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重难点 2-2 抽象函数及其应用 8 大题型
抽象函数指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成
的数学问题叫做抽象函数问题。抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表
现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之
一。
【题型1 抽象函数的定义域问题】
满分技巧
求抽象函数的定义域
①已知 的定义域，求 的定义域：
若 的定义域为 ，则 中 ，解得 的取值范围即为 的定义域;
②已知 的定义域，求 的定义域：
若 的定义域为 ，则由 确定 的范围，即为 的定义域；
③已知 的定义域，求 的定义域:
可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域；
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交
集.
注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是 的取值范围，同一个 下括号内的范围是一样的.
【例1】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是 .
【变式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为 .
【变式1-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第三十二中学校校考阶段练习）已知函数 的定义
域是 ，则函数 的定义域是 ．
【题型2 抽象函数的求值问题】
满分技巧
以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽
象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令 等特殊值求抽象函数
的函数值。
【例2】（2024·山西晋城·统考一模）已知定义在 上的函数 满足 ，
， ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2-1】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ， ，
且 ，则 （ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
【变式2-2】（2023·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数 满足 ，
则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）设函数 的定义域是 ，且对任意正实数 ，y，都有恒成立，已知 ，则 .
【变式2-4】（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）对于任意的实数 、 ，函数 满足关系式
，则 ．
【题型3 抽象函数的解析式问题】
满分技巧
①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)；
②凑合法：在已知 的条件下，把 并凑成以 表示的代数式，再利用代换即可求
；
③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；
④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；
⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式；
⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如 )，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变
换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求 的解析式.
【例3】（2023·江苏扬州·高三统考开学考试）写出满足 的函数的解析式
．
【变式3-1】（2024·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数 的定义域为R，且
， ，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足 ，并且对任意实数x，y都
有 ，求 的解析式.
【变式3-3】（2023·江苏·高一课时练习）设 是R上的函数， ，并且对于任意的实数 都
有
，求 .
【题型4 抽象函数的值域问题】
【例4】（2024·全国·高三专题练习）若函数 的值域是 ，则函数 的值域为
．
【变式4-1】（2022·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足，若函数 在区间 上的值域为 ，则 在区间 上的值域是
.
【变式4-2】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知 ，且 的定义域为 ， ，
值域为 ， ，设函数 的定义域为 ､值域为 ，则 （ ）
A． B． ， C． ， D． ，
【变式4-3】（2023·湖南·高三祁东县第一中学校联考阶段练习）（多选）已知函数 的定义域和值域
均为 ，则（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的定义域为
C．函数 的值域为 D．函数 的值域为
【变式4-4】（2022·全国·高三课时练习）已知函数 的定义域是 ，值域为 ，则下列四个函
数① ；② ；③ ；④ ，其中值域也为 的函数个数
是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 抽象函数的单调性问题】
满分技巧
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
或 ;
②若给出的是“积型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
或 .
【例5】（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数 对于任意x， ，总有
，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为
．【变式5-1】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）（多选）已知定义在 的函数 满足：当
时，恒有 ，则（ ）
A． B．函数 在区间 为增函数
C．函数 在区间 为增函数 D．
【变式5-2】（2023·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考期中）已知定义在 上的函数 满足：①对
， ， ；②当 时， ；③ .
（1）求 ，判断并证明 的单调性；
（2）若对任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【变式5-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）函数 的定义域为 ，对于 ，
， ，且当 时， ．
（1）证明： 为减函数；
（2）若 ，求不等式 的解集．
【变式5-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 对任意实数 恒有
成立，且当 时， .
（1）求 的值;
（2）判断 的单调性，并证明;
（3）解关于 的不等式: .
【题型6 抽象函数的奇偶性问题】
满分技巧
奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断 和 的关系.
【例6】（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）（多选）已知 是定义在 上不恒为0的偶
函数， 是定义在 上不恒为0的奇函数，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为偶函数
【变式6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知 ， 都是定义在 上且不恒为0的函数，则（ ）
A． 为偶函数
B． 为奇函数
C．若 为奇函数， 为偶函数，则 为奇函数
D．若 为奇函数， 为偶函数，则 为非奇非偶函数
【变式6-2】（2023·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知 ，且
，则 是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定
【变式6-3】（2023·重庆·高三统考阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数 满足
，定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． 不是奇函数 B． 既是奇函数又是偶函数
C． 是奇函数 D． 既不是奇函数又不是偶函数
【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
， ， ，且 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）判断 的奇偶性，并证明．
【题型7 抽象函数的周期性问题】
满分技巧
函数周期性的常用结论（ 是不为0的常数）
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 ；
（5）若 ，则 ；
（6）若 ，则 （ ）；
【例7】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为R，对任意实数 ，都满足且， ，当 时， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且对任
意实数 ， 满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【变式7-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数 的定义域为 ， ， ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则 （ ）
A．2024 B． C． D．0
【变式7-4】（2023·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则 .
【题型8 抽象函数的对称性问题】
满分技巧
1、轴对称：
（1）函数 关于直线 对称
（2）函数 关于直线 对称 .
2、中心对称：
（1）函数 关于点 对称 ；
（2）函数 关于点 对称
3、函数的奇偶性和对称性的关系：
（1）若 为奇函数，则 关于 对称；（2）若 为偶函数，则 关于 对称；
（3）若 为奇函数，则 关于 对称；
（4）若 为偶函数，则 关于 对称.
【例8】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知对任意实数x，y，函数 (不是常函数）满足
，则 （ ）
A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数
【变式8-1】（2023·四川南充·高三南充高级中学校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，且与曲线 交于点 ， ，…， ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
和 都是奇函数，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于 对称
C． 是周期函数 D．
【变式8-3】（2024·河南漯河·高三统考期末）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若函数 为奇函数，函数 为偶函数， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
与 均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于点 对称
C． D．（建议用时：60分钟）
1．（2022·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若函数 的定义域为 ，则
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）下列函数中，满足 的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数 满足： ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 定义域为 ，对 ，恒有
，则下列说法错误的有（ ）
A． B．
C． D．若 ，则 周期为
6．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且对任意非零实数 ，
都有 .则函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
7．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函
数，且 在 单调递减，则（ ）
A． 在 单调递减 B． 在 单调递减
C． 在 单调递减 D． 在 单调递减
8．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）若函数 的定义域为 ，且
， ，则（ ）
A． B． 为偶函数 C． 的图象关于点 对称 D．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数 ，满足 ， 都有．则（ ）
A． B． C． 为奇函数 D． 为偶函数
10．（2024·广东汕头·高三统考期末）（多选）已知定义在 上的函数 满足： ，
，且当 时， ，若 ，则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．
11．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：
的函数解析式为 .
12．（2023·四川泸州·统考一模）若函数 对一切实数 ， 都满足 且
，则 ．
13．（2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ，
，则 ．
14．（2023·辽宁·高三校联考开学考试）定义在R上的函数 对任意 ，都有
，当 时， .
（1）求 的值；
（2）试判断 在R上的单调性，并说明理由；
（3）解不等式 .
15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数 对任意 ， ，总有
，且当 时， ， ．
（1）求证： 是 上的奇函数；
（2）求证： 是 上的减函数；
（3）若 ，求实数 的取值范围．
