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热点 6-1 线线、线面、面面的平行与垂直
在高考数学中，本部分内容主要分两方面进行考查，一是以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的
判断，主要以小题的形式出现，题目难度较小；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，
一般以选择题、填空题或解答题的第（1）问的形式考查，属于中档题。
【题型1 空间点线面位置关系判断】
满分技巧
1、判断与空间位置关系有关的命题的方法：
（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断；
（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进
行肯定或否定。
2、两点注意：
（1）平面几何的结论不能完全引用到立体几何中；
（2）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与提升或公认结论相矛盾的命题，进而作出判断。
【例1】（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下
面说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【解析】对于A，若 ，则可能 平行或相交，可得A错误；
对于B，若 ，则 ，即B正确；
对于C，若 ，则 或 ，可知C错误；
对于D，若 ，则 或 ，可知D错误；故选：B
【变式1-1】（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）已知两条不重合的直线 和 ，两个不重合的平面 和
，下列四个说法：①若 ， ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ， ，则 ④若 ， ， ，则
其中所有正确的序号为（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
【答案】B
【解析】对于①：如果 ， ， 也能满足条件，①错误；
对于②： 与 相交或异面也能满足条件，②错误；
对于③：因为 ， ，则 ，又因为 ，所以 ，③正确；
对于④：因为 ，所以平面 内必有直线 ，又因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，而 ，所以 ，④正确.故选：B
【变式1-2】（2024·江西·高三校联考开学考试）设m，n是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题
正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，若 ,则直线 与 可能相交、也可能平行、还可能是异面直线，A错误；
对于B，若 ，则 ，B错误；
对于C，若 ，直线 与 可能平行，
如直线 、 都平行于 的交线，且 ，满足条件，而 ，C错误；
对于D，若 ，则 ，又 ，因此 ，D正确.故选：D
【变式1-3】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知 是三条不重合的直线， 是
三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 且
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，若 ，则 或 ，A错误；
对于B，若 ，则当 且 时，才有 且 ，B错误；
对于C，若 ，当 时，推不出 ，C错误；
对于D，如图，设 ，在 内取点P， ，
作 ，垂足为 ，因为 ，则 ，
而 ，则 ，又 ，故 ，D正确，故选：D【变式1-4】（2024·云南昆明·统考模拟预测）（多选）已知直线a，b，c与平面 ， ， ，下列说法正
确的是（ ）
A．若 ， ， ，则a，b异面 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】AC
【解析】若 ， ， ，则a，b异面，故A正确；
若 ， ， ，则 与 异面或平行或相交，故B错误；
若 ， ，则 ，故C正确；
若 ， ，则 或 相交，故D错误；故选：AC
【题型2 共面、共线、共点证明】
满分技巧
1、证明点线共面问题的两种方法
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
（2）辅助平面法：先证有关点、线共平面 ，再证其他点、线共平面 ,最后证平面 , 重合.
2、证明点共线问题的两种方法
（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
（2）直接证明这些点都在一条特定直线上.
3、证明三线共点问题的步骤
第一步：先证其中两条直线交于一点；
第二步：再证交点在第三条直线上.
证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， 为棱 的靠近 上的三等
分点.设 与平面 的交点为 ，则（ ）A．三点 共线，且 B．三点 共线，且
C．三点 不共线，且 D．三点 不共线，且
【答案】B
【解析】连接连接 ， ，
直线 平面 平面 .
又 平面 ，平面 平面 直线
∴三点 共线.
.故选：B.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， ， ，
， 分别是 ， 的中点，证明： 四点共面．
【答案】证明见解析
【解析】假设面 与棱 交于 ．
平面 ，平面 与其相交，
，
为 中点， 为 中点，
与 重合，即 四点共面．【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， 、 分别是 和
的中点．
（1）证明： 、 、 、 四点共面；
（2）对角线 与平面 交于点 ， 交于点 ，求证：点 共线；
（3）证明： 、 、 三线共点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）连接
在长方体 中，
、 分别是 和 的中点，
，
、 、 、 四点共面
（2） ， 确定一个平面
面 ， 面
对角线 与平面 交于点 ， 面
在面 与面 的交线上
， 面 且 面 ，
面 面 ， ，即点 共线.
