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重难点 6-1 空间角与空间距离的求解
空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向。通常小题及解答题的第2小问考查，难度中等。
在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。
【题型1 几何法求异面直线夹角】
满分技巧
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 ，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为
异面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
【例1】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在正方体 中， ， ， ，
分别为 ， ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图， 是圆锥的顶点， 是底面直径，点 在底面圆上．若
为正三角形，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·广东·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等， ，
， 分别是棱 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）已知正方形 的边长为2，把 沿 折起，使点A与点E
重合，若三棱锥 的外接球球心O到直线 的距离为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．0
【变式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）在正四棱台 中，
，点 是底面 的中心，若该四棱台的侧面积为 ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 向量法求异面直线夹角】满分技巧
异 面 直 线 所 成 角 ： 若 分 别 为 直 线 的 方 向 向 量 ， 为 直 线 的 夹 角 ， 则
.
【例2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
，且 ， ， 分别是棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦
值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·安徽·高三校联考期末）已知 是圆锥 底面的直径， 为底面圆心， 为半圆弧
的中点， ， 分别为线段 ， 的中点， ， ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2， ， 分别为上、下底面
圆的直径，四面体 的体积为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）三棱锥 中， 平面 ，
， . ，点 是面 内的动点（不含边界）， ，则异面直线
与 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习）正四棱锥的侧棱长为 ，底面的边长为
，E是 的中点，则异面直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 几何法求直线与平面夹角】
满分技巧
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面 做垂线，确
定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面 上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
ℎ
公式为：sinθ= ，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
l
方法：已知平面 β 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为 S 射影，
S
平面α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ ，则 COSθ= 射影 .这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
S
【例3】（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中，棱 的中点分别为 ， ，则
直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·山西运城·高三统考期末）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
， ，则直线 与平面 夹角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥 的高
A B C D
的中点作平行于底面 的截面 1 1 1 1，若四棱锥 与四棱台 的表面积之比
为 ，则直线 与底面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台 中， 平面 ，
， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角正弦值.
【变式3-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中，
， ， ， ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为 上一点，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【题型4 向量法求直线与平面夹角】
满分技巧
直线与平面所成角：设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，直线与平面的夹角为 .则
.
【例4】（2023·福建福州·高三校联考期中）正四棱柱 中， ，四面体
体积为 ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方体 中， 是 中点，点 在线段
上，若直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，二面角 的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．【变式4-3】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点
（含端点），点 是线段 的中点，设 与平面 所成角为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）如图，己知三棱台 的高为
1， ， 为 的中点， ， ，平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的大小．
【题型5 几何法求平面与平面夹角】
满分技巧
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角
a
O
B
A
2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜
足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，
垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平
面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥 的外接球半径为 ， ， ，
，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， 且 为正三角形，
分别是 的中点，若截面 侧面 ，则此棱锥侧面 与底面 夹角的余弦值为
.
【变式5-2】（2024·北京海淀·高三统考期末）在正四棱锥 中， ，二面角 的大
小为 ，则该四棱锥的体积为（ ）A．4 B．2 C． D．
【变式5-3】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几
何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥 中， 两两互相垂直，则二面角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，点 在平面
内的射影D在线段AC上， ， ， .
（1）证明： ；
（2）设直线 到平面 的距离为 ，求二面角 的大小.
【题型6 向量法求平面与平面夹角】
满分技巧
平 面 与 平 面 的 夹 角 ： 若 分 别 为 平 面 的 法 向 量 ， 为 平 面 的 夹 角 ， 则
.
【例6】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）如图，在三棱锥 中， ，， 平面 ，平面 平面 ， 是 的中点.
（1）求证： ;
（2）求平面 与平面 的夹角.
【变式6-1】（2024·云南昆明·统考一模）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是线段 的
中点， 是线段 上一点， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）是否存在点 ，使平面 与平面 的夹角为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由.
