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重难点 7-1 圆的最值与范围问题
与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相
关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。
【题型1 圆上一点到定点的最值范围】
满分技巧
圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最
C P C r P
小值。已知圆 及圆外一定点 ，设圆 的半径为 ，则圆上点到 点距离的最小值为
PM PC r PN PC r
PC M PC N PC
，最大值为 ，即连结 并延长， 为 与圆的交点， 为 延
长线与圆的交点.
【例1】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知 是圆 上的动点，点 满足
，点 ，则 的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【变式1-1】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满
足 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数 满足： ，则 的最大
值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式1-3】（2023·上海·高三市实验学校校考阶段练习）若点 在圆 上运动，
为 的中点． 点在圆 上运动，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-4】（2024·重庆·统考一模）过点 作圆 的两条切线，切点分别为
，若 为直角三角形， 为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 圆上一点到直线的最值范围】
满分技巧
C l
圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆 和圆外的一条直线 ，则圆上点到直线距离的最小值为
PM d r PN d r
Cl ，距离的最大值为 Cl （过圆心 C 作 l 的垂线，垂足为 P ， CP 与圆 C 交于
M C N
，其反向延长线交圆 于
【例2】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知直线 和圆 ，则圆 上
的点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-1】（2024·广东湛江·统考一模）已知点P为直线 上的动点，过P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆 上的动点，则点M到直线AB的距离的
最大值为 ．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）圆 上到直线 的距离等于1的点
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知点 为直线 上的动点，平面内
的动点 到两定点 ， 的距离分别为 和 ，且 ，则点 和点 距离的最小
值为 ．
【变式2-4】（2024·广东茂名·统考一模）动点 与两个定点 ， 满足 ，则点 到
直线 ： 的距离的最大值为 .
【题型3 过圆内定点的最值范围】
满分技巧
C P P
过圆内定点的弦长最值：已知圆 及圆内一定点 ，则过 点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径
MN
垂直的弦 .
【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中学校考期末）设直线 与圆 交
于 ， 两点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）直线 被圆 所截得的弦
长的最小值为 .【变式3-2】（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知圆C: ，
直线 ： ，直线 被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式3-3】（2023·河南·高三统考阶段练习）过圆 内点 有若干条弦，它们的长度构成公
差为d的等差数列 ，且 ，其中 分别为过点 的圆的最短弦长和最长弦长，则 的取值
集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆 ，直线
，当圆 被直线 截得的弦长最短时，直线 的方程为 .
【题型4 圆的切线长的最值范围】
满分技巧
切线长度的最值求法
1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
PM
C l l
已知圆 和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆的切线，切线长的最小值为 .
l
M
C
P
【例4】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知点 为直线 上的一点，过点 作圆
的切线 ，切点为 ，则切线长 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C： 的切线，切点为Q，则 的最小值为 ．
【变式4-2】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知动点 到两个定点 ， 的距离之比为 ，
过点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知点 是抛物线 ： 上的动点，过点 作圆 ：
的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
【变式4-4】（2023·浙江·模拟预测）已知圆 和点 ，由圆外一点 向圆 引切线，切点
分别为 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 距离和差的最值范围】
满分技巧
圆中的距离和差问题可借助圆的几何特性进行举例转化，有时需结合对称性及三点共线距离最短的性质
求解最值。
【例5】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知 为直线 上一点，过点 作圆
的切线 （ 点为切点）， 为圆 上一动点． 则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·江西·高三校联考期末）已知A为圆C： 上的动点，B为圆E：
上的动点，P为直线 上的动点，则 的最大值为 .【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知点 ，点O是坐标原点，点Q是圆
上的动点，则 的最大值为 .