（3）延长 交于
面 ， ， 面
面 ， ， 面
面 面 ，
、 、 三线共点.
【变式2-3】（2023·河南·高三校联考阶段练习）如图，在长方体 中，点 分别在棱
上，且 ， .（1）求证： 四点共面；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：如图所示，在棱 上取点 ，使得 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，
则 且 ，
又 且 ，所以 且 ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，
同理可证四边形 为平行四边形，则 ，所以 .
所以 四点共面.
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，
.设平面 的法向量为 ，
由 得， 解得
令 ，则 .
，
设平面 的法向量为 ，
由 得， 解得
令 ，则 ，
设两个平面夹角大小为 ，
则 .所以 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
【变式2-4】（2024·河北衡水·河北冀州中学校考一模）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼
接而成.其中， ，点 为弧 的中点，且 四点共面.
（1）证明： 四点共面；
（2）若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 长.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）连接 ，因为 ，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形， ，
在半圆 上， 是弧 中点，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 四点共面.
（2）法1：直棱柱中 ，以 为原点，建立如图空间直角坐标系，
设 ，则 ，
设面 的法向量为 ，
则 ，取 ，所以 ，
，
设面 的法向量为 ，则 ，取 ，所以 ，
平面 与平面 所成夹角，即 与 夹角或其补角，
所以 ，解得 ，所以
法2：设 ，由（1）知 四点共面，则面 面 .
取 中点 ，连接 ，则 ，而 面 ， 面 ，
故 ， ， 面 ，则 平面 ，
过 作 于 ，又 平面 ，所以 平面
，
过 作 于 ，连接 ，则 ，
又 是锐角.所以 是平面 与平面 所成的夹角，则 ，
所以在Rt 中， ，
在 中，根据等面积法 ，
在 中， .
所以 .
所以 ，
解得 ，即 ，所以 .
【题型3 线线、线面、面面平行证明】
满分技巧1、线线平行的证明方法
（1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
（2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2、线面平行的判定方法
（1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；
（2）利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平
面平行（简记为“线线平行 线面平行”）
（3）利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。
（简记为“面面平行 线面平行”）
3、面面平行的判定方法
（1）面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）；
（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（主要方法）；
（3）垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）；
（4）平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）.
【例3】（2024·全国·高三专题练习）如图1所示，在四边形 中， ， 为 上一点，
， ，将四边形 沿 折起，使得 ，得到如图2所示的四棱
锥．若平面 平面 ，证明： .
【答案】证明见解析
【解析】在图1中，因为 ， ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，故 ，
在图2中，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
【变式3-1】（2024·青海西宁·高三统考期末）如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中
点，则（ ）A． B． C． D． 平面
【答案】C
【解析】如图，记正方体的另一个顶点为C，连接 ，交 于点O，
设 的中点为 ，连接 ，
因为Q，D为 的中点，则 ，
又因为 交于同一点 ，即 与 均不平行，故A，B错误；
对于选项D：若 平面 ，
且 平面 ，平面 平面 ，可得 ，
这与 与 不平行相矛盾，假设不成立，故D错误；
对于选项C：因为 为正方形，则 ，
且M，N为所在棱的中点，则 ，可得 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，可得 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，所以 ，故C正确；故选：C.
