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专题 18.3 分式方程【十大题型】
【人教版】
【题型1 解分式方程的一般方法】.......................................................................................................................1
【题型2 换元法解分式方程】...............................................................................................................................4
【题型3 裂项法解分式方程】...............................................................................................................................7
【题型4 根据分式方程的解求值】.....................................................................................................................11
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】.....................................................................................................13
【题型6 已知分式方程有增根求参数】.............................................................................................................16
【题型7 已知分式方程有整数解求参数】.........................................................................................................18
【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】......................................................................................22
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】.......................................................................................................25
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】.................................................................................................29
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方
程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型1 解分式方程的一般方法】
1 4
【例1】（2024·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程： +3= 的解是_________.
x-2 x-2
【答案】3
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．1 4
+3=
【详解】解：
x-2 x-2
1+3（x-2）=4
1+3x-6=4
3x=4+6-1
3x=9
x=3
检验，当x=3时，x-2=1≠0，故x=3是分式方程的解．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的一般步骤为将分式方程化成整式方程、解整式方程、
检验．
【变式1-1】（2024·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：
2x x
(1) - =1；
x+2 x-1
1 2 12
(2) - = ．
x+3 3-x x2-9
2
【答案】(1)x=
5
(2)分式方程无解
【分析】（1）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可；
（2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x-1)得∶
2x(x-1)-x(x+2)=(x+2)(x-1)
2x2-2x-x2-2x=x2+x-2
5x=2
2
x=
5
2
检验：当x= 时，(x+2)(x-1)≠0，
5
2
∴x= 是原方程的的解．
5
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+3)(x-3)得x-3+2(x+3)=12，
x-3+2x+6=12，
3x=9，
x=3．
检验：当x=3时，(x+3)(x-3)=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意验根．
x-8 1
【变式1-2】（2024·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式 与分式 互为
x-7 7-x
相反数．
【答案】9
x-8 1
【分析】根据相反数的性质可得 + =0，解分式方程即可得出结果．
x-7 7-x
x-8 1
【详解】解：∵分式 与分式 互为相反数，
x-7 7-x
x-8 1
∴ + =0，
x-7 7-x
x-8 1
整理得： - =0，
x-7 x-7
去分母得：x-8-1=0，
解得：x=9，
x-8 1
经检验x=9是 + =0的解，
x-7 7-x
x-8 1
∴x=9时，分式 与分式 互为相反数，
x-7 7-x
故答案为：9．
【点睛】本题考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得0列出分式方程是解
本题的关键，注意分式方程需要检验．
x+5 x+2 x+3 x+4
【变式1-3】（2024·上海·上外附中七年级期末）解方程： + = +
x+4 x+1 x+2 x+3
5
【答案】x= - .
21 1 1 1
【分析】先将原方程变形1+ +1+ =1+ +1+ ，再进一步化简转化为整式方程求解即可.
x+4 x+1 x+2 x+3
【详解】解:原方程可变形为，
1 1 1 1
1+ +1+ =1+ +1+ ，
x+4 x+1 x+2 x+3
1 1 1 1
化简得， + = + ，
x+4 x+1 x+2 x+3
2x+5 2x+5
即 = ，
(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)
∴2x+5=0，
5
解得，x= - ,
2
5
检验，把x= - 代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，
2
5
∴原方程的解为x= - .
2
【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.
