（2）由（1）知 ， .
不妨设 ，由题意得 ，
故 ，
所以 ， 或 ， .
学科网（北京）股份有限公司当 ， 时，解得 ， ，
故 ，当且仅当 ， 时，等号成立.
此时 的最小值为60；
当 ， 时，解得 ，
显然当 时， 取得最小值40.
综上， 的最小值为 .
（3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为 ，
两个相邻的盛水筒的位置分别用 和 表示，则 .
所以
，
当 ，即 ， 时，
高度差 的最大值为 .
【点睛】关键点睛：第三问的关键是准确求出 ，由此即可顺利得解.
给值求值（共12题）
一、多选题
1．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．若 ，则
B．不等式 的解集是
C．函数 ， 的最小值为
D．若 ，且 ，则
【答案】ACD
【分析】利用弦化切可判断A；根据正切函数的图象与性质可判断B；利用换元法转化为二次函数
的最小值问题可判断C；根据 和 得到 和 ，再利用诱导公
式可判断D.
【详解】对于A， ， ，故A正确；
对于B， 的解集为 ，故B错误；
对于C，当 时，令 ， ，
， 当 时， ，故C正确；
对于D，若 ，则 ，
， ，
，且 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
.
故选：ACD
2．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知 ，其中 为锐角，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由三角函数平方关系可求得 、 即可判断A项，由
及差角公式即可判断B项，由和角、差角公式展开 、
，两式相加可判断C项，两式相减可得 ，进而可得 即可判断D项.
【详解】因为 为锐角，所以 ， ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
对于A项，因为 ，所以 ，则 ，故A项正确；
对于B项，
学科网（北京）股份有限公司，故B项正确；
对于C项，因为 ， ，
两式相加并化简得 ，故C项错误；
对于D项，由C项知，两式相减并化简得 ，
所以 ，故D项正确.
故选：ABD.
二、填空题
3．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知 ， ，则 的一个取
值为 .
【答案】 （或 ）
【分析】计算出 的值，即可求得出 的值.
【详解】因为 ， ，
且
，
所以， ，故 .
故答案为： （或 ）.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·福建厦门·期末）水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星
连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图
1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点
A， 分别在以坐标原点 为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度
分别为 ， .当 达到最大时，称A位于 的“大距点”.如图2，初始
时刻A位于 ， 位于以 为始边的角 的终边上.
（1）若 ，当A第一次位于 的“大距点”时，A的坐标为 ；
（2）在 内，A位于 的“大距点”的次数最多有 次
【答案】 6
【分析】根据题意可得 ， ，可得 ，结合
倍角公式运算求解；根据题意分析可知求“大距点”个数的问题转化为直线 与
在 的交点个数问题，结合图象分析求解.
【详解】（1）当 时，经过时间 ， ， ，
当A位于 的“大距点”时， 与小圆相切，
学科网（北京）股份有限公司此时 为直角三角形，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为A是第一次位于 的“大距点”，可知 ，则 ，
所以 ， ，
即A的坐标为 ；
（2）经过时间 ， ， ，
对于任意 ，当A位于 的“大距点”时，
A， 两点坐标满足 ，即 ，
当 时，求“大距点”个数的问题转化为直线 与 在 的交点个
数问题.
若 与 有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，
共长度等于36，因为 ，所以 内不可能有7个交点.
又当 时，
如图所示， 与 有6个交点，故A最多有6次位于 的“大距点”.
故答案为： ；6.
学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：数形结合求交点个数：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分
解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个．
三、解答题
5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数 的一段图象
过点 ，如图所示．
(1)求函数 的表达式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，得函数 的图象，求 在区间 上
的值域；
(3)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数 的周期，根据最小正周期公式可以求出
的值，将特殊点代入解析式中，可以求出 ， 的值，进而确定函数解析式；
（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出 的解析式，由 可求出
，进而得到 的值域；
（3）根据 可求出 ，由此求出 ，进而得到 的值.
【详解】（1）由图知， ，则 .
由图可得， 在 处最大值，
又因为图象经过 ，故 ，
所以 ，故 ，
又因为 ，所以 ，
函数又经过 ，故 ，得 .
所以函数 的表达式为 ．
（2）由题意得， ，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 在区间 上的值域为 .
学科网（北京）股份有限公司（3）因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
由 ，所以 .
所以 ，
所以 .
6．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可得解；
（2）根据 结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即可.
