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微专题 1 三角函数
[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函
数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，
难度为中等或偏下.
考点一 三角函数的运算
sinα ( π )
1.同角关系：sin2α+cos2α=1， =tan α α≠ +kπ，k∈Z .
cosα 2
kπ
2.诱导公式：在 ±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
2
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β；
tanα±tanβ
(3)tan(α±β)= .
1∓tanαtanβ
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α；
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；
2tanα
(3)tan 2α= .
1-tan2α
例1 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于 ( )
m
A.-3m B.-
3
m
C. D.3m
3
(2)已知α，β，γ均是锐角，设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θ(sin θ+cos θ)等于
( )
15
A.√3 B.
13
5
C.1 D.
13
( π)
[二级结论] (1)若α∈ 0， ，则sin α<α0，ω>0)图象的步骤
例2 (1)(2024·海口模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<0)的部分图象如图所示，则 ( )
( π)
A.f(x)=cos 3x+
6
( π)
B.f(x)=cos 2x+
6
( 5π)
C.f(x)=cos x-
6
( 5π)
D.f(x)=cos 2x-
6
( π)
(2)(多选)(2024·杭州统考)为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin 2x- 图象上所有的点
6
( )
π
A.向左平移 个单位长度
3
π
B.向右平移 个单位长度
3
2π
C.向左平移 个单位长度
32π
D.向右平移 个单位长度
3
[规律方法] 由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得
M+m M-m
B= ，A= .
2 2
2π 2π
(2)T定ω：由周期公式T= ，可得ω= .
ω T
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋
势.
跟踪演练2 (1)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(4x+φ)
( π) π (π)
|φ|< ，先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象关于y轴对称，则f
2 12 8
等于 ( )
1 1
A. B.-
2 2
√3 √3
C. D.-
2 2
(2)(2024·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)
( π) 3 π
A>0，ω>0，|φ|< 的部分图象，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移
2 2 8
个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
(9x π)
A.g(x)=2cos -
2 8
( π)
B.g(x)=2cos 2x-
8
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
考点三 三角函数的性质
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质π π π 3π
(1)单调性：由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)可
2 2 2 2
得单调递减区间.
π
(2)对称性：由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)可得对称轴.
2
π
(3)奇偶性：当φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；当φ=kπ+ (k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶
2
函数.
π π ( π)
例3 (1)已知直线x= ，x= 是函数f (x)=Asin(ωx+φ) A>0，ω>0，|φ|< 图象的两条相邻
12 3 2
(π) ( π )
的对称轴，且f -f =-4，则f(φ)等于 ( )
3 12
A.-√3 B.√3
C.-1 D.1
( π) ( π)
(2)(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数f(x)=sin 2x+ +cos 2x- ，则 ( )
3 6
( π π)
A.当x∈ - ， 时，f(x)的取值范围是(-√3，2]
3 6
[ π π]
B.f(x)在 - ， 上单调递增
8 6
C.f(x)在[0，π]上有2个零点
π
D.把f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到的新函数为奇函数
12
[规律方法] 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin x的
性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一
种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
跟踪演练3 (1)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=(
1 [ π ] [ √3 ]
√3sin x+cos x)cos x- ，若f(x)在区间 - ，m 上的值域为 - ，1 ，则实数m的取值
2 4 2
范围是 ( )
[π π) [π π]
A. ， B. ，
6 2 6 2
[π 7π) [π 7π]
C. ， D. ，
6 12 6 12
(2)(多选)(2024·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若f
( π) (5π) ( π 5π)
- =f =1，且∀x∈ - ， ，都有f(x)<1，则 ( )
6 6 6 6( 5π)
A.y=f(x)在 0， 上单调递减
12
(7π )
B.y=f(x)的图象关于点 ，0 对称
12
(1 π) 1 ( π) 7
C.若f x - = ，则sin 2x - =-
2 0 3 3 0 6 9
π
D.y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的函数g(x)是偶函数
3答案精析
例1 (1)A
(2)B [由基本不等式可得
sin2α+cos2β
sin αcos β≤ ，
2
sin2β+cos2γ
sin βcos γ≤ ，
2
sin2γ+cos2α
sin γcos α≤ ，
2
3 π 3
三式相加，可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤ ，当且仅当α，β，γ均为 时等号成立，所以tan θ= ，
2 4 2
sinθ(sinθ+cosθ) tan2θ+tanθ
则sin θ(sin θ+cos θ)= =
sin2θ+cos2θ tan2θ+1
15
= .]
13
跟踪演练1 (1)C (2)4√2
例2 (1)D (2)AD
跟踪演练2 (1)C (2)D
例3 (1)D
(2)AC [函数f(x)=
( π) ( π)
sin 2x+ +cos 2x-
3 6
( π) ( π π)
=sin 2x+ +cos 2x+ -
3 3 2
( π) ( π)
=sin 2x+ +sin 2x+
3 3
( π)
=2sin 2x+ .
3
( π π)
选项A，当x∈ - ， 时，
3 6
π ( π 2π)
2x+ ∈ - ， ，
3 3 3
( π) ( √3 ]
所以sin 2x+ ∈ - ，1 ，
3 2
所以f(x)的取值范围是(-√3，2]，故A正确；[ π π]
选项B，当x∈ - ， 时，
8 6
π π 2π
≤2x+ ≤ ，
12 3 3
( π)
f(x)=2sin 2x+ 不单调，
3
故B错误；
选项C，当x∈[0，π]时，
π π 7π
≤2x+ ≤ ，
3 3 3
π π π 5π
可知当2x+ =π以及2x+ =2π，即x= 以及x= 时，f(x)=0，
3 3 3 6
在[0，π]上有2个零点，故C正确；
π ( π π)
选项D，f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到g(x)=2sin 2x+ + =2cos 2x的图象，该函数为偶函数，
12 3 6
故D错误.]
跟踪演练3 (1)D (2)BC