【知识点2 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为
某个字母，而是直接整体求解。
【题型2 换元法解分式方程】
【例2】（2024·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
x-1 4x
解方程： - = 0．
x x-1
x-1 4
解：设y= ，则原方程化为：y- = 0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y
x y4
＝±2都是方程y- = 0的解，
y
x-1 x-1 1
∴当y＝2时， = 2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时， =- 2，解得：x= ．
x x 3
1
经检验：x＝﹣1或x= 都是原分式方程的解，
3
1
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
x-1 x 5
(1)若在方程 + = 中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
x x-1 2
x-1 3
(2)模仿上述换元法解方程： - - 1＝0．
x+2 x-1
x-1 1 5 1
【答案】(1) ， y+ = ， x= 或x＝﹣1
x y 2 2
1
(2)x=-
2
x-1
【分析】（1 ）根据换元法设 = y，可得关于y的分式方程，解分式方程，再解分式方程即可得原方
x
程的解；
x-1 x+2
（ 2）根据分式的加减，可得： - = 0，根据换元法，可得答案．
x+2 x-1
(1)
x-1 1 5
解：设 = y，则原方程化为：y + = ，
x y 2
1
方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y= 或2，
2
1 1 5
经检验：y= 和2都是方程y+ = 的解．
2 y 2
1 x-1 1
当y= 时， = ，解得x＝2；
2 x 2
x-1
当y＝2时， = 2，解得：x＝﹣1．
x
1
经检验：x= 和x＝﹣1是原分式方程的解，
2x-1 1 5 1
故答案为: ，y+ = ，x= 或x＝﹣1
x y 2 2
(2)
x-1 x+2
解：原方程化为： - = 0，
x+2 x-1
x-1 1
设y= ，则原方程化为：y- = 0，
x+2 y
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
1
经检验：y＝±1都是方程y- = 0的解．
y
x-1
当y＝1时， = 1，该方程无解；
x+2
x-1 1
当y＝﹣1时， =- 1，解得：x=- ．
x+2 2
1
经检验：x=- 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解为x=- ．
2
【点睛】本题考查了用换元法解一类特殊的分式方程，关键是根据方程特点正确换元，注意两次解分式方
程都要检验．
x2+1 x
【变式2-1】（2024·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程 - +1=0，
x 3(x2+1)
x2+1
如果设 = y，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
x
A．3 y2+3 y-1=0 B．3 y2-3 y-1=0
C．3 y2- y+1=0 D．3 y2- y-1=0
【答案】A
x2+1 1
【分析】由 = y，原方程可化为y- +1=0，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
x 3 y
x2+1
【详解】解：设 = y，
x
x2+1 x 1
∴分式方程 - +1=0可化为y- +1=0，
x 3(x2+1) 3 y化为整式方程：3 y2+3 y-1=0，
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
16 8 4
【变式2-2】（2024·上海·八年级课时练习）如果 - +1=0，那么 的值是（ ）
x2 x x
A．1 B．-1 C．±1 D．4
【答案】A
16 8 4 2 8 4 2
【分析】先将方程 - +1=0变形为( ) - +1=0，再利用完全平方公式化为( -1) =0，从而求得
x2 x x x x
4
=1.
x
16 8 4 2 8
【详解】解：方程 - +1=0可变形为( ) - +1=0
x2 x x x
4 2
∴( -1) =0
x
4
∴ =1
x
故选A.
【点睛】本题考查了解分式方程中整体思想的运用，对方程进行变形然后利用完全平方公式解题是关键.
【变式2-3】（2024·上海·九年级专题练习）解方程组：¿ ．
【答案】¿
1 1
【分析】将原方程组转换成整式方程组，设 =u， =v，求出u、v的值，然后再求x、y的值，同
x 2x- y
时解分式方程一定注意要验根．
1 1
【详解】解：设 =u， =v，则原方程组可化为¿．
x 2x- y
解这个方程组，得 ¿．
于是，得¿，即¿．
解方程组得 ¿．
经检验¿是原方程组的解．
所以，原方程组的解是¿．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程
求解是解决本题的关键．【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】（2024·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= – ； = – ； = – ；……
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 4
解答下面的问题：
1
(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将 写成上面式子形式；
n(n+1)
(2)说明你（1）中式子的正确性；
1 1 1 1
(3)直接写出 + + + … + 的结果；
1×2 2×3 3×4 2021×2022
(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：
1 1 1 1 n+100
+ + +⋅⋅⋅+ =
．
1×3 3×5 5×7 (2n-1)(2n+1) 2n+202
1 1 1
【答案】(1) = -
n(n+1) n n+1
(2)见解析
2021
(3)
2022
(4)n=100
【分析】（1）根据题干信息是探究提示，总结出规律即可；
（2）把等式的右边通分，再进行计算即可证明规律；
1 1 1 1 1 1 1
（3）利用规律把原式化为1- + - + - +···+ - ，再进行计算即可；
2 2 3 3 4 2021 2022
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n+100
（4）利用规律把原方程化为 ( - + - + - +…+ - )= ，再解方程即可．
2 1 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 2n+202
（1）
1 1 1 1 1 1 1 1 1
解：∵ = – ； = – ； = – ；……
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 41 1 1
∴ = -
n(n+1) n n+1
（2）
1 1 n+1 n n+1-n 1
= - = - = = =
右边 左边，
n n+1 n(n+1) n(n+1) n(n+1) n(n+1)
∴（1）中式子正确．
（3）
1 1 1 1
+ + + … +
1×2 2×3 3×4 2021×2022
1 1 1 1 1 1 1
=1- + - + - +···+ -
2 2 3 3 4 2021 2022
1 2021
=1- = .