【详解】（1）令 ，
解得 ，
则 的单调递增区间是 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，即 ，所以 ，
则
.
7．（23-24高一上·广东广州·期末）已知角 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 ．
(1)若 ，求 的值：
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，先求出 ， 的值，再用诱导公式化简，代入求值；
（2）利用 求值.
【详解】（1）因为角 为第二象限角， 为其终边和单位圆交点，且 ，所以 ，
.
由诱导公式得：原式 .
学科网（北京）股份有限公司（2）因为角 为第二象限角，且 ，所以 为第一象限角，且
.
所以 .
即 .
8．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数 .
(1)将 化为 的形式；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式即可求解.
（2）先根据 求出 ；再结合 ，利用平方关系求出 ；
最后利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为
学科网（北京）股份有限公司.
（2）由 ，得 ，则 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
所以
.
9．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数 （ ）的
最小正周期为 ．
(1)求 ；
(2)已知 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简得到 ，再结合三角函数的性
质，即可求解；
（2）根据题意，求得 ，进而得到 ，结合两角和的余弦公式，即
可求解.
【详解】（1）由函数
，
因为 ，函数 的最小正周期 ，可得 ，
所以 ．
（2）由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以
．
10．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数 ．
(1)求 在 上的单调递减区间；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简 的解析式，然后利用整体代入法求得 在 上的单调递减区间；
（2）先求得 ，然后利用三角恒等变换的知识求得 的值．
【详解】（1） ，
由 ， ，解得 ， ，
又 ， 函数 在 上的单调递减区间为 ．
（2）由（1）知 ，
又 ， ，
， ，
， ，
．
学科网（北京）股份有限公司．
11．（23-24高一上·浙江金华·期末）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期与对称轴方程；
(2)当 且 时，求 的值．
【答案】(1)最小正周期为 ，对称轴方程为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等化简函数 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数
的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可得出函数 的对称轴方程；
（2）由已知条件可求出 的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值，再
利用两角和的正弦公式可求得 的值.
【详解】（1）解：由题设有 ，
所以，函数 的最小正周期是 ，
由 ，可得 ，
所以，函数 的对称轴方程为 .
（2）解：由 得 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ．
若 ，则 与 ，矛盾
则 ．
从而 ．
于是
．
12．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数诱导公式及二倍角公式并结合辅助角对函数 化简得
学科网（北京）股份有限公司，再利用整体代换法即可求解单调递增区间，从而可求解.
（2）由（1）可得 ，由 可得 ，又因为
，从而可求解.
【详解】（1）由
，
当 ， ，
即 ， 时 单调递增，
所以 的单调递增区间为 .
（2）由 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，
故 .
学科网（北京）股份有限公司三角变换的实际应用（共6题）
1．（21-22高一上·山东菏泽·期末）如图，扇形 半径为1，圆心角为 ，过扇形弧上点 分别
向 ， 作垂线，垂足为 ， ，得到 ，当点 （与 ， 不重合）在扇形弧上从 到
运动时．
(1) 的面积是如何变化的？
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)点C从点A运动到弧AB的中点时，△CDE的面积越来越大，点C从弧AB的中点运动到
点B时，△CDE的面积越来越小；
(2) .
【分析】（1）作 于F，记 ，则 ，然后
算出各个三角形的面积，进而通过三角恒等变换与三角函数的图象和性质求得答案；
（2）由（1）即可求得答案.
【详解】（1）如图，作 于F，记 ，则 .
在 中， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，则
，
在 中， ，则 ，
所以，
.
由 ，由 .于是，点C从点A运动到弧AB的中点
时， 的面积越来越大，点C从弧AB的中点运动到点B时， 的面积越来越小.
（2）由（1），当点A位于弧AB的中点，即 时， 的面积有最大值，最大值为：
.
2．（21-22高一上·山西晋中·期末）如图，已知面积为 的扇形 ，半径为 ， 是弧 上任
意一点，作矩形 内接于该扇形．
学科网（北京）股份有限公司(1)求扇形圆心角 的大小；
(2)点 在什么位置时，矩形 的面积最大？并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点 是弧 的中点时，矩形 的面积最大，最大为 .
【分析】（1）利用扇形的面积公式可求得 的大小；
（2）连接 ，设 ，将 、 用 的代数式表示，利用三角恒等变换化
简矩形 面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形 面积的最大值及其对应
的 值，即可得出结论.
【详解】（1）解：设 ，根据扇形的面积公式可得 ，得 .