【变式6-2】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，平面 平面
ABCD，底面ABCD为矩形， ， ， ，点M在棱PC上且 ．
（1）证明：M为PC的中点；
（2）求平面PBD与平面MDB的夹角．【变式6-3】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱柱 中， ，
， 为 的中点，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，二面角 的余弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【变式6-4】（2024·江苏南通·高三统考期末）已知 是圆锥 的底面直径，C是底面圆周上的一点，
，平面 和平面 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【题型7 几何法解决空间距离问题】
满分技巧
点面距的求解方法
1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
【例7】（2024·河北·高三校联考期末）已知正方形 的边长为1，将正方形 绕着边 旋转至
分别为线段 上的动点，且 ，若 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱 的底面半径和母线长
均为1， 分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线 所成的角为 ，则 （ ）
A．1 B． C．1或2 D．2或
【变式7-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）如图，在正四棱柱 中，
为 的中点，则 中点到平面 的距离为 ．
【变式7-3】（2024·陕西·高三校联考开学考试）如图，在三棱台 中，
， ， ．（1）证明： ；
（2）求点 到平面 的距离．
【变式7-4】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的
多面体 就是一个半正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面
为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面 与平面 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 向量法解决空间距离问题】
满分技巧
点到平面的距离：已知平面 的法向量为 , 是平面 内的任一点， 是平面 外一点,过点 作则
平面 的垂线 ，交平面 于点 ,则点 到平面 的距离为 （如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
ABn
直线 与平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量。
a |n | Aa,B n
ABn
两平行平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量。
, |n | A,B n
【例8】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点，
为线段 的中点.直线 到平面 的距离为（ ）.
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·北京昌平·高三统考期末）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段
上的点，且 ，点 在线段 上，则点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式8-2】（2023·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）已知四棱台 中，底面
为正方形， ， ， ， ⊥底面 ．（1）证明： ．
（2）求 到平面 的距离．
【变式8-3】（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点
在底面圆 上， ，点 是线段 的中点
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 与圆柱底面所成角为 ，求点 到平面 的距离.
【变式8-4】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）如图，将圆 沿直径 折成直二面
角，已知三棱锥 的顶点 在半圆周上， 在另外的半圆周上， .
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ，直线 与平面 所成的角为 ，求点 到直线 的距离.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥 底面 是矩形，其中 ， ，
侧棱 底面 ，E为 的中点，四棱锥 的外接球表面积为 ，则直线 与 所成
角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·上海虹口·高三校考期中）如图所示，在正方体 中，E为线段 上的动点，则
下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱 中， ， 是 的中点，则直线 与
平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·高三统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为
塹堵，在塹堵 中，若 ，若 为线段 中点，则点 到直线 的距离为（
）
A． B． C． D．
5．（2023·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石
凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体
（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设 ，则平面 与平面 之间的距离
是（ ）A． B． C． D．
6．（2024·山东德州·高三统考期末）（多选）在棱长为1的正方体 中，下列结论正确的
是（ ）
A．点 到 的距离为 B．面 与面 的距离为
C．直线 与平面 所成的角为 D．点 到平面 的距离为
7．（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）（多选）如图，已知正方体 的棱长为2，点P是
线段 的中点，点Q是线段 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． 平面 B．Q到平面 的距离为
C． 与 所成角的取值范围为 D．三棱锥 外接球体积的最小值为
8．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形 和矩形 中， ， ，且二面角
为 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 ．
9．（2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图， 在圆台 中， ，点C是底面圆周
上异于A、B的一点， , 点D是 的中点， 为平面 与平面 的交线， 则交线 与平面
所成角的大小为 ．10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形
为矩形， 为 的中点．
（1）求异面直线 与 所成的角；
（2）求二面角 的余弦值．
11．（2024·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考开学考试）如图．在四棱锥 中，已知底面
为矩形，侧面 是正三角形，面 底面 ， 是棱 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 ，且二面角 的大小为 ，求异面直线 与 所成角的正切值．
12．（2024·山西临汾·统考一模）如图，在三棱柱 中， ， ，
，二面角 的大小为 .（1）求四边形 的面积；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.