2022 2022
（4）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n+100
方程变形为： ( - + - + - +…+ - )= ，
2 1 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 2n+202
1 1 n+100
即： (1- )= ，
2 2n+1 2n+202
n n+100
∴ = ,
2n+1 2n+202
去分母得：2n2+202n=(2n+1)(n+100)．
解得：n=100．
检验：因为n为正整数，原方程分母不会为零．
所以原方程的根是n=100．
【点睛】本题考查的是数的运算规律的探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键，同时考查
了分式的加减运算，分式方程的解法．
【变式3-1】（2024·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1- , = - , = - , = - ，…，回答问题：若 +
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5 (x+1)×(x+2)
1 1 1 1
+ +…+ ＝ ，则x的值为 _____．
(x+2)×(x+3) (x+3)×(x+4) (x+99)×(x+100) x+100
【答案】981 1 1
【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为 = - ，本题得
n(n+1) n n+1
以解决．
【详解】解：分式方程变形得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - +．．．+ - = ，
x+1 x+2 x+2 x+3 x+3 x+4 x+99 x+100 x+100
1 1 1 1 2
化简得： - = ，即 = ，
x+1 x+100 x+100 x+1 x+100
去分母得：x+100＝2x+2，
解得：x＝98，
检验：把x＝98代入得：（x+1）（x+2）（x+3）．．．（x+100）≠0，
∴分式方程的解为x＝98．
故答案为：98．
【点睛】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字
的变化特点，写出相应的等式．
【变式3-2】（2024·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = - , = = - , = = - .......
6 2×3 2 3 12 3×4 3 4 20 4×5 4 5
1
(1)由此可推断： =___；
42
(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；
3 1
(3)仿照以上方法解方程： =
(x-1)(x-4) x-1
1 1 1 1 1
【答案】（1） - ；（2） = - ；（3）7
6 7 (m-1)(m-2) m-1 m-2
【分析】1）根据题意将42分解为6×7得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律得出答案；
（3）利用（2）中规律化简方程，进而求出即可．
1 1 1 1
【详解】(1) = = - ；
42 6×7 6 7
1 1
故答案为 - ；
6 7
1 1 1
(2)用含字母m的等式表示(1)中一般规律为： = - .
(m-1)(m-2) m-1 m-21 1 1
故答案为 = - ；
(m-1)(m-2) m-1 m-2
1 1 1 1 2
（3）方程整理得： - = ，即 =
x-4 x-1 x-1 x-4 x-1
去分母得：x−1=2x−8，
解得：x=7，
经检验x=7是分式方程的解.
【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，解题关键在于找到规律.
