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热点 2-4 导数的切线问题
导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运
算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为
解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。
【题型1 “在”点P处的切线问题】
满分技巧
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
x , f x f(x )
第一步（求斜率）：求出曲线在点 0 0 处切线的斜率 0
y f(x ) f(x )(xx )
第二步（写方程）：用点斜式 0 0 0
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【例1】（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）曲线 在 处的切线方程为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 .
又 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ，即
【变式1-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数 ，则曲线 在
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】 ，所以 ，又 ，
故所求切线方程为 ，即 .【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若点 是函数 图象上任意一点，直线 为点
处的切线，则直线 倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 中， ，即 ，设点 ，
求导得 ，
由 ，得 ，即 ，
因此函数 的图象在点 处的切线 斜率 ，
显然直线 的倾斜角为钝角，所以直线 的倾斜角的取值范围是 .故选：C
【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与曲线
相切，则 .
【答案】
【解析】因为 的导数为 ，则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
又切线 与曲线 相切，设切点为 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，解得 ，
所以 ，则 ，解得 .
【题型2 “过”点P处的切线问题】
满分技巧
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
Q x , f x
第一步：设切点为 0 0 ；
y f(x) x f(x )
第二步：求出函数 在点 0处的导数 0 ；
f(x )k x f(x )
第三步：利用Q在曲线上和 0 PQ，解出 0及 0 ；y f(x ) f(x )(xx )
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 0 0 0 ．
【例2】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线 的两条切线，则这两条切线方程为
（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】A
【解析】由 ，得 为偶函数，
故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．
当 时， ，则 ，
设切点为 ，故 ，解得 或 （舍），
所以切线斜率为1，从而切线方程为 ．
由对称性知：另一条切线方程为 ．故选：A
【变式2-1】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数 ，且 为曲线
的一条切线，则 ．
【答案】2
【解析】设 与曲线 相切的切点 ，
由 求导得 ，切线斜率为 ，
因此切线方程为 ，
依题意， ，且 ，联立消去 得 ，
令函数 ， ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上递减，在 上递增，
当 时， ，则 时， ，所以 .
【变式2-2】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知 ，直线 与曲线
相切，则 ．
【答案】2
【解析】直线 与曲线 相切，所以 ，所以切点为 ，
切点在直线 上，可得 .
【变式2-3】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数 的图象与直线 相切，则以下错误的是（
）
A．若 ，则 B．若 ，则 C． D．
【答案】C
【解析】设 与直线 相切于点 ，
，则 ①，
所以切点为 ，而斜率为 ，
所以切线方程为 ，
则 ②.
由①②得 ， ，C选项错误，D选项正确.
所以当 时， ，A选项正确.
当 时， ，B选项正确.故选：C
【题型3 切线的平行、垂直问题】
满分技巧
结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。
【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线 在 处的切线与 在
处的切线平行，则 的值为 .
【答案】
【解析】 ，
由题意可知， ，即 ，解得 .
【变式3-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数 的图象在 处的切线与直线垂直，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
又因为切线与 垂直，所以 ，所以 ，故选：A.
【变式3-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若曲线 存在垂直于 轴
的切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， 在 有解，
则 在 有解，
因为 在 上单调增，
所以 ，则 ，故选：C．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若曲线 在点
处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程.
【答案】
【解析】∵ ，∴ .
由已知 ，∴ 得 .
所以 ，所以 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为
化简得： .
故所求切线方程为： .
【题型4 切线的条数问题】
满分技巧已知
f (x)，过点
，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
【例4】（2023·湖南·校联考二模）若经过点 可以且仅可以作曲线 的一条切线，则下列选项正
确的是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】设切点 ．因为 ，所以 ，
所以点 处的切线方程为 ，
又因为切线经过点 ，所以 ，即 .
令 ，
则 与 有且仅有1个交点， ，
当 时， 恒成立，所以 单调递增，显然 时， ，于是符合题意；
当 时，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，
所以 ，则 ，即 ．
综上， 或 ．故选：D
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线 有两条过点 的切线，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为 ，由已知得 ，则切线斜率 ，
切线方程为 ．
∵直线过点 ，∴ ，
化简得 ．∵切线有2条，∴ ，则 的取值范围是 ，故选：D
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）若曲线 有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值
范围为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，
设过坐标原点的直线与曲线 相切于点 ，
则 ，
且切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，因此 ，
整理得 ，
设 ，
则“曲线 有3条过坐标原点的切线”等价于“函数 有3个不同的零点”，
，当x变化时， 与 的变化情况如下表：
x 0 1
＋ 0 － 0 ＋
当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 .
