文档文本内容
专题5-5 三角恒等变换及其应用
【题型1】和差公式及其逆用
【题型2】二倍角公式的简单应用
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合（换元与凑角）
【题型4】二倍角与齐次式化简
【题型5】给值求值（角）问题（不拆括号）
【题型6】辅助角公式及其应用
【题型7】和差公式与二倍角公式结合
【题型8】三角形中的恒等变换
【题型9】给式子求角（值）问题
【题型10】扩角降幂与缩角升幂
【题型11】利用三角恒等变换化简求值
【题型12】化为同名函数
【题型13】积化和差、和差化积公式
【题型14】恒等变形的综合应用
【题型1】和差公式及其逆用
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
:sin(α+β)=sinα cos β+cosα sin β
:sin(α−β)=sinα cos β−cosα sin β
2、两角和与差的余弦：
:cos(α+β)=cosα cos β−sinα sin β
:cos(α−β)=cosα cos β+sinα sin β
3、两角和与差的正切：
:
.
:
.
要注意的是：
题型解读
总览
知识梳理与常考题型
题型汇编
一、
二、
【例题1】已知
，则a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【例题3】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【巩固练习5】若
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【巩固练习6】
的值等于（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【题型2】二倍角公式的简单应用
二倍角公式
①
；
②
；
③
；
【例题1】已知角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习1】已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知角
的终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合（换元与凑角）
若题目中出现了角的和差结构比如
这类条件，一般不拆括号，先尝试换元进行配凑，
若能凑出
则用诱导公式，否则就用和差公式
【例题1】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】已知
，
，则
【巩固练习1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】已知
1
cos
6
3
，则sin 2
6
。
【巩固练习4】已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型4】二倍角与齐次式化简
【二倍角公式变形】
完全平方式：
平方差公式：
对于二次结构：
可以通过出除“1”来化为齐次式
【例题1】（2021·全国·统考高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知角θ 的大小如图所示，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．4
【巩固练习1】（2021·全国·统考高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】若
，
，则
.
【巩固练习3】已知sin
2cos
，则
sin (1
sin 2 )
(
sin
cos
)
A．
6
5
B．
2
5
C．
2
5
D．
6
5
【巩固练习4】已知角α 满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，
它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为
，
大正方形的边长为
，小正方形的边长为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5】给值求值（角）问题（不拆括号）
给角求值与给值求值拆凑角常见的配角技巧：①
；
；②
；
③
；
④
；
⑤
．
⑥
，
【例题1】已知
，且
，则
=________
【例题2】已知
均是锐角，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】已知
，
，则
【巩固练习1】已知角
，
均在
内，
，
，则角
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】设为锐角，若
3
cos(
)
12
5
，则sin(
)
(
4
)
A．
3 3
4
10
B．
3
4 3
10
C．
3 3
4
10
D．
3
4 3
10
【巩固练习3】已知
，
，
，
．
(1)求
的值；(2)求
的值．
【巩固练习4】若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6】辅助角公式及其应用
一、对于形如
的式子，可变形如下：
=
令
，
则
=
=
其中
角所在象限由
的符号确定，
与
在同一象限,
角的值由
确定
二、辅助角公式的应用：研究三角函数的性质时往往需要先通过辅助角公式把解析式化成
的形式
【例题1】当
时，函数
的（ ）
A．最大值为1，最小值为
B．最大值为1，最小值为
C．最大值为2，最小值为
D．最大值为2，最小值为
【例题2】已知函数
在
处取到最大值，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【巩固练习1】当函数
取得最大值时，
.
【巩固练习2】已知
,则
.
【巩固练习3】若
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】（23-24 高一上·湖北孝感·期末）已知函数
，求函数f
（x）在区间
上的单增区间为 .
【巩固练习5】若
，则
．
【巩固练习6】化简：
.
【巩固练习7】已知函数
的定义域为
，在定义域内存在唯
一
，使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型7】和差公式与二倍角公式结合
与
相加减可以得到
与
有关的式子
所以以上4 个式子知二求二，而二倍角公式则可以通过配凑得出
，
【例题1】（2023·新高考I 卷T8）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知
均为锐角，
，且
，则
.
【巩固练习1】（2024 届·广东佛山·统考）已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】若
，则
（ ）
【巩固练习4】（重庆巴蜀中学适应性月考）（多选）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D
．
【题型8】三角形中的恒等变换
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A,B,C 为△ABC 的三个内角，则有
①
，
②
，
③若
，则
④正切恒等式
由③可知：：
，
去分母得
移项得
⑤在△ABC，
与
是等价的，结合图像可以得出这个结论
【例题1】在
中，下列等式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】在△ABC 中，若
，则△ABC 是（ ）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【巩固练习1】若在
中，
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【巩固练习2】（高一上·湖北武汉·期末）在
中，
为它的三个内角，且满足
，
，则
.