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）如图，在四棱锥 中， 平面
，且 是 的中点，点 分别在 上，且
．（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在 中，因为 ，所以 ，且 ，
在四边形 中， ， ，
四边形 是平行四边形， ，
又 平面 平面 ， 平面 ．
（2）作 交 于点 ，
平面 ，又 面 ，所以 ，
又 ， 面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ，
由 ，得到 ，
又 ，所以 ，
又 为 的中点， ，
．
【变式3-3】（2024·内蒙古包头·高三统考期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， 为棱 上的一点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ．
在底面 中，因为 ， ，
由 ，可得 ，
因为 ，即 ，所以在 中， ，故 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，
由 ， ，得 为等边三角形，所以 ．
在等边三角形 中， ，所以 ．
因为 ．
【变式3-4】（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）如图，梯形 是圆台 的轴截面，
， 分别在底面圆 ， 的圆周上， 为圆台的母线， ，若 ， ， ，
分别为 ， 的中点，且异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求圆台 的高.
【答案】（1）证明见解析；（2）6
【解析】（1）证明：由题意得 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 为 的中位线，所以 .
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，且 ，所以平面 平面 .
（2）（方法一）易知 ，以 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 轴、 轴，在底面圆 内过 作 的垂线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设圆台的高为 （ ），
则 ， ， ， ，
则 ， ，
由 ，解得 .
（方法二）设圆台的高为 （ ），连接 和 ，
因为点 和 分别为 和 的中点，故 为 的中位线，
所以 ，则 （或其补角）为异面直线 与 所成的角，
同理可得 ，则 ，
由（1）知 ，则 ， ，
由勾股定理可得 .
由 ， 为圆台的母线得， ，
则 为等边三角形，则 ，故 ，
则在 中，由余弦定理可得 ，
解得 .
【题型4 线线、线面、面面垂直证明】
满分技巧直线与平面垂直的判定方法
1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面；
2、利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个
平面垂直；
3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面；
4、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平
面；
5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平
面；
6、面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.
【例4】（2024·北京西城·高三北师大实验中学校考开学考试）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角
板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板 折起，使得二面角 为直二面角，得图2所
示四面体 .小明对四面体 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是（
）
A． 平面 B． 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】D
【解析】对于A，因为二面角 为直二面角，可得平面 平面 ，
又因为平面 平面 ， ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以A正确；
对于B，由 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
对于C，由 平面 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，故C正确；
对于D，因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
若平面 平面 ，且平面 平面 ，
可得 平面 ，又 平面 ，可得 ，
因为 与 不垂直，矛盾，所以平面 与平面 不垂直，故D错误.故选：D.
【变式4-1】（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知三棱锥 （如图一）的平面展
开图（如图二）中，四边形 为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥
中：（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点M在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求平面 与平面 所成锐二
面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，依题意， ， ， ，
则 ，即有 ，显然有 ，
而 平面 ， 平面 ，于是 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知， ， ， ，则 平面 ，
即 为直线 与平面 所成的角，且 ，
因此当 最短时， 最大， 最大，
而 ，则 为 的中点，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ；
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
显然平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
【变式4-2】（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）如图，在四棱柱 中，底面
和侧面 均是边长为2的正方形．
（1）证明： ．
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接 ，因为底面 和侧面 均为正方形，
所以四边形 为菱形，则 ．
由底面 和侧面 均为正方形，得 ， ．
因为 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
（2）因为 ， ，所以 ．
又 平面 ，所以 ．
， ，则 ．
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
则 ，解得 ，即点 到平面 的距离为 ．【变式4-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体 中，四边形 的对角线
交于点 ， 为等边三角形， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求五面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接EF，在 和 中， ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ≌ ，
则 为 的中点，所以 ．
在 中， ，又 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， ， ， ，
所以 平面
（2）取 的中点 ，连结 ，与 交于点 ，连结 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 所以 平面 ．
因为 ， 为等边三角形，
因为 ，所以
而 ，
在 中， ，
在等边 中，BF是AC的中线，CM是AB的中线，
所以G是等边 的重心，
所以在 中， ，
则四边形 的面积为 ．
故五面体的体积为 ．
【变式4-4】（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面
是等腰梯形， ， 是正三角形，已知 ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：分别作 的中点 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，且四边形 为等腰梯形，
可得 ，所以 ，
在等腰梯形 中，因为 ， ，
可得 ，所以 ，
因为 是正三角形， 是 中点，所以 ，又由 ，可知
又因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知， ，且 为 的中点，可得 ，
过 作 于 ，因为 ，则 为 的中点，
且 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离为 .【题型5 平行关系中的动点探究问题】
满分技巧
1、探索性问题的一般解题思路：先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件
一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存
在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．
2、探索性问题的答题步骤：第一步对“是否存在”给出作答，写出探求的最后结论；第二步探求结论的
正确性。
【例5】（2024·山东济宁·高三校考开学考试）如图，四棱锥 中， 是 的中点，四边形
为平行四边形，且 平面 ．
（1）试探究在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请确定 点的位置，并给予证
明；若不存在，请说明理由；
（2）若 ，且 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值．
【答案】（1）存在， 为 的中点，证明见解析；（2）
【解析】（1）在线段 上存在点 ，且 为 的中点，使得 //平面 .