（2）解：连接 ，设 ，则 ， ，
在 中， ，则 ，
于是矩形 的面积
，
由于 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司当 ，即当 时，矩形 的面积最大，最大为 ，此时点 是弧 的中点．
因此，当点 是弧 的中点时，矩形 的面积最大，最大为 .
3．（22-23高一上·广东东莞·期末）如图，已知一块足球场地的球门 宽 米，底线 上有一
点 ，且 长 米．现有球员带球沿垂直于底线的线路 向底线 直线运球，假设球员射门时
足球运动线路均为直线．
(1)当球员运动到距离点 为 米的点 时，求该球员射门角度 的正切值；
(2)若该球员将球直接带到点 ，然后选择沿其左后 方向（即 ）的线路 将球回传
给点 处的队友．已知 长 米，若该队友沿着线路 向点 直线运球，并计划在线路 上
选择某个位置 进行射门，求 的长度多大时，射门角度 最大．
【答案】(1)
(2) 米
【分析】（1）求出 、 的值，利用两角差的正切公式可求得 的值；
（2）作 ，垂足为 ，设 ，计算出 、 ，利用两角
差的正切公式可得出 关于 的表达式，利用基本不等式求出 的最大值，利用
等号成立的条件求出 的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：由题知 ， ， ，则 ，
在 中， ，
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
所以
．
（2）解：如图，作 ，垂足为 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以
，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 即 时， 最大，
所以当 米时，射门角度 最大．
4．（22-23高一上·河北唐山·期末）如图，长方形ABCD， ， ， 的直角
顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令 ．
(1)当 时，求梯形BCNM的面积S；
(2)求 的周长l的最小值，并求此时角 的值．
【答案】(1)
(2)当 时， .
【分析】（1）在 中，由直角三角形的边角关系得出 ，进而得出梯形BCNM
的面积S；
（2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出 ，再由换元法结合正弦函数
的性质求解即可.
【详解】（1）
学科网（北京）股份有限公司， ，
（2）由（1）可知，
， ，
令 ，则 ，即
当 ，即 时， .
5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）函数 ，最大值为 ，
最小值为 .
(1)设 ，求 ；
(2)设 ，若 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）用换元法转化成二次函数的值域问题求解.
（2）把问题转化成 ， 恒成立，再化为最值问题，讨论求解.
【详解】（1） ,
设 ，则 ， .
则 .
当 时，函数 在 上递减，在 上递增.
此时 ， ， ;
当 时，函数 在 上递减，在 上递增.
此时 ， ， ；
当 时，函数 在 上递减，在 上递增.
此时 ， ， ；
当 时，函数 在 上递减，在 上递增.
此时 ， ， .
综上： .
（2） 恒成立可化为 ， 恒成立.
①当 时， ， ，
所以 且 ，
解得： ；
学科网（北京）股份有限公司②当 时， ， ，
故 且
解得： ；
③当 时， ， ，
故 且 ，
解得： ;
当 时， ， ，
故 且 ，
解得：
综上所述： .
【点睛】方法点睛：先利用换元法，把问题转化成为二次函数的值域问题是突破口，再者，该题考
查了函数的最值，恒成立问题的处理方法，特别是讨论比较复杂，一定要认真仔细.
6．（23-24高一上·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，
BC= 米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF
和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=
.
(1)设∠BOE= ，试将△OEF的周长 表示为 的函数，并求出此函数的定义域；
(2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装
置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智
能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用.
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ，
(2)当 米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为 元
【分析】（1）根据三角函数定义以及勾股定理表示出 的三边，由此可得 关于 的函数，结
合 的极限位置可知定义域；
（2）先表示出 ，然后通过三角换元，令 ，由此可得 关于 的函数，
利用函数单调性求解出 的最小值，则结果可知.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 在点 时，此时 最小，又 ，所以 ，所以 ，
当 在 点时，此时 最大，又 ，所以 ，
由上可知， ；
因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，定义域为 ；
（2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需 最小即可，
由（1）可知： 且 ，
设 ，且 ，所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，且 ，
且 ， ，
所以 ，
令 ，因为 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的最小值为 ，此时 ，所以 ，所以 ，
综上所述，当 米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为 元.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数解决实际问题，其中涉及到三角函数定义、三角恒等
变换以及根据函数单调性求最值等问题，难度较大.解答本题第二问的关键：通过三角换元，将复
杂的三角函数问题转化为分析函数单调性求最值.
