热点1-1集合与复数（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年高考数学热点·重点·难点专练（新高考专用）

热点 1-1 集合与复数 集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，结合有限集、无 限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第 1或2题，以简单 题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。 【题型1 集合的含义与表示】 满分技巧 与集合元素有关问题的解题策略 1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合； 然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． 2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互 异性． 【例1】（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知集合 ， ，则 中的元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）集合 中的元素个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）（多选）下列关系正确的有（ ）A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三课时练习）集合 中只含有1个元素，则实数a 的取值是 ． 【变式1-4】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知集合 ，若 ，则 （ ） A． 或3 B．0 C．3 D． 【题型2 集合与集合间的关系】 满分技巧 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； A B 第二步：看集合中是否含有参数，若 ， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 【例2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023上·上海·高三校考期中）设集合 ， ， 则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则a的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023上·湖北·高三校联考期中）已知集合 ，且 ，则 （ ） A．-1 B．1 C．-3 D．3【变式2-4】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知集合 ， ， 若 ，则实数a的值为（ ） A．1 B．0或2 C．1或2 D．2 【题型3 有限集合的子集个数问题】 满分技巧 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 【例3】（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知集合 ，则 的真子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）设集合 ，则 的真子集的个数是（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式3-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合 ， ， ，则 的子集共有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．64个 【变式3-3】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件 的集合 有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式3-4】（2023上·安徽·高三校联考期中）若集合 有7个真子集，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D．【题型4 集合的交并补运算】 满分技巧 集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； ②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 【例4】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）已知 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·天津河东·高三统考期中）已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·江苏无锡·天一中学校考模拟预测）已知集合 ， ， 且 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）设全集 ，集合 ， ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围． 【题型5 韦恩图在集合中的应用】 满分技巧1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用； 2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后 结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比 较直观、形象切解答时不易出错。 【例5】（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知 是全集 的非空子集，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·广东佛山·统考一模）若全集 ，集合 ， ，则图 中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023·重庆渝中·高三统考期中）设 均为非空集合，且满足   ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知全集为U，集合M，N满足 ，则下列运算结果一定为U的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴 影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【题型6 集合的新定义问题】满分技巧 正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、 新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突 破口. 【例6】（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合 ．已知集合 ， ，则 的元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知集合 ，定义 叫做集合 的长度，若集合 的长度为4，则 的长度为（ ） A．3 B．4 C．5 D．10 【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若 且 ， ，则称a为集合A的孤立元素． 若集合 ，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集 ， ，定义 ， ， ，若集合 ，则集合 中所有元素之和为（ ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2023·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知全集 且集合 、 是非空集合，定义 且 ，已知 ， ，则 . 【题型7 复数的基本运算】 【例7】（2023·全国·模拟预测）已知 为虚数单位，且 ，则 （ ） A．3 B． C．5 D．【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知复数 满足 ，则 （ ） A．3 B．25 C．9 D．5 【变式7-4】（2023·天津·高三咸水沽第一中学校考期中）已知 为实数，若复数 为纯 虚数，则 的值为 . 【题型8 与复数有关的最值问题】 【例8】（2023·全国·模拟预测）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式8-1】（2023·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．3 C． D． 【变式8-2】（2023·上海·高三宜川中学校考期中）复数z满足 （i为虚数单位），则 的最大 值为 ． 【变式8-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）若复数 满足 ，则 的最小值为 .【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足 ，则 的最小值为 （建议用时：60分钟） 1．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知集合 ，则满足 的实数 的 个数为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知全集 ， ，若 ，则（ ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·高三校考期中）设 ， ，则 中元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）设集合 ， ，则满足集合 的集合 的子集个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 5．（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知集合 ，则 的真 子集的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为 ，集合 ， 满足 ，则下列运算结果为 的是（ ） A． B． C． D． 7．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知集合 ， ，若 ，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知集合 ， ，则（ ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·模拟预测）已知集合 ， ， ，则集合 的 个数为（ ）A．4 B．8 C．7 D．15 10．（2023·河南·模拟预测）已知集合 中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合 ， ， ， ，若 ， ，则下列说法 正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（2023·河南·高三校联考期中）已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 13．（2023·辽宁·高三统考期中）设全集 ， ，则（ ） A． B． C． D． 14．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）欧拉公式eix cosxisinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学 家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里 sin2a1 占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点 eai 1i 位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2023·上海·上海交大附中校考三模）已知 ，集合 ，若集合 恰 有8个子集，则 的可能值有几个（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若 且 , ,则称a为集合A的孤立元素．若集合 ,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ） A． B． C． D． 17．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知 ， ，若 ，则 的 取值范围（ ） A． B． C． D． 18．（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知M，N均为 的子集，若存在 使得 ，且 ， 则（ ） A． B． C． D． 19．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知集合 ，集合 ，则下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 20．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ） A．若 ，则 B．若 ，则Z在复平面内的轨迹为圆 C．若 ，满足 ，则 的取值范围为 D．若 ，则 的取值范围为