【变式4-3】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，过点
作 的切线 ，若 （ ），则直线 的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，，故 在R上单调递增，
又 ， ，故 在 处的切线方程为 ，
点 在 上，故 上只有点 满足 ，
又因为 ，所以 ，故点 一定不在 上，
且 一定为过 的一条切线，
设切点为 ， ，则切线 的斜率为 ，
故切线方程为 ，
因为 在切线上，故 ，
整理得 ，
由 可知， 恒成立，故 ， ，
令 ， ，
则 ，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，当 时， ，当 时， ，
又 时， ， 时， ，
故 恒成立， 在 上单调递增，
故 ， 只有1个根，
即除 外，过点 作 的切线还有一条，共2条.故选：C【题型5 两条曲线的公切线问题】
满分技巧
已知
f (x)和
存在 （ ）条公切线问题
第一步：求公切线的斜率，设f (x)的切点 ，设 的切点 ；
第二步：求公切线的斜率 与 ；
第三步：写出并整理切线
（1） 整理得：
（2） 整理得：
第四步：联立已知条件
消去 得到关于 的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去 得到关于 的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
【例5】（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线 与曲线 有公切
线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，所以公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，则公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
所以 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，所以 ，
所以由题意得 ，即实数 的取值范围是 ，故选：A【变式5-1】（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）若函数 与函数 的图象存
在公切线，则实数t的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得 ， ，
设公切线与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 ，
则 ，则 ， ，
当 时， ，函数 与 的图象存在公切线 ，符合题意；
当 时， ，即 ，
故 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
故 ，故 ，
综合得实数t的取值范围为 .
【变式5-2】（2023·辽宁营口·高三校考阶段练习）已知直线 与 是曲线
的两条切线，则 ．
【答案】
【解析】由已知得，曲线的切线过 ，且 ，曲线为 ，
设 ，直线 在曲线上的切点为 ，
，切线： ，
又切线过 ， ，∴ ， ，
同理取 ，曲线为 ，
设 ，直线 在曲线上的切点为 ，
，切线： ，又切线过 ， ， ，∴ .
【变式5-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若函数 与 ， 有公
共点，且在公共点处的切线方程相同，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 ， .
设曲线 与 的公共点为 ，两者在公共点处的切线方程相同，
因此 ，即 ，解得 或 .
因为 ， ，所以舍去 .
又 ，即 .
令函数 ，则 .
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，解得 ，则 的最小值为 .
【题型6 与切线有关的距离最值】
满分技巧
利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。
【例6】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知点P是曲线 上的一点，则点P到直线 的
最小距离为 ．
【答案】
【解析】由题意可知： ，
设 与 相切与点Q ，则 ，令 ，得 ，则切点 ，
代入 ，得 ，即直线方程为 ，
所以与直线 间的距离为 ，即为 到直线 的最小距离.
【变式6-1】（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数 ，直线 ．若A，
B分别是曲线 和直线l上的动点，则 的最小值是
【答案】
【解析】 ，设 在点 处的切线与 平行，即斜率为-2，
所以 ，解得 ，
则 在点 处的切线方程为 ，即
则 与 的距离即为 的最小值，
即 ，故 的最小值为 .
【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点P在函数 的图象上，点Q
在函数 的图象上，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由函数 ，求导可得： ，则 ，
在 处的切线方程为 ，整理可得： ；
由函数 ，求导可得： ，则 ，
在 处的切线方程为 ，整理可得 ；
由直线 的斜率 ，易知：直线 分别与两条切线垂直.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，记
，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ．由题意知， 的最小值可转化为曲线 上的点 到
直线 上的点 的距离的平方的最小值．
易知，曲线 与直线 没有交点，则
当曲线 在点A处的切线平行于B所在的直线，
且AB连线与直线 垂直时，两点间距离最小．
由 ，得 ，直线 的斜率 ，
令 ，解得 ，则 ，
所以点A到直线 的距离 ，
故M的最小值为 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·云南红河·统考一模）已知函数 的图象在点 处的切线经过点 ，则实
数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题知， ，所以 .故选：A
2．（2023·重庆·高三统考阶段练习）设曲线 在 处的切线为 ，若 的倾斜角小于 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，求导得 ，则切线 的斜率为 ，
由 的倾斜角小于 ，得切线 的斜率 或 ，
即 或 ，解 得 ，解 得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：B
3．（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数 ，过原点作曲线 的切线 ，则切点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ，
设切点为 ，则切线方程为 ，
因为切线过原点，所以 ，解得 ，则 .故选：B
4．（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）已知函数 的图象有两条与直线
平行的切线，且切点坐标分别为 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知 的定义域为 ，所以 ，
易得 ，由导数的几何意义可得切点为 时，切线斜率为 ,
同理可得， 点处切线斜率为 ；
又因为两条切线与直线 平行，可得 ，即
所以 是关于方程 的两根，
所以 ，即 ，又
可得 ；所以 ，
由 可得 ，即 ，所以 的取值范围是 .故选：B
5．（2023·四川凉山·统考一模）函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为 ，且
若 ，则 恒成立，不符合题意，可排除A项；
所以 ，此时易知 单调递增，
要满足题意则需 .故选：D
6．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知曲线 在 处的切线与直线
垂直，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，
即曲线 在 处的切线斜率为 ，且直线 的斜率为 ，
由题意可得： ，解得 .故选：B.