证明如下：
取 得中点 ，连结 ， ， .
因为 为 的中点，所以 ∥ ，且 .
因为 为 的中点，且四边形 为平行四边形，所以 ∥ ，且 ，所以 ∥ ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 .
（2）因为 平面 ，且四边形 为平行四边形，所以 平面 .
因为 ，且 ，
所以 ， ， ， .
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
过 在平面 内与 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则 ， ， ，即 ， .
令平面 的法向量为 ，
则 ，即 .
取 ，则 ， ，即 .
因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
则 为平面 的一个法向量.
所以 .
所以平面 与平面 所成夹角的余弦值 .
【变式5-1】（2024·陕西·校联考一模）如图，在等腰梯形ABCD中，
面ABCD， 面ABCD， ，点P在线段EF上运动．（1）求证： ；
（2）是否存在点P，使得 平面ACE?若存在，试求点P的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）在等腰梯形ABCD中， ， ，
．
平面 ， 平面 ，
，又 ， 面 ，
平面 ，
平面 ， .
（2）在线段 上存在 ，使得 平面 ．
证明如下：由已知可得四边形 为矩形，连接 交 于 ，连接 ，
由（1）知在 中， ，则
当 时， 且 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
又 面AEC， 面AEC，所以 平面 ．
【变式5-2】（2023·北京·高二期中）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ，E
是PD的中点.（1）求证： ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若M是线段 上一动点，则线段 上是否存在点N，使 平面 ？说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析
【解析】（1）在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 ；
（2）如下图，取 为 中点，连接 ，由E是PD的中点，
所以 且 ，由（1）知 ，又 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，故 ，
而 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（3）取 中点N，连接 ， ，
因为E，N分别为 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
线段 存在点N，使得 平面 ，理由如下：
由（2）知： 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又M是 上的动点， 平面 ，
所以 平面 ，所以线段 存在点N，使得 平面 .
【变式5-3】（2023·河北承德·高三校联考期中）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
底面 是正方形，且 、 分别是 、 上靠近 的三等分点．（1）求证： ；
（2）在 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ＝ ，理由见解析
【解析】（1）因为四边形 是正方形，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）设 ，则 为正方形 的中心，
如图，连接 ，交 于点 ，连接 并延长交 于点 ．
若平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以
．
因为 、 分别是 、 上靠近 的三等分点，
所以 ，所以 ， ，
又 是 的中点，所以 ，
所以 ，所以 ．
故 上存在一点 ，使平面 平面 ，此时 的值为 ．
【变式5-4】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）在如图所示的五面体 中，共面， 是正三角形，四边形 为菱形， ， 平面 ， ，点
为 中点.
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
（2）当 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
【答案】（1）存在，理由见解析；（2） .