三角函数的应用（共16题）
一、多选题
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上
唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱 距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀
速转动）的转动时间 （单位：分钟）与座舱 距离地面的高度 （单位：米）的函数关系式为
， ， ，且开始转动5分钟后，座舱 距离地面的高度为37.5米，
学科网（北京）股份有限公司转动10分钟后，座舱 距离地面的高度为92.5米，则（ ）
A．
B．该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C．
D．该摩天轮座舱 距离地面的最大高度为120米
【答案】BCD
【分析】由 即可求出 ，结合周期，即可求解.
【详解】依题知 ，则 ，
因为 ，所以 ，A错误；
由 ，则周期为 ，
则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；
，由 ，
可得 ，故座舱 距离地面的最大高度为 ，CD正确.
故选：BCD
2．（23-24高一上·吉林·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，
早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海
洋．已知某港口水深 （单位： ）与时间 （单位： ）从 时的关系可近似地用函数
学科网（北京）股份有限公司来表示，函数 的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．当 时，水深度达到
D．已知函数 的定义域为 ， 有 个零点 ，则
【答案】ACD
【分析】根据图象的最值求出 ，再根据图象得到其周期则得到 ，代入最高点求出 ，则得到
三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其
对称性即可判断D.
【详解】对A，由图知 ， ， ，
；
的最小正周期 ， ；
， ，解得： ，
又 ， ， ，故A正确；
对B，令 ， ，解得 ， ，当 时， ，
则 ，则函数 的图象关于点 对称，故B错误；
对C， ，故C正确；
学科网（北京）股份有限公司对D， ，则 ，令 ，
则 ，令 ，则根据图象知两零点 关于直线 ，
则 ，即 ，则 ，则 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式，再根据其对称性等性
质逐项分析即可.
二、填空题
3．（23-24高一上·广东广州·期末）立德学校为了表彰在体育运动会上表现优秀的班级，特制作了
一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 的半径为10，
， ，则 ．（用 表示），
据调研发现，当 最长时，该奖杯比较美观，此时 的值为 ．
【答案】
【分析】作 交 于 ，交 于 ，由垂径定理可得 ， ，再
作 交 于 ， 交 于 ，设 ，解三角形即可求出
；由勾股定理可求出 ，即可知 时， 最
大．
【详解】作 交 于 ，交 于 ，且 ，
则 ，则 ， .
学科网（北京）股份有限公司设 ，作 交 于 ， 交 于 ，
因为 ，所以 ，
， ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 ，
所以
，
因为 ，所以当 ，即 时， 最大，
故答案为： ； ．
4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为 ，现
学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点
C，D分别在弧和另一条半径上，则劳动基地的最大面积是 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 /
【分析】由图得到 ，进而得到 ，得到矩形 的面积
,再利用三角函数的性质求解.
【详解】由已知：设 , 则
，
则 ，
所以矩形 的面积为： ，
，
，
，
，
学科网（北京）股份有限公司，
当 ，即 ，矩形面积取得最大值为 .
故答案为：
5．（23-24高一上·河北邯郸·期末）某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区
域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为 ，规划局工作人员在 上取一点C，作
CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度
的最大值为 km．
【答案】
【分析】过点O作CD的垂线，连接OC，设 ，分别求得 ，
，且 ，求得 ，结合三角函数的性
质，即可求解.
【详解】如图所示，过点O作CD的垂线，垂足为F，连接OC，
设 （ ），则 ， ，
又 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，当 ，即 时，CD取到最大值 ．
故答案为： .
三、解答题
6．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）如图，已知 是半径为2，圆心角为 的扇形， 是扇形
弧上的动点， 是扇形的内接矩形.记 .
(1)用 分别表示 的长度：
(2)当 为何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.
【答案】(1) ， ；
(2) 时， .
【分析】（1）分别在 中，根据三角函数定义可得；
（2）根据（1）中结论表示出面积，利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质可得.
【详解】（1）在直角三角形 中， ， ，
学科网（北京）股份有限公司在直角三角形 中， ，所以 ，
所以
（2）设矩形 的面积为 ，
所以
，
因为 ，所以
所以当 ，即 时，
7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如图所示，有一条“ ”形河道，其中上方河道宽 ，右侧
河道宽 ，河道均足够长.现过点 修建一条栈道 ，开辟出直角三角形区域（图中 ）
养殖观赏鱼，且 .点 在线段 上，且 .线段 将养殖区域分为两
部分，其中 上方养殖金鱼， 下方养殖锦鲤.