【变式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐标系 中，点
，若点 满足 ，则 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知圆O： 和点 ，
点 ，M为圆O上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 与角度有关的最值范围】
满分技巧
与角度有关的最值范围问题的处理方法：利用三角函数定义，将三角函数值转化为边的比值，观察线段
之间的关系再进行处理。
【例6】（2024·全国·模拟预测）设点 是圆 上的动点，过点 与圆
相切的两条直线的夹角为 ，则 的最大值为 ．
【变式6-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知 为抛物线 上一点，过 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系 中，设 ， ，
，动点 满足 ，则 最大值为（ ）
A． B． C． D．【变式6-3】（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知圆 ： 与直线
： （ ），过 上任意一点 向圆 引切线，切点为 ， ，若 的最小值为
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）在 中，已知D为边BC上一点，
， ．若 的最大值为2，则常数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 代数式几何意义的最值范围】
满分技巧
利用代数法的几何意义求最值
yb
y
xa (x,y) (a,b)
1、形如 的最值问题，可以转化为过点 和点 的动直线斜率的最值问题；
z (xa)2 (yb)2 (x,y) (a,b)
2、形如 的最值问题，可以转化为点 和点 距离的平方的最值问题；
z axby
3、形如 的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题
【例7】（2023·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）若点 是圆 :
上一点,则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式7-1】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知平面四边形 中，点
，坐标平面内的点 满足 ，则 的取值范围是
【变式7-2】（2023·四川凉山·统考一模）已知 是曲线 上的点，则 的取值
范围是 .【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足方程 ，则 的最
大值为 ； 的最大值为 ．
【变式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知直线 交圆 于
两点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
【题型8 圆中面积的最值范围】
满分技巧
与圆有关的面积最值问题一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最
值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解。
【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，
点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·广东广州·高三玉岩中学校考开学考试）已知点 是直线 上的一点，
过点P作圆 的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）设点P是圆 上的动点，过点P作圆
的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为 .
【变式8-3】（2024·山西吕梁·统考一模）已知圆 ，点 为直线 上的动
点，以 为直径的圆与圆 相交于 两点，则四边形 面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式8-4】（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，已知圆 ： ，圆 ：
，过直角坐标原点 作直线 分别交两圆于 过点 作直线 分别交两圆于 ，连接，则四边形 面积的最大值为
（建议用时：60分钟）
1．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知 是圆 上一点， 是圆 上
一点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中， ， ， ，若动点P
满足 ，则 的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
3．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知点 ，点 是圆 上的
动点，点 是圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）已知圆 上有一动点P，圆
上有一动点Q，直线 上有一动点M，直线 与圆 相切，直线
与圆 相切，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．（2022·四川广安·高三岳池中学校考阶段练习）已知点 是圆 上任意一点，
，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是 D． 的最大值是
6．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为A，B，点 在圆 上，则点 到直线 距离的最大值为（ ）A． B． C． D．
7．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）（多选）已知 ，点 到直线 ： 的垂足为 ，
， ，则（ ）
A．直线 过定点 B．点 到直线 的最大距离为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
8．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）（多选）已知圆的圆心在直线 上，且与
相切于点 ，过点 作圆的两条互相垂直的弦 ， .记线段 ， 的中
点分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为 B．四边形 面积的最大值为
C．弦 的长度的取值范围为 D．直线 恒过定点
9．（2023·湖北荆州·湖北省松滋市第一中学校考模拟预测）（多选）已知圆 ： ，直
线 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点 B．直线 被圆 截得的弦最长时，
C．直线 被圆 截得的弦最短时， D．直线 被圆 截得的弦最短弦长为
10．（2024·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知半径为 的圆C经过点 ，则圆心C到
直线 的距离的最大值为 ．
11．（2024·河北邢台·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 满足 ，
点 在直线 上，则 的最小值为 ．
12．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知直线 与圆 交于 两
点，则 的取值范围是 ．
13．（2023·四川德阳·统考一模）已知实数 成公差非零的等差数列，集合 ，
，若 ，则 的最大值为 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C： ，则当圆C的面积最小
时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ．
15．（2023·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A、B，满足 的点P
的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆
的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗
点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数 只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已
知 ， ， ，若动点P满足 ，则 的最小值是 ．