【变式3-3】（2024·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：
1 1 1 1
= = -
6 2×3 2 3
1 1 1 1
= = -
12 3×4 3 4
1 1 1 1
= = -
20 4×5 4 5
……
1
(1)填空： ＝ ＝ ；
42
(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．
1 1 1 1
(3)请用（2）中的规律解方程： + +⋯+ = ．
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+9)(x+10) (x+10)
1 1 1
【答案】(1) , -
6×7 6 7
1 1 1
= -
(2)
m(m+1) m m+1
(3)x＝10
【分析】（1）观察已知算式计算格式，计算即可得结果；
1 1 1
（2）观察给出的算式，可得规律： = - ；
m(m+1) m m+1
1 1 1 1 1 1 1
（3）由（2）中的规律，可将原方程化为 - + - +⋯+ - = ，即
x x+1 x+1 x+2 x+9 x+10 x+10
1 2
= 可得，解此方程即可求得答案．
x x+10（1）
1 1 1 1
解： = = - ，
42 6×7 6 7
1 1 1
故答案为： , - ；
6×7 6 7
（2）
1 1 1
解：由题中给出的算式可得： = - ；
m(m+1) m m+1
1 1 1
故答案为： = - ；
m(m+1) m m+1
（3）
1 1 1 1 1 1 1
解：原方程变形为： - + - +⋯+ - =
x x+1 x+1 x+2 x+9 x+10 x+10
1 2
即 = ，
x x+10
∴x+10＝2x，
解得：x＝10，
1 1
检验：左边＝ ，右边＝ ，即x＝10是原分式方程的解，
10 10
∴原分式方程的解为：x＝10．
【点睛】此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法．此题难度适中，解题的关键是得到规律：
1 1 1
= -
．
m(m+1) m m+1
【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型4 根据分式方程的解求值】
2ax 8
【例4】（2024·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程 = 的解为x=1，则a等于
a-x 3
（ ）
A．-1 B．1 C．4 D．8
【答案】C【分析】将x=1代入方程可得一个关于a的分式方程，解方程即可得．
2ax 8
【详解】解：∵x=1是方程 = 的解，
a-x 3
2a 8
∴ = ，
a-1 3
6a=8(a-1)，
6a=8a-8，
解得a=4，
经检验，a=4是方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
3 x+a
【变式4-1】（2024·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程 = 的增根是x=1，
x-1 x(x-1)
则字母a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】把分式方程化为整式方程后，把x=1代入，即可求得结果．
【详解】方程两边同时乘以x(x-1)得：3x=x+a，
把x=1代入得：3×1=1+a，
解得：a=2
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是解决问题的关键．
2x-m
【变式4-2】（2024·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程 =3的解，则m的值为
x-3
________．
【答案】5
2x-m
【分析】把x=4代入方程 =3，得到关于m的一元一次方程，再解方程即可.
x-3
2x-m
【详解】解：∵ x=4是关于x的方程 =3的解，
x-3
2×4-m
∴ =3，
4-3
∴8-m=3，解得：m=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，理解分式方程的解的定义是解题的关键．使方程左右两边的值
相等的未知数的值是该方程的解．
ax 3 3
【变式4-3】（2024·全国·八年级专题练习）若关于x的方程 + + =2有增根x=-1，则2a-3的
x+1 x+1 x
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把增根x=-1代入整式方程计算求出a的值，代入原式计算即可
求出值．
【详解】解：分式方程去分母得：ax2+3x+3（x+1）=2x（x+1），
把x=-1代入整式方程得：a=3，
则2a-3=6-3=3．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】
1-ax 1
【例5】（2024·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程 +2= 有解，则a的取值范围是________．
x-2 2-x
【答案】a≠1且a≠2
【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
1-ax 1
【详解】解：∵ +2= ，
x-2 2-x
2x-2
∴a= ，
x
1-ax 1
∵ +2= 有解，
x-2 2-x
则x-2≠0或2-x≠0，
∴x≠2，
2x-2 2×2-2
当x=2时，a= = =1，
x 2
故a的取值是1，1-ax 1
当x≠2时， +2= ，
x-2 2-x
两边同乘(x-2)，1-ax+2(x-2)=-1，
2
∴x= ，
2-a
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：a≠1且a≠2．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题
的关键．
1 x+m 3
【变式5-1】（2024·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为(
x-2 x2-4 x+2
)
A．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10
【答案】D
【分析】先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可．
1 x+m 3
+ =
【详解】∵ ，
x-2 x2-4 x+2
1 x+m 3
+ =
∴
x-2 (x+2)(x-2) x+2
方程两边同时乘以（x-2）（x+2），得
x+2+x+m=3(x-2)，
整理，得x=m+8，
∵ 当x+2=0或x-2=0时，分式是无意义的，
故当x=-2时，-2= m+8，解得m=-10；
当x=2时，2= m+8，解得m=-6；
