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专题二 微专题 1 三角函数
(分值：84分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·南充模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P
( 3 4) ( π)
- ， ，则cos α+ 等于( )
5 5 4
√2 √2
A.- B.
10 10
7√2 7√2
C.- D.
10 10
π
2.(2024·石嘴山模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐
4
标不变，得到g(x)的图象，则g(x)等于( )
A.cos 4x B.-cos 4x
C.cos x D.-cos x
3 ( 4)
3.(2024·郑州模拟)若复数z=sin θ- + cosθ- i是纯虚数，则tan 2θ等于( )
5 5
24 24
A.- B.±
7 7
24 24
C.- D.±
25 25
( π) ( 5 ) (1 )
4.(2024·渭南模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0，0<φ< 的图象如图所示.已知A - ，-2 ，B ，2 ，
2 3 3
将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
(π π)
A.g(x)=2sin x-
2 3
(π π)
B.g(x)=2sin x+
2 3
(π π)
C.g(x)=-2sin x-
2 3(π π)
D.g(x)=-2sin x+
2 3
( π) ( π)
5.(2024·长沙模拟)已知α∈ 0， ，且√2cos 2α=sin α+ ，则sin 2α等于( )
2 4
3 3
A.- B.
4 4
C.-1 D.1
( π)
6.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin 3x- 的交点个数为( )
6
A.3 B.4
C.6 D.8
1 1
7.(2024·广东省百日冲刺联合学业质量监测)已知cos2α-cos2β=- ，sin(α-β)= ，则cos(2α+2β)等于( )
12 4
7 7
A.- B.
9 9
2 2
C.- D.
9 9
(π π)
8.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈ ， ，若存在x ≠x ，使得f(x )=f(x )，则实数a的取
4 3 1 2 1 2
值范围是( )
A.(-∞，1] B.[√3，+∞)
C.(1，√3) D.[1，√3]
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
( π) π
9.(2024·合肥模拟)已知x ，x 是函数f(x)=2sin ωx- (ω>0)的两个零点，且|x -x |的最小值是 ，则( )
1 2 6 1 2 2
( π)
A.函数y=f x- 为奇函数
6
π
B.f(x)的图象关于直线x=- 对称
6
π
C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到
6
[π ]
D.f(x)在 ，π 上有且仅有1个零点
2
10.(2024·芜湖模拟)在平面直角坐标系Oxy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终
b+a b-a
边经过点M(a，b)，|OM|=m(m≠0)，定义f(θ)= ，g(θ)= ，则( )
m m
A.f(θ)=sin θ+cos θ( π)
B.g(θ)=√2sin θ-
4
f(θ) 3
C.若 =2，则sin 2θ=
g(θ) 4
D.f(θ)g(θ)是周期函数
11.(2024·日照模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与
f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
( 7π π)
B.函数f(x)在 - ，- 上单调递减
12 3
π π
C.函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象关于直线x= 对称
12 2
5π √3π ( π)
D.若圆C的半径为 ，则f(x)= sin 2x+
12 6 3
三、填空题(每小题5分，共15分)
1
12.(2024·南京联考)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，再将得到
2
π
的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值： .
6
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=√2+1，则
sin(α+β)= .
( π) ( π) π
14.(2024·南通统考)已知函数f(x)=3sin 2x- -2cos2 x- +1，把函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，
3 6 6
[ π]
得到函数g(x)的图象.若x ，x 是关于x的方程g(x)=a在 0， 内的两根，则cos(x +x )的值为
1 2 2 1 2
.
15题6分，16题5分，共11分
15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论
是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些
函数的定义：①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α；
1
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即 =csc α；
y
1
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即 =sec α.
x
下列结论正确的有( )
5π
A.csc =-√2
4
B.cos α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x的定义域为｛x|x≠kπ，k∈Z｝
D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5
( 2π)
16.在正三角形ABC中，由e·(⃗AB+⃗BC+⃗CA)=e·0=0(e为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos θ+
3
( 4π)
+cos θ+ =0，其中θ=〈e，⃗AB〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式 ；
3
通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°= .答案精析
1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C
7.B 8.C 9.BD 10.ABD
2π
0+ π
11.ACD [A选项，由对称性可知C点的横坐标为 3 = ，
3
2
设f(x)的最小正周期为T，
1 π ( π) π
则 T= - - = ，
2 3 6 2
解得T=π，A正确；
2π ( π ) ( π )
B选项，因为ω>0，所以ω= =2，点 - ，0 在图象上，将其代入函数解析式得sin - +φ =0，
T 6 3
π
又0<φ<π，故φ= ，
3
( π)
故f(x)=Asin 2x+ ，
3
7π π
当- 0，令z=2x+ ，则y=sin z在 - ，- 上不单调，
3 6 3
( 7π π)
故函数f(x)在 - ，- 上不单调递减，B错误；
12 3
π
C选项，函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到
12
( π π)
g(x)=Asin 2x+ +
6 3
( π)
=Asin 2x+ =Acos 2x的图象，
2
(π) π
其中g =Acos π=-A，故g(x)的图象关于直线x= 对称，C正确；
2 2
5π
D选项，若圆C的半径为 ，
12
5π π
即|CM|= ，又x = ，
12 C 3(π) 2 (5π) 2
故 +|OM|2= ，
3 12
π
解得|OM|= ，
4
( π)
所以将 0， 代入
4
( π)
f(x)=Asin 2x+ 中得，
3
π π √3π
Asin = ，解得A= ，
3 4 6
√3π ( π)
则f(x)= sin 2x+ ，
6 3
D正确.]
