文档内容
热点 7-4 抛物线及其应用
抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内
容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的
教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。
【题型1 抛物线的定义及概念辨析】
满分技巧
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，
且 ，则 点到 轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）动点P到直线 的距离减去它到点 的距离等于2，
则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为 的抛物线 的对
称轴与准线交于点 ，点 在抛物线 上且在第一象限，在 中， ，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：
的焦点，直线 与抛物线C交于A，B两点，若 ，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l上，
且 平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若 ，则梯形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【题型2 利用定义求距离和差最值】
满分技巧
与抛物线有关的最值问题的转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得
解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最
短”原理解决．
【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知点 是抛物线 的焦点，
点 ，且点 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）点 为抛物线 上任意一点，点 为圆
上任意一点， 为直线 的定点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F， ，过点M作直线
的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则 的最小值为 ．
【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，圆 ： ，
点 ， 分别为抛物线 和圆 上的动点，设点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为（
）
A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C： 上的动点， 关于P的对
称点为B，记P到直线 的距离分别 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 抛物线标准方程的求解】
满分技巧
1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛
物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
2、待定系数法
（1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的
方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨
论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为 y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求
解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方
程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点
是抛物线 上一点， 于 .若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线 ： （ ）的
焦点为 ，点 在 上，且 ，若点 的坐标为 ，且 ，则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【变式3-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 、 两点
在抛物线上，且满足 ， .若线段 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为
.
【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）点M为抛物线 上点，抛物线焦点为
F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若 是以 为底边的等腰三角形，且 ，则抛物线方程为.
【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）若点A，B在抛物线 上，O是坐标原点，正三角
形OAB的面积为 ，则该抛物线的方程是 ．
【题型4 抛物线的中点弦问题】
满分技巧
A(x ，y ) B(x ，y ) P(x ，y )
设直线与曲线的两个交点 1 1 、 2 2 ，中点坐标为 0 0 ，代入抛物线方程，
， ， 将 两 式 相 减 ， 可 得 ， 整 理 可 得 ：
【例4】（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B
两点，若 ，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【变式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线 上的两点，线段AB
的中点为 ，则直线AB的方程为 ．
【变式4-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直线AB
的斜率为 .
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）直线 （ 是参数）与抛物线 的
相交弦是 ，则弦 的中点轨迹方程是 .
【变式4-4】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知直线 交抛物线 于 两点，且点 为线段 的中点，求直线 的方程．
【题型5 抛物线的弦长问题】满分技巧
y2 2px(p0) A(x,y ) B(x ,y )
1、一般弦长：设 AB 为抛物线 的弦， 1 1 ， 2 2 ，
1
AB 1k2 x x 1 y y
1 2 k2 1 2 k AB k 0
（ 为直线 的斜率，且 ）.
2、焦点弦长：如图， AB 是抛物线
y2 2px(p0)
过焦点 F 的一条弦，设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
， AB 的中点
M(x 0 ,y 0 ) ，过点 A ， M ， B 分别向抛物线的准线 l 作垂线，垂足分别为点 A 1， B 1， M 1，
AF AA BF BB AB AF BF AA BB
根据抛物线的定义有 1， 1， 1 1
AB AF BF AA BB
故 1 1 .
MM AABB AB AA BB 2 MM
又因为 1是梯形 1 1 的中位线，所以 1 1 1 ，
从而有下列结论；
AB l
（1）以 为直径的圆必与准线 相切.
p
AB 2x
0 2
（2） (焦点弦长与中点关系)
AB x x p
（3） 1 2 .
2p
AB
AB sin2
（4）若直线 的倾斜角为 ，则 .
p2
xx
A B 1 2 4 y y p2
（5） ， 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即 ， 1 2 .
1 1
2
AF BF
P
（6） 为定值 .