7．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若过点 可以作三条直线与曲线 ：
相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设一个切点为 ，
则由 ，可得该点处的切线方程 ，
当 经过点 时，有 ，即 ，
则过点 切线的条数即为方程 的解的个数.
设 ，则 ，
当 或 时 ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， ，当 时， ，又由 ， ，
可得 时， 有三个解，故选：D.
8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数 与函数 的图象在公共点处有相同
的切线，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数 与函数 的图象公共点坐标为 ，
求导得 ，
依题意， ，于是 ，
令函数 ，显然函数 在 上单调递增，且 ，
则当 时， ，因此在 中， ，
此时 ，经检验 符合题意，所以 .故选：B
9．（2023·广东·校联考二模）（多选）已知函数 的图象在点 处的切线为 ，
则（ ）
A． 的斜率的最小值为 B． 的斜率的最小值为
C． 的方程为 D． 的方程为
【答案】BCD
【解析】因为 ，所以 的斜率的最小值为 .
因为 ，所以 的方程为 .
因为 ，所以 的方程为 ，即 .故选：BCD.
10．（2023·全国·模拟预测）（多选）若 的图象在 处的切线分别为 ，且
，则（ ）
A． B． 的最小值为2
C． 在 轴上的截距之差为2 D． 在 轴上的截距之积可能为
【答案】AC
【解析】对于A，B：由题意可得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 的斜率分别为 ，
因为 ，所以 ，得 ，因为 ，所以 ， 故A正确，B错误．
对于C，D： 的方程为 ，即 ，
令 ，得 ，所以 在 轴上的截距为 ，
的方程为 ，可得 在 轴上的截距为 ，
所以 在 轴上的截距之差为 ，
在 轴上的截距之积为 ，
故C正确，D错误．故选：AC
11．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线 在点 处的
切线方程为 ．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
有 ， ，
故切线方程为 ，化简得 .
12．（2023·全国·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，
则实数 ．
【答案】0
【解析】由题可得， ，
所以在点 处的切线斜率为 ，
又切线与直线 垂直，所以 ，解得 ．
13．（2023·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）设函数 的图象在点
处的切线为 ，则 的斜率的最小值为 ，此时 .
【答案】－8；
【解析】因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的斜率的最小值为－8，此时 .
14．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
【答案】 或 （写出一个即可）【解析】设公切线 与曲线 切于点 ，
与曲线 切于点 .
由 ，得 .由 ，得 .
令 ，即 ，则 ，
且 ，即 ，
化为 ，
所以 ，解得 或 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
综上可知，切线 的方程为 或 ，写出任意一个即可.
15．（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， 与 有公切线，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）由函数 ，可得 ，
当 时，可得 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；
当 时，可得 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减.
（2）设公切线与 和 的切点分别为 ，
可得 ，可得切线方程为 ，
即 ，即
由 ，可得 ，则 ，所以切线方程为所以 ，可得 ，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以，当 时，函数 取得极大值，极大值为 ，
又由当 时， ；当 时， ，
所以 ，所以 时，即实数 的取值范围为 .
16．（2023·河南南阳·高三统考期中）已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若过点 作直线与函数 的图象相切，判断切线的条数.
【答案】（1） 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）三条
【解析】（1）因为 ，
所以 .
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2） ，则 ，
设切点为 ，则 ， ，
所以切线方程为 .
将点 代入得 ，
整理得 .
因为方程 有两个不相等正根，
所以方程 共有三个不相等正根.
故过点 可以作出三条直线与曲线 相切.