【解析】（1）在直线 上存在一点 ，使得平面 平面 ，理由如下：
取 的中点 ，连接 ，
由点 为 中点，得 ， 平面 ， 平面 ，则 平面
，
又 平面 , 平面 ，平面 平面 ，则 ,
四边形 是菱形，则 ，
于是四边形 是平行四边形，
则 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 .
（2）四边形 为菱形， ，则 为正三角形， ，
在 中， ，由余弦定理知 ，
取 中点 ，连接 ，而 是正三角形，则 ，
显然 ，即 ，
又 ，即直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ，
由 ，得 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 所成二面角为 ， ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
【题型6 垂直关系中的动点探究问题】
【例6】（2022·全国·模拟预测）如图1，在等边 中， 是 边上的高， 、 分别是 和
边的中点，现将 沿 翻折成使得平面 平面 ，如图2.
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且
【解析】（1）证明：如图1，在 中， 、 分别是 和 边的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 .（2）在线段 上取点 ，使 ，过点 在平面 内作 于点 ，连接 .
由题意得，平面 平面 .
因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， .
在 中，因为 ， ，所以 ，所以 ，
翻折前， 为等边三角形，则 ，
因为 为 的中点，所以， ，即 ，
翻折后，仍有 ，所以， ，故 ，
在 中， ，因为 ，则 .
又因为 ，则 平分 ，
因为 是 斜边上的中线，则 ，且 ，
所以， 是等边三角形，则 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
综上，在线段 上存在一点 ，且当 时， .
【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，
点M是正方体的中心，将四棱锥 绕直线 逆时针旋转 后，得到四棱锥
．
（1）若 ，求证：平面 平面 ；（2）是否存在 ，使得直线 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在 ，理由见解析
【解析】（1）证明：若 ，则平面 、平面 为同一个平面，
连接 ，则M是 中点， 是 中点，
故 是 的中位线，所以 ．
因为 ，所以平面四边形 是平行四边形，所以 ．
又 平面 平面 ，所以 平面
同理 平面 ，且 平面 平面 ，
所以，平面 平面 ．
（2）假设存在 ，使得直线 平面 ．
以C为原点，分别以 为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ，故 ．
设 是平面 的法向量，则 ，
所以 ，取 ，得 是平面 的一个法向量，
取 中点P， 中点Q，连接 ，
则 ．
于是 是二面角 的平面角， 是二面角 的平面角，
是二面角 的平面角，于是 ，
所以 ，且 平面 ，故 ，同理 ，
所以 ，
因为 ，
，
所以 ．
若直线 平面 ， 是平面 的一个法向量，则 ．
即存在 ，使得 ，则 ，此方程组无解，
所以，不存在 ，使得直线 平面 ．
【变式6-2】（2023·重庆·高三重庆八中校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
，三角形 为正三角形，且侧面 底面 . 分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）连接 交 于 点，连接 ，因为四边形 是菱形，所以点 为 的中点.
又因为 为 的中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .（2）设底面边长为2，连接 ，由于 为菱形，且 ，
故 ，
所以 ，故有 ，
又三角形 为正三角形， 为 中点，故 ，
又侧面 底面 ，平面 平面 ， 面 ，
所以 平面 ，
如图，以 为原点， 方向分别为 轴正半轴，建立空间直角坐标系.
则 ，
设 ，则 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，得到 ，
取 ，得 ， ，所以 ，
又平面 法向量可取为 ，
由题可知 ，即 ，解得 ，
故存在点 使得平面 平面 ， .
法二： 三角形 为正三角形， 是 的中点，
又侧面 底面 ，平面 平面 ， 面 ，
所以 平面 ，
连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 是 的中位线， ，
所以 平面 ，
延长 交 于 ，又 面 ，所以平面 平面 .
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
故存在点 ，使得平面 平面 ， .【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形 与梯形 所在平面互相垂直，已知
， ， ．
（1）求证： 平面 ．
（2）线段 上是否存在点M，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）证明：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理， 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故 .
而四边形 是正方形，所以 ，又 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系
.
设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，所以 .