【例5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率大于零
的直线 与 及抛物线 的公共点从右到左依次为点 、 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，过F的直线交
抛物线C于A，B两点， 的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在 的两侧）.若四边形
为菱形，则 （ ）
A． B． C． D．2
【变式5-2】（2022·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）若直线l经过抛物线 的焦点，与
该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
【变式5-3】（2022·四川内江·统考模拟预测）已知抛物线 ： ，坐标原点为 ，焦点为 ，直线 ：.
（1）若直线 与抛物线 只有一个公共点，求 的值；
（2）过点 作斜率为 的直线交抛物线 于 , 两点，求 的面积．
【变式5-4】（2023·湖南邵阳·高三邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线 的准线方程
是 .
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 与抛物线相交于 ， 两点，若 ，求实数k的值.
【题型6 直线与抛物线综合应用】
满分技巧
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，
但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的
灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公
式|AB|＝x＋x＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
1 2
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 上任意一点 到 的距离与
到点 的距离之和的最小值为3．
（1）求抛物线 的标准方程．
（2）已知过点 且互相垂直的直线 与 分别交于点 与点 ，线段 与 的中点分别为 ．
若直线 的斜率分别为 ，求 的取值范围．
【变式6-1】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： （ ）的准线方程为 ．
动点P在 上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
（1）求抛物线C的方程：
（2）当 面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【变式6-2】（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）已知 为抛物线 的焦点，
为坐标原点， 为 的准线 上的一点，直线 的斜率为 ， 的面积为4.
（1）求 的方程；
（2）抛物线 在 轴上方一点 的横坐标为 ，过点 作两条倾斜角互补的直线，与曲线 的另一个交点
分别为 、 ，求证：直线 的斜率为定值.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的准线经过点 ．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线 与直线 ， 分
别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐
标；若不存在，请说明理由．
【变式6-4】（2023·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知抛物线 的
焦点为 ，点 是抛物线上一点，且 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l： ，点B是l与y轴的交点，过点A 作与l平行的直线 ，过点A的动直线
与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线 于点M，N，证明： ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，
为坐标原点，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 ，直线 与抛物线 相交于A，B两点，点
A为x轴上方一点，过点A作 垂直于C的准线于点D．若 ，则p的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切
线，切点分别为 ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）设 为抛物线 的焦点，点 为 上第四象限的点．若直线
的方程为 ，则 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与 交于 两
点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，若 ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为 的抛物线 上有一点 ，准线 交 轴于点 .若
，则直线 的斜率 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线 于M，N两点，且MN的中点
为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2023·重庆·高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为 .
点A，B是抛物线C上不同的两点，且 ，则（ ）
A． B．以线段 为直径的圆必与准线相切
C．线段 的长为定值 D．线段 的中点 E 到准线的距离为定值
9．（2023·广东佛山·高三校考阶段练习）（多选）直线 与抛物线 相交于 两点，下
列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为 B．拋物线 的焦点为
C．若 为原点，则 D．若 ，则
10．（2023上·山东·高三校联考开学考试）（多选）已知抛物线 的焦点 到准线的距离
为2，过 轴上异于坐标原点的任意一点 作抛物线 的一条切线，切点为 ，且直线 的斜率存在，
为坐标原点.则（ ）
A． B．当线段 的中点在抛物线 上时，点 的坐标为
C． D．
11．（2023·天津北辰·高三统考期中）一条倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点，且该直线与圆
相交于A， 两点，则 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知点F(0，2)，过点 且与y轴垂直的直线为 ， 轴，交
于点N，直线 垂直平分FN，交 于点M．则点M的轨迹方程为 ．
13．（2023上·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）已知抛物线C的方程为 ，若倾斜
角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且 ，则直线l的倾斜角为
．
14．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点 在抛物线 上， 为抛物线 上两
个动点， 不垂直 轴， 为焦点，且满足 .
（1）求 的值，并证明：线段 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中定点为 ，当 的面积最大时，求直线 的斜率 .
15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线
交于 两点，点 在第一象限， 为坐标原点．
（1）设 为抛物线 上的动点，求 的取值范围；
（2）记 的面积为 的面积为 ，求 的最小值．