故m=-6或-10，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键．
x 2m
【变式5-2】（2024·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程 + =3m无解，
x-2 2-x
则m的值是（ ）
1 1
A．1或 B．1或3 C． D．1
3 3【答案】A
【分析】根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程
的解是原分式方程的增根，即可求解．
【详解】解：去分母得，x-2m=3m(x-2)，
去括号得，x-2m=3mx-6m，
移项得，x-3mx=2m-6m，
合并同类项得，(1-3m)x=-4m，
x 2m
∵分式方程 + =3m无解，
x-2 2-x
∴1-3m=0或x=2，
1
∴m= ，
3
将x=2代入(1-3m)x=-4m，得2(1-3m)=-4m，
解得m=1，
1
综上，m的值是1或 ．
3
故选A．
【点睛】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．
【变式5-3】（2024·重庆·二模）若关于x的不等式组¿有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程
my-4 3 y-2
=2- 有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
y-2 2- y
A．7 B．10 C．13 D．21
【答案】C
【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且只有两个奇数解，求出m的一个取值范围；再根据分式方程
有解的条件，即分母不为零，求出m的第二个取值范围，最后根据两个取值范围确定出正确的m值并求和．
【详解】解不等式组：¿
m-1
由①得：x≥
2
3 1 3 15
由②得： x+1+ ≤9， x≤ ，∴x≤5
2 2 2 2
m-1
∴不等式组的解集为 ≤x≤5
2
∵不等式组有且只有两个奇数解m-1
∴1< ≤3
2
解得：3-2
【变式7-3】（2024·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{ a+x 有解，关于y的分式方程
-2①
【详解】解：{ a+x
-2
∵ 关于x的不等式组{ a+x 有解，
0且 ≠3，
5 5
解得a＞-4，且a≠1，
∴-4＜a＜3且a≠1，
∴满足条件的整数a的值：-3、-2、-1、0、2；
∵-3+(-2)+(-1)+0+2=-4，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，和解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法以及解分式方程
的步骤是解题的关键．
2 3
【变式8-1】（2024·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程 = 有负数解，则
x+m x+3
m的取值范围为______．
【答案】m>2且m≠3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据方程有负数解列出关于m的不等式，求出不等
式的解集即可得到m的范围．
【详解】解：去分母得：2(x+3)=3(x+m)，
去括号得：2x+6=3x+3m，
移项合并得：-x=3m-6，
解得：x=6-3m，
根据题意得：6-3m<0，且6-3m≠-3，6-3m≠-m，
解得：m>2且m≠3．
故答案为：m>2且m≠3．【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用m的代数式表示x．
x-1 k
【变式8-2】（2024·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程 =2+ 的解大于1，则k的取值范围
x-3 x-3
为_____________．
【答案】k<4且k≠2
【分析】根据题意解分式方程，用k表示出x的值，然后根据x的取值范围求解即可．
x-1 k
【详解】∵ =2+
x-3 x-3
x-1=2(x-3)+k，
解得：x=5-k．
x-1 k
∵方程 =2+ 的解大于1，，
x-3 x-3
∴x>1，且x≠3，
∴5-k>1且5-k≠3，
解得：k<4且k≠2．
故答案为：k<4且k≠2．
【点睛】此题考查了分式方程含参数问题的解法，解题的关键是根据题意得出关于参数k的不等式．
x+a 2a
【变式8-3】（2024·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程 + =5的解是非负整数解，且a满
x-2 2-x
足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．18 B．16 C．12 D．6
【答案】B
【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出
10-a
-1＜a≤10，再利用x= 是非负整数可知10-a是4的倍数分析即可．
4
x+a-2a
【详解】解：由题意可知： =5，
x-2
x-a=5(x-2)，
10-a
x= ，
4
∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，
∴¿，解得：-1＜a≤10．10-a
∵x= 是非负整数，则：
4
当10-a=0时，a=10，此时x=0，经检验，x=0是分式方程的解；
当10-a=4时，a=6，此时x=1，经检验，x=1是分式方程的解；
当10-a=8时，a=2，此时x=2，经检验，x=2不是分式方程的解；
∴满足条件的整数a的值之和是16．
故选：B
10-a
【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出-1＜a≤10，再利用x= 是非
4
负整数，求出a的值即可．
【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】
2 1×2
【例9】（2024·山东聊城·八年级期末）已知：①x+ ＝3可转化为x+ ＝1+2，解得x＝1，x＝2，
x x 1 2
6 2×3
②x+ ＝5可转化为x+ ＝2+3，解得x＝2，x＝3，
x x 1 2
12 3×4
③x+ ＝7可转化为x+ ＝3+4，解得x＝3，x＝4，……
x x 1 2
n2+n
根据以上规律，关于x的方程x+ ＝2n+4的解为_____．
x-3
【答案】x＝n+3，x＝n+4
1 2
【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可．
n(n+1)
【详解】根据题意将方程变形得：x﹣3+ ＝n+n+1，
x-3
可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，