【巩固练习3】在△ABC 中，
AB 边上的高
，则
的最小值为
.
【巩固练习4】已知
为斜三角形．
(1)证明：
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的最小值．
【题型9】给式子求角（值）问题
解题策略：
1、若题目中出现了角的和差结构比如
，一般不拆括号，先尝试进行配凑
2 、对于
这类式子，若
和
在同一象限，则有
；
若
和
不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有
，
若是在三，四象限，则有
，所以不能直接去掉sin，要先看
和
之间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到.
3、若题目中给的角可能在两个象限中，一般需要结合其他条件，确定角最终所在象限
如：已知
,
分析：
，则
，而
，
故
【例题1】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知
，则
（ ）
A．5
B．
C．-5
D．
【例题3】（深圳中学校考阶段练习）已知
，且
，则
=
．
【例题4】设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题5】已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【巩固练习1】已知
,
，则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
【巩固练习2】已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【巩固练习3】已知角
，且
，则
________
【巩固练习4】已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习5】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习6】若
，则
.
【巩固练习7】已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型10】扩角降幂与缩角升幂
扩角降幂：
（可用二倍角公式推导）
缩角升幂：化为半角即缩角升幂，
（1）当分子或分母出现
或
这类结构时可以考虑令
（2）当条件出现
时，可以考虑换元令
，只要灵活运用二倍角公式就不需要记半角公式了
【例题1】
（
）
A．1
B．
C．
D．-1
【例题2】已知
，则
.
【例题3】已知
，则
的值为 ．
【巩固练习1】
，则
2
2cos
1
6
2
，=
【巩固练习2】若
3
sin
5
，
是第三象限角，则
1
tan 2
(
1
tan 2
)
A．2
B．2
C．
8
3
D．
8
3
【巩固练习3】已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习4】已知
，求
的值.
【巩固练习5】
【题型11】利用三角恒等变换化简求值
例：对于
可以考虑引入特殊角30°，变为
，到达统
一角度的目的
【例题1】算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】化简：
（ ）
A．
B．
C．4
D．8
【例题3】计算:
【巩固练习1】
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【巩固练习2】
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【巩固练习3】若
，则
.
【巩固练习4】
的值为 .
【巩固练习5】已知
，则
________
【巩固练习6】化简求值（1）
； （2）
.
【题型12】化为同名函数
统一函数名：
，具体是选
还是
要看题目给出的范围
【例题1】（云南师范大学附属中学月考）设
，
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】若
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题3】若两个锐角
，
满足
，则
.
【巩固练习1】若
，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】（2023·重庆市第八中月考）已知
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习3】若两个锐角
，
满足
，则
.
【巩固练习4】（广州市天河区综合测试）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型13】积化和差、和差化积公式
1、积化和差
2、和差化积
和差化积公式助记口诀
正加正，正在前；
正减正，余在前；
余加余，余并肩；
余减余，负正弦。
积化和差公式助记口诀1
正余余正，正加正减；
余余正正，余加负余减。
积化和差公式助记口诀2
正弦相加正在前，
正弦相减余提前，
余弦相加无正弦，
余弦相减负正弦
和差化积的应用：以2023 年新高考I 卷第8 题为例
已知
，则
简
析
：
由
和
差
化
积
，
可
得
，
【例题1】
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】已知对任意的角α，β，满足
，
.则当
，
时，
；若
，则
（填“>”“<”或“＝”）.
【例题3】求值：
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【巩固练习1】
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【巩固练习2】
．
【巩固练习3】已知
则
的值为 .
【巩固练习4】（1）
；
（2）
．
【题型14】恒等变形的综合应用
【例题1】已知函数
，在曲线
与直线
的交点中，若相邻交点的距离为
.
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，解不等式
；
(3)若
，且关于
的方程
有三个不等的实根，求实数
的取值范
围.
【例题2】如图，已知面积为
的扇形
，半径为，
是弧
上任意一点，作矩形
内
接于该扇形．
(1)求扇形圆心角
的大小；
(2)点
在什么位置时，矩形
的面积最大？并说明理由．
【巩固练习1】已知函数
，在曲线
与直
线
的交点中，若相邻交点的距离为
.
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，解不等式
；
(3)若
，且关于
的方程
有三个不等的实根，求实数
的取值范
围.
【巩固练习2】如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边
为半圆的直径，
为半圆的
圆心，
，
，现要将此木块锯出一个等腰三角形
，其底边
，点
在半圆
上，点
在线段
上，三角形木块选
的面积记为S.
(1)①设点
到底边
的距离为
，将S 表示为
的函数
；
②设
，将S 表示为
的函数
；
(2) 从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点
在何处时，三角形木块
的面积S
最大？并求出该最大值.
(3) 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也
可联系微信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
(4)