若 与 重合，则平面 的一个法向量 ，则 ，则此时平面 与平面 不垂直.
若 与 不重合，如图：
设 ，则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
平面 平面 等价于 ，即 ，得 .
所以，线段 上存在点 使平面 平面 ，且 .
【变式6-4】（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面
是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的
结论；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且点 为棱 的中点
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ，
因为 为 的中点，则 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 .
（2）当点 为 的中点时，平面 平面 ，
因为四边形 为矩形，则 ，因为 ，则 ，
因为四边形 为菱形，则 ，
因为 ，则 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以，平面 平面 ，
因此，当点 为 的中点时，平面 平面 .
（建议用时：60分钟）
1．（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）已知 是空间中三条互不重合的直线， 是两
个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A． ，则 B． 且 ，则
C． ，则 D． ，则
【答案】B
【解析】A. 若 ，则 或 ，故错误；
B. 若 且 ，则 ，故正确；
C. 若 ，则 或 或 与 相交，故错误；
D. 若 ，则 或l与n异面，故错误.故选：B
2．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知 表示两条不同直线， 表示平面，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【解析】对于A中，由 ，则 相交或平行或异面，所以A错误；
对于B中，由 ，根据线面垂直的性质，可得 ，所以B正确；
对于C中，由 ，则 或 ，所以C错误；
对于D中，由 ，则 或 或 或 与 相交，所以D错误.故选：B.
3．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）如图，在正方体 中， 均为棱的中点，
现有下列4个结论：
①平面 平面 ；
②梯形 内存在一点 ，使得 平面 ；
③过 可作一个平面，使得 到这个平面的距离相等；
④梯形 的面积是 面积的3倍.
其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】令正方体 的棱长为2，连接 ， 交 分别于点 ，连接
，
显然矩形 是正方体 的对角面，则 ，
连接 ，由 分别为棱 的中点，
得 ， ，
于是 ，而 ，则四边形 是平行四边形，有 ，又 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，因此平面 平面 ，①正确；
取 的中点 ，连接 交 分别于 ，有 ，
则 ∽ ， ，
于是 ，即 ，
而 ，则 ，
A B C D
又 平面 平面 1 1 1 1，
因此 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，而 平面 ，
于是 平面 ，显然点 在线段 上，在梯形 内，②正确；
连接 ，显然 ，即四边形 是平行四边形， ，
因此过 可作一个平面，使得 平行于这个平面，点 到这个平面的距离相等，③正确；
，且有 ，
， ，④正确，
所以正确命题的个数是4.故选：A
4．（2023·上海金山·统考一模）如图，在正方体 中，E、F为正方体内（含边界）不重合
的两个动点，下列结论错误的是（ ）．
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则平面 平面
C．若 ， ，则 面
D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】如图所示，对于选项A，易知 ， 底面 ， 底面 ，所以
，又 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，故A正确；
对于选项B，易知 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，显然平面 即平面 ，故B正确；
如上图所示，对于C项，由正方体的特征可知 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
显然 平面 ，所以平面 平面 ，
由 平面 可得 平面 ，故C正确；
对于D项，显然 时， 与 不平行，故D不正确.故选：D
5．（2024·云南大理·统考模拟预测）（多选）如图所示，在平行六面体 中， 为正方形
的中心， 分别为线段 的中点，下列结论正确的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面
C．直线 与平面 所成的角为 D．
【答案】BCD
【解析】对于 ，若 平面 ，因为 ，则 平面 ，或 平面 ，而 和平面 相交，故A错；
对于B，因为 分别为线段 的中点，
所以 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 分别为线段 的中点，所以 平面 平面 ，
所以 平面 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，故B正确；
对于C，由于 ，且 ，故 ，
而 ，故 平面 ，
而 ，故 与平面 所成的角即为 与平面 所成的角，
又AB与AO夹角为 ，即直线 与平面 所成的角为 ，故 正确；
对于D，设 ，则 ，
显然 ，故 ，由 ，所以 ，
而 ，所以 ，故D正确.故选：BCD.