学科网（北京）股份有限公司(1)养殖区域面积最小时，求 值，并求出最小面积；
(2)若游客可以在栈道 上投喂金鱼，在河岸 与栈道 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路
长度不小于投喂金鱼的道路长度，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积 ，再由基本不等式求解；
（2）由题意 ，则 即可求解.
【详解】（1）过 作 ， 垂直于 ， ，垂足分别为 ， ，
则 ， ， ， ，
养殖观赏鱼的面积 ，
学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，则 ，当且仅当 即 时取等号，故
时， 最小 .
（2）由 ，可得 ，
则 ， ， ，由题意 ，
则 ，
则 ，结合 ，则 .
8．（23-24高一上·浙江温州·期末）下表是 地一天从 时的 部分时刻与温度变化的关系的预
报，现选用一个函数 来近似描述温度与时刻的关系．
时刻/h 2 6 10 14 18
温度/℃ 20 10 20 30 20
(1)写出函数 的解析式：
(2)若另一个 地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数 且气温变化也是从 到 ，
只不过最高气温都比 地区早2个小时，求同一时刻， 地与 地的温差的最大值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由表中数据发现温度跌宕起伏，且呈现一定规律（周期），由此联想到三角函数
，由 以及 ，即可求得 ，最后代入
一个点即可得 .
（2）由题意可得 ，两函数作差，结合两角和的正弦以及辅助角
公式即可得解.
【详解】（1）由题意不妨设 ，
可以发现周期 ，解得 ，
而 ，解得 ，
所以 ，即 ，不妨取 ，
所以函数 的解析式为 .
（2）设 地区的温度变化函数为
，
令
学科网（北京）股份有限公司，其中 ，不妨设 ，
所以 ，等号成立当且仅当 ，
即 ，
所以只能取 或 满足 地与 地的温差的最大值为 .
9．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数
（ ）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
(1)求函数 的解析式，并求其对称轴方程；
(2)将 向右平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的 倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，
再将其向上平移60个单位，得到 ，则可以用函数 模型来模拟某摩
天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客
在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座
舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最
大值．
【答案】(1) ， ，
学科网（北京）股份有限公司(2) ，50
【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得 ，再结
合最值及周期即可得解析式；
（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为 ，则
，再求最值即可.
【详解】（1）
，所以 ，
因为相邻两条对称轴的距离为 ，所以半周期为 ，
故 ，
令 ，
（2） 向右平移 得到 ，将横坐标伸长为原来的 倍，得到
，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到 ，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
则 ，
， ， ，故 ，
当 或 或20时，
10．（21-22高一上·云南昆明·期末）如图，已知直线 ，A是 之间的一定点，并且点A到
，的距离分别为 和2.B，C分别是直线 上的动点，且 ，设 ，
.
(1)写出关于x的函数解析式 ；
(2)求函数 的最小值及相对应的x的值.
【答案】(1) ， ；
(2) 时， .
【分析】(1)根据给定条件可得 且 ，再借助直角三角形边角关系计算作答.
(2)由(1)利用三角恒等变换公式化简函数 ，再借助三角函数的性质计算作答.
【详解】（1）依题意， ，而 ， ， ，则
学科网（北京）股份有限公司，
由 知，点B，C在直线DE同侧， 均为锐角，则有 ，
在 中， ，在 中， ，则
，
所以 ， .
（2）由(1)得：
因 ，即 ，当 ，即 时， 取最大值1，
所以 .
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求
出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
11．（23-24高一上·甘肃白银·期末）主动降噪耳机工作的原理：先通过微型麦克风采集周围的噪
声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同､相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声
波曲线 ，其中振幅为 ，且经过点 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求该噪声声波曲线 的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线 的解析式；
(2)求函数 的单调递减区间与图象的对称中心.
【答案】(1) ，
(2)单调递减区间为 ，对称中心为
【分析】（1）利用函数 的振幅可求得 的值，由 结合 的值，可得出函数
的解析式，再利用两个函数的图象关于 轴对称可求得函数 的解析式；
（2）求出函数 的解析式，利用余弦型函数的对称性可求得函数 的单调递减区间，利用
余弦型函数的对称性可求得函数 的对称中心坐标.
【详解】（1）解：因为函数 的振幅为 ，且 ，则 ，所以， ，
由题意可得 ，可得 ，
因为 ，则 ，所以， ，解得 ，
所以， .