则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4，
故答案为x1＝n+3，x2＝n+4
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式9-1】（2024·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程
1 2
① = -1的解是x= 0；
x+1 x+1
2 4
② = -1的解是x= 1；
x+1 x+1
3 6
③ = -1的解是x= ；
x+1 x+14 8
④ = -1的解是x= ；
x+1 x+1
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．
5 10 n 2n
【答案】（1）③2；④3；（2） = -1，x=4；（3） = -1，x=n-1
x+1 x+1 x+1 x+1
【分析】（1）由题意把方程两边都乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
（2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】解：（1）③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-x-1，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-x-1，
解得x=3，
经检验x=3是原分式方程的解；
故答案为：2，3；
5 10
（2）⑤方程为 = -1，方程的解为x=4；
x+1 x+1
n 2n
（3）含正整数n的式子表示为 = -1，方程的解为x=n-1．
x+1 x+1
【点睛】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子
的关系是解题的关键．
【变式9-2】（2024·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x=1，
x+1 x x-2 x-3
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x=2，
x x-1 x-3 x-4
1 1 1 1
方程 - = - 的解为x=3，
x-1 x-2 x-4 x-5
1 1 1 1
(1)请直接写出方程 - = - 的解为________；
x-4 x-5 x-7 x-8
(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为-5的分式方程：________；(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；
________．
【答案】(1)x=6
1 1 1 1
(2) - = -
x+7 x+6 x+4 x+3
1 1 1 1
(3) - = - ，x=n
x-n+2 x-n+1 x-n-1 x-n-2
【分析】（1）根据材料可知，方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，即可得解；
（2）根据材料信息，写出一个解为-5的分式方程即可；
（3）观察所给的材料，从特殊形式到一般形式总结出规律，可得方程．
（1）
解：根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，
1 1 1 1 4+5+7+8
∴方程 - = - 的解为x= ＝6．
x-4 x-5 x-7 x-8 4
（2）
由题意可得：解是x=-5的方程可以是：
1 1 1 1
- = - ；
x+7 x+6 x+4 x+3
（3）
由题意可得：
1 1 1 1
- = - ，
x-n+2 x-n+1 x-n-1 x-n-2
解是x=n．
【点睛】本题考查学生阅读分析理解能力，解答本题的关键是通过对所给材料的理解得出方程以及方程解
的一般形式．
【变式9-3】（2024·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．
1 1 1
通过计算，发现：方程x+ =2+ 的解为x ＝2，x = ；
x 2 1 2 2
1 1 1
方程x+ =3+ 的解为x ＝3，x = ；
x 3 1 2 3
1 1 1
方程x+ =4+ 的解为x ＝4，x = ；…
x 4 1 2 41 1
(1)观察猜想：关于x的方程x+ =n+ 的解是 ；
x n
1 1
(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+ =a+ ；
x-3 a-3
1 1
(3)实践运用：对关于x的方程x- =m- 的解，小明观察得“x =m”是该方程的一个解，则方程的另
x m 1
x2-x-1 1
一个解x = ，请利用上面的规律，求关于x的方程 =m- 的解．
2 x-1 m-1
1
【答案】(1)x =n，x =
1 2 n
3a-8
(2)x =a，x =
1 2 a-3
1 m-2
(3) - ；x =m，x =
m 1 2 m-1
【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的
形式相同，按照此规律即可得出方程的解；
1
（2）根据（1）的规律，得出x-3=a-3，x-3= ，解出即可得出方程的解；
a-3
x2-x-1 1
（3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解x ；首先对方程 =m- 进行整理，得出
2 x-1 m-1
1 1
x-1- =m-1- ，然后按照（1）中的规律，解出即可得出结果．
x-1 m-1
（1）
1
解：x =n，x = ．
1 2 n
1
故答案为：x =n，x =
1 2 n
（2）
1 1
解：x-3+ =a-3+
x-3 a-3
1
∵x-3=a-3，x-3= ，
a-3
3a-8
∴x =a，x = ；
1 2 a-3（3）
1
解：x =- ；
2 m
x2-x-1 1
=m-
x-1 m-1
1 1
整理，得：x- =m- ，
x-1 m-1
1 1
整理，得：x-1- =m-1- ，
x-1 m-1
1
∴x-1=m-1，x-1=- ，
m-1
m-2
∴x =m，x = ．
1 2 m-1
【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律．
【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】
【例10】（2024·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=¿，例如：
2 2×4 8
F(3,1)= =1，F(-1,4)= = ．
3-1 4-(-1) 5
（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；
（2）若F(m,2)-F(2,m)=1，求出m的值．
【答案】（1）2；（2）m=0.