π
12.- (答案不唯一)
6
解析 由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为
[ ( π) ]
g(x)=sin 4 x+ +φ
6
( 2π )
=sin 4x+ +φ ，
3
又g(x)的图象关于y轴对称，
2π π
所以 +φ= +kπ，k∈Z，
3 2
π
解得φ=kπ- ，k∈Z，
6
π
令k=0，得φ=- .
6
2√2
13.-
3
解析 方法一 由题意得tan(α+β)
tanα+tanβ 4
= =
1-tanαtanβ 1-(√2+1)
=-2√2，
( π)
因为α∈ 2kπ，2kπ+ ，
2
( 3π)
β∈ 2mπ+π，2mπ+ ，k，m∈Z，
2
则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α+β)=-2√2<0，
3π
则α+β∈((2m+2k)π+ ，
2
(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
则sin(α+β)<0，
sin(α+β)
则 =-2√2，
cos(α+β)
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，
2√2
解得sin(α+β)=- .
3
方法二 因为α为第一象限角，β为第三象限角，
则cos α>0，cos β<0，
cosα
cos α=
√sin2α+cos2α
1
= ，
√1+tan2α
cosβ
cos β=
√sin2β+cos2β
-1
= ，
√1+tan2β
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β
-4
=
√1+tan2α√1+tan2β
-4
=
√(tanα+tanβ) 2+(tanαtanβ-1) 2
-4 2√2
= =- .
√42+2 3
√10
14.-
10
( π)
解析 f(x)=3sin 2x- -
3
( π)
2cos2 x- +1
6( π) ( π)
=3sin 2x- -cos 2x-
3 3
( π )
=√10sin 2x- -φ ，
3
√10 3√10
其中sin φ= ，cos φ= ，
10 10
π
因为把函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，
6
( π)
所以g(x)=f x+
6
[ ( π) π ]
=√10sin 2 x+ - -φ
6 3
=√10sin(2x-φ)，
[ π]
当x∈ 0， 时，
2
2x-φ∈[-φ，π-φ]，
因为x ，x 是关于x的方程
1 2
[ π]
g(x)=a在 0， 内的两根，
2
2x -φ+2x -φ
1 2
所以有
2
π π
= x +x = +φ，
2 1 2 2
⇒
(π )
因此cos(x +x )=cos +φ
1 2 2
√10
=-sin φ=- .
10
1
5π
15.ABD [csc = 5π =-√2，
4 sin
4
A正确；
1
cos α·sec α=cos α· =1，
cosα
B正确；
函数f(x)=sec x的定义域为
{ | π }
x x≠kπ+ ，k∈Z ，C错误；
2sec2α+sin2α+csc2α+cos2α
1 1
=1+ +
cos2α sin2α
1 4
=1+ =1+ ≥5，
sin2αcos2α sin22α
当sin 2α=±1时，等号成立，D正确.]
( 2π) ( 4π) [ 2(n-1)π] 3
16.cos θ+cos θ+ +cos θ+ +…+cos θ+ =0，θ∈R，n≥3
n n n 2
解析 记单位向量e，在边长为1的正n(n≥3)边形A A A …A 中，
1 2 3 n
因为e·(⃗A A +⃗A A +⃗A A +…+⃗A A )=e·0=0，
1 2 2 3 3 4 n 1
所以e·⃗A A +e·⃗A A +e·⃗A A +…+e·⃗A A
1 2 2 3 3 4 n 1
( 2π) ( 4π)
=cos θ+cos θ+ +cos θ+
n n
[ 2(n-1)π]
+…+cos θ+ =0，
n
1+cos10° 1+cos130° 1+cos250°
cos25°+sin225°+cos2125°=cos25°+cos265°+cos2125°= + + .
2 2 2
( 2π)
由恒等式cos θ+cos θ+ +
3
( 4π)
cos θ+ =0对任意θ∈R恒成立，
3
可知cos 10°+cos(10°+120°)+
cos(10°+240°)=0，
即cos 10°+cos 130°+cos 250°=0，
cos25°+sin225°+cos2125°
1+cos10° 1+cos130° 1+cos250° 3
= + + = .
2 2 2 2