易知 与 的图象关于 轴对称，所以， .
（2）解：由（1）知 ，
学科网（北京）股份有限公司，
由 ，可得 ，
故函数 的单调递减区间为 .
令 ，可得 ，
故函数 的图象的对称中心为 .
12．（23-24高一上·浙江湖州·期末）2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023
年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办
方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地 的半径为20米，圆心角 ，
承办方初步计划将其中的 （如下左图，点 位于弧 上， ， 分别位于半径 ，
）区域改造为花卉区，扇形荒地 内其余区域改造为草坪区．
(1)承办方进一步计划将 ， 设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为
元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；
(2)因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形 （如下右图，其中 ，
位于半径 上， 位于半径 上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形 设计为正方
形．求此时花卉区 的面积．
【答案】(1) 元
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设 ，过点 做 的垂线，求得 ，
，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由 ，求得 ，得到 ，结合 ，即可求
解.
【详解】（1）解：设 ， ，过点 做 的垂线交 于 ，
则 ， ，
所以 ，
则
所以预算应该设定为 元．
（2）解：由题意得 ， ，
因为 ，可得 ，
则 ，所以 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高一上·吉林延边·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮
的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度
为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时
针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开
座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过 分钟后游客甲距离地面的高度为 米，已知 关于 的函数关系式满足
（其中 ），求摩天轮转动一周的解析式 ；
(2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用正弦型函数的一般式 结合题意，求出 ， ， ， ，从而得
解；
（2）根据（1）求出的表达式，将 化简求得 ．
【详解】（1）因为 （其中 ， ， ，
由题意知： ，
，故 ，
， ，
又 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，
故解析式为： ， , ；
（2）令 ，则 ，即 ，
因为 , ，则 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故游客甲坐上摩天轮5分钟时和25分钟时，游客距离地面的高度恰好为30米.
14．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，在等腰直角 中， 为
线段 的中点，点 分别在线段 上运动，且 ，设 .
(1)设 ，求 的取值范围及 ；
(2)求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得 ，即可得 ，在 中，利
用 即可求出结果；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据条件得到 ，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为 为等腰直角三角形， 为线段 的中点，
所以 .
因为点 在线段 上运动，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最小值为 .
15．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，正方形 的边长为 ，点W，E，F，M分别
在边 ， ， ， 上， ， ， 与 交于点 ， ，记
学科网（北京）股份有限公司．
(1)记四边形 的面积为 的函数 ，周长为 的函数 ，
（i）证明： ；
（ii）求 的最大值；
(2)求四边形 面积的最小值．
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)答案见解析
【分析】（1）（i）根据已知条件求出 ， ，结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解；
（2）根据已知条件求出四边形 的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）（i）由题知： ， ．
所以 ．
（ii）由（i）知： ，
当 时， 时取等号，
所以 ，
故当 时， 的最大值为 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ．
令 ，所以 ，
令 ，
对称轴为 ，开口向上，由二次函数的性质知，
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
若 ，则 在 上单调递减，
所以 ，
综上，当 时，四边形 面积最小值为 ；
当 时，四边形 面积最小值为 .
16．（23-24高一上·福建莆田·期末）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断
变化．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射点的纬度， 为当地的纬度
值，约定北纬为正值，南纬为负值，那么这三个量满足 ．某科技小组以某年春分
（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，则第x天的太阳直射点的纬度y
近似满足 ，初始时间为 ，定义从某年春分到次年春分为一个回归年，一个回归
年以365天计算．
(1)求 的值；
(2)已知莆田某小区的纬度为 ，该小区内有A，B两幢楼房，A在B的正南方向，国家工程建设
标准用楼间距保障采光权，其中楼间距 前楼高 两楼距，已知A，B间的楼间距 1.34，求一个回
学科网（北京）股份有限公司归年中B楼底层能被正午太阳光照射到的天数．参考数据
【答案】(1)
(2)243天
【分析】（1）根据周期公式 计算可得；
（2）根据所给公式及数据，解三角不等式计算可得.
【详解】（1）由已知，纬度函数的周期为365，
所以 ；
（2）如图所示，当正午太阳光恰好照射到B楼底层时，
，从而 ，
要使得能被正午太阳光照射到，则太阳高度角 .
由太阳高度角公式可知 ，解得 ，
整理得 ，
解得 ，即 ，
又 ，从而 ，所以共有243天．
学科网（北京）股份有限公司