【分析】（1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出，
（2）根据m与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程即可求出m的值．
2
【详解】解：（1）因为a+1>a，所以F(a+1,a)= =2；
a+1-a
（2）m>2时，
2 2m
F(m,2)-F(2,m)= - =1，
m-2 m-2
4
解得m= <2，不合题意，舍去．
3
m<2时，
2×2 2
F(m,2)-F(2,m)= - =1，
2-m 2-m
解得m=0．综上，m=0．
【点睛】本题主要考察新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m
的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．
1 1
【变式10-1】（2024·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝ - ，
b a
若2⊕(2x-1)＝0，则x的值为（ ）
5 5 3 1
A． B． C． D．-
6 4 2 6
【答案】C
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
1 1
【详解】解：根据题中的新定义化简2⊕(2x-1)＝0得： - =0，
2x-1 2
去分母得：2-2x+1=0，
3
解得：x= ，
2
3
检验：把x= 代入得：2x-1≠0，
2
3
∴分式方程的解为x= ．
2
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，以及解一元一次方程，解分式方程利用了转化的思
想，注意要检验．
【变式10-2】（2024·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝
1 a-b 1 2-1
- ，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝ - ＝0.
a a 2 2
(1)求5*4的值；
(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．
3
【答案】(1)0；(2) x＝
2
【详解】试题分析：（1）根据新定义的新运算，即可解答；
（2）根据新定义运算得到分式方程，解分式方程即可．
1 5-4
试题解析：(1)根据题意，得5*4＝ - ＝0；
5 5(2)∵x*2＝1，
1 x-2
∴ - ＝1.
x x
在方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，
3
解得x＝ ，
2
3
经检验，x＝ 是原分式方程的解且符合题意，
2
3
∴分式方程的解为x＝ .
2
【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟记解分式方程的步骤．
【变式10-3】（2024·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，
并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于
一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，
②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
2x+1 4
（1）判断一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方程 -1= 是否是“相似方程”，并说明理由；
2x-1 4x2-1
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）2或3．
【分析】（1）先依次求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可得出结论．
（2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的
值．
2x+1 4
【详解】解：（1）一元一次方程3-2(1-x)=4x与分式方程 -1= 不是“相似方程”．
2x-1 4x2-1
理由如下：
1
解一元一次方程3-2(1-x)=4x，解得x= ，
2
2x+1 4 1
解分式方程 -1= ，解得x= ，
2x-1 4x2-1 2
1
检验：当x= ，(2x+1)(2x-1)＝0，
2
∴原分式方程无解，
2x+1 4
∴一元一次方程3-2(1-x)＝4x与分式方程 -1= 不是“相似方程”．
2x-1 4x2-1（2）由题意，两个方程有相同的整数解，即mx+6=x+4m，
4m-6 4(m-1)-2 2
x= = =4- ，
m-1 m-1 m-1
∵x为整数，∴m-1=1，2，-1，-2，∴m=2，3，0，-1，
又∵m取正整数，∴m=2或3．
【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握相关概念以及各
个方程的求解方法．