6．（2024·湖南长沙·统考一模）（多选）在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线
为平面 与平面 的交线，则（ ）
A．存在点 ，使得 面
B．存在点 ，使得 面
C．当点 不是 的中点时，都有 面
D．当点 不是 的中点时，都有 面
【答案】ACD
【解析】当点 与 点重合时，由 ，而 面 ， 面 ，可知 面 ，即A正确.
若 面 ，注意到 面 ，则 ，
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
，
所以 ，与 矛盾，即B错误.
当 不是 的中点时，由 ，且 面 ， 面 ，可知 面 ，
又直线 为面 与面 的交线，则 ，
又 面 ， 面 ，从而可得 面 ，即C正确.
同上，有 ，又 面 ， 面 ，所以 ，
又 面 ，
所以 面 ，则 面 ，即D正确.故选：ACD.
7．（2023·广东广州·高三广州市天河中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中， 是正
方形， 平面 ， 分别是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 分别是线段 的中点，则 ，
又因为 为正方形，则 ，可知 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 分别是线段 的中点，则 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 ， 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 平面 ， 平面 ，则 ，又因为 是正方形，则 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 .
8．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）如图，已知四边形 为菱形， 平面
， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为四边形 为菱形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， 平面 ，所以平面BCF//平面 .
（2）设 交 于点O，取 中点H，连接 ，所以 ， 底面 .
以 为原点，以 ， ， 分别为x轴，y轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ， ， ， ， ， .
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ；
， ；
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，得 .
因为平面 平面 ，所以 ，解得 ，故 的长为1.
9．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形 和 的组合
图，将直角梯形 沿底边 翻折，得到图2所示的几何体.已知 ，
,点 在线段 上，且 在几何体 中，解决下面问题.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接 与 相交于 ,连接 ，
由于 ，且 ,所以 ,
又 ,所以 ,
平面 , 平面 ,所以 平面 ，
（2）过 作 交 于 ，
由于平面 平面 ，且两平面交线为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ,故 ，
又四边形 为直角梯形，故 ,
是平面 内的两相交直线，所以 平面 ，
平面 ，故 .10．（2023·广东中山·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面
平面 ， ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）如图，连接BD和AC交于点O，连接OF，
为正方形， 为BD的中点，
为DE的中点， ，
平面ACF， 平面ACF， 平面ACF．
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，且
， 平面 ，
所以 平面CDE，
平面CDE， ，
为正方形， ，
，AD， 平面DAE， 平面DAE，
平面DAE， ．
11．（2024·河南安阳·高三安阳一中校考期末）如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, ,
三角形 为正三角形,且侧面 底面 . 分别为线段 , 的中点.
（1）求证: 平面 ;
（2）在棱 上是否存在点 ,使平面 平面 ,请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析
【解析】（1）连接 交 于 点，连接 ，
因为四边形 是菱形，所以点 为 的中点.
又因为 为 的中点，所以 .
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .（2）在棱 上存在点 为 的中点时，平面 平面 .
证明:连接 .
因为 为正三角形， 为 的中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 平面 .
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 是菱形， 为 的中点，
所以 是正三角形， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ，
因为 是菱形， ，所以 是正三角形.
又因为 为 的中点，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
12．（2023·山东滨州·高三统考期中）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平
面 ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在 为 中点，理由见解析
【解析】（1）因为 为 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
因此 ．
（2）由（1）知， 平面 ， 平面 ，所以 ．在矩形 中， ，
又因为 ， 平面 ,所以 平面 ．
平面 ，所以 ．
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（3）存在 为 中点时， 平面 ．
证明：取 中点为 ，连接 ，
因为 为 中点， ，且 ．
在矩形 中， 为 中点，所以 ，且 ．
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
因此 ，又因为 面 面 ，
所以 面 ．
