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热点 5-1 等差数列的通项及前 n 项和
主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数
列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道
选择题和一道解答题。
【题型1 等差数列的基本量计算】
满分技巧
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，
1 n n
体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d是等差数列的两个基本量，
1
用它们表示已知量和未知量是常用方法．
【例1】（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列 的前 项和 ，若 ， ，则
（ ）
A．63 B．51 C．45 D．27
【变式1-1】（2023·全国·高三校联考期中）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
的公差为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）已知数列 是等差数列， 是其前
项和.若 ， ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．【变式1-3】（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若
， ，则 .
【题型2 等差数列性质的应用】
满分技巧
1、在等差数列{a}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
n
还可变形为a ＝a＋(m－n)d.
m n
2、等差数列{a}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
n
3、等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q，则a＋a ＝a＋a(n，m，p，q∈N*)，
n n m p q
特别地，若m＋n＝2p，则a＋a ＝2a.
n m p
【例2】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，则 （
）
A．60 B．120 C．180 D．240
【变式2-1】（2023·山东济宁·高三统考期中）设等差数列 的前n项和为 ，已知 ，
，则 （ ）．
A．32 B．64 C．80 D．128
【变式2-2】（2023·上海·高三校考期中）已知数列 是等差数列，
，则 .
【变式2-3】（2023·河南·高三校联考期中）（多选）记等差数列 的前n项和为 ，则根据下列条件能
够确定 的值的是（ ）
A． B． C． ， D． ，
【题型3 等差数列的单调性及应用】
满分技巧
当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且一次项系数为
公差 .若公差 ，则为递增数列，若公差 ，则为递减数列．
【例3】（2022·广东惠州·统考一模）设等差数列 的公差为d，若 ，则“ ”是“ （）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若等差数列 的前 项和为 ，且满足
，对任意正整数 ，都有 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二校考阶段练习）（多选）设等差数列 的前n项和为 ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递减数列 B． C．当 时， D．
【变式3-3】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）（多选）若数列 是等差数列，公差 ，则下列
对数列 的判断正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是递减数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若 ，则数列 是公差为d的等差数列
D．若 ，则数列 是公差为 的等差数列
【题型4 等差数列前n项和性质应用】
满分技巧
1、等差数列的依次k项之和，S，S －S，S －S ，…组成公差为k2d的等差数列．
k 2k k 3k 2k
2、数列{a}是等差数列⇔S＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
n n
3、若S 表示奇数项的和，S 表示偶数项的和，公差为d，
奇 偶 ⇔
①当项数为偶数2n时，S －S ＝nd，＝；
偶 奇
②当项数为奇数2n－1时，S －S ＝a，＝.
奇 偶 n
【例4】（2024·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．【变式4-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列 、 的前 项和分别为
与 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·海南·校联考模拟预测）等差数列 前 项和分别为 ，且 ，则
.
【变式4-3】（2023·安徽安庆·高三安徽省太湖中学校考阶段练习）（多选）已知 为数列 的前 和，
下列说法正确的是（ ）
A．若数列 为等差数列，则 ， ， 为等差数列
B．若 为等比数列，则 ， ， 为等比数列
C．若 为等差数列，则 ， ， 为等差数列
D．若 为等比数列，则 ， ， 为等比数列
【题型5 等差数列前n项和的最值问题】
满分技巧
1、二次函数法： 将S＝na＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，
n 1
但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a>0，d<0，时，S 取得最大值；当a<0，d>0，时，S 取得最小值．
1 n 1 n
特别地，若a>0，d>0，则S 是{S}的最小值；若a<0，d<0，则S 是{S}的最大值．
1 1 n 1 1 n
【例5】（2023·贵州·高三贵阳一中校考阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，且 ，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·黑龙江·高三省实验中学校考阶段练习）等差数列 的前n项和为
则 的最大值为（ ）
A．60 B．45 C．30 D．15【变式5-2】（2023·江苏无锡·高三江阴市第一中学校考阶段练习）（多选）递增等差数列 ，满足
，前n项和为 ，下列选项正确的是（ ）
A． B． C．当 时 最小 D． 时n的最小值为8
【变式5-3】（2023·河北石家庄·高三新乐市第一中学校考开学考试）（多选）已知等差数列 ，其前n
项和为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．使 的 的最大值为 C．公差 D．当 时 最大
【题型6 含绝对值的等差数列求和】
【例6】（2023·上海·高三校考期中）在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成
等比数列．
（1）求 ， ；
（2）若 ， ，求 ．
【变式6-1】（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，
且 .
（1）求数列 的通项公式与前 项和 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【变式6-2】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式
（2）若 ，求 的前 项和 .
【变式6-3】（2023·重庆·万州第三中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值.
【题型7 等差数列的判定与证明】满分技巧
1、定义法： 或 是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足 ；
3、等差中项法： 为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列；
5、前n项和公式法： 为常数 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【例7】（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）已知公比大于1的等比数列 满足： ，
．
（1）求 的通项公式；
（2）记数列 的前n项和为 ，若 ， ，证明： 是等差数列．
【变式7-1】（2023·黑龙江·高三佳木斯一中校考阶段练习）已知数列 的首项为 ，前 项和为 ．已
知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值及取到最小值时 的值．
【变式7-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）设数列 的各项都为正数，且 ．
（1）证明数列 为等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【变式7-3】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，满
足 .
（1）证明：数列 为等差数列；（2）设数列 ，求数列 前 项和 的值．
【题型8 等差数列的实际应用】
【例8】（2023·海南海口·校联考一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．
某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的
收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（
）
A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元
【变式8-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模） 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至 年
月底， 地区已经累计开通 基站 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 网络建设．
已知 年 月该地区计划新建 个 基站，以后每个月比上一个月多建 个，则 地区到 年
月底累计开通 基站的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·江西·校联考模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.
十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”
重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【变式8-3】（2022·江苏南通·高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段
叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；
驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列 的前 项和 ，若 ， ，则 （
）
A．18 B．27 C．45 D．632．（2023·重庆渝中·高三统考期中）已知数列 均为等差数列，且 ，设数列
前 项的和为 ，则 （ ）
A．84 B．540 C．780 D．920
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
4．（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）若等差数列 和等比数列 满足 ，
， ，则 的公差为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·海南·高三海南中学校考阶段练习）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，且
，则 的值等于（ ）
A． B． C．2023 D．2024
6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知数列 满足： ，且 .若
恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）设等差数列 的前 项和为 ，已知
， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·黑龙江·高三大兴安岭实验中学校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．45 B．60 C．160 D．80
9．（2023·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，
成等差数列，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
10．（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）已知 为等比数列， 是它的前n项和，若
，且 与 的等差中项为 ，则S 等于（ ）
5
A． B． C． D．
11．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）（多选）已知 是等差数列 的前n项和，且
， ，则下列选项正确的是（ ）
A．数列 为递减数列 B． C． 的最大值为 D．12．（2023·河南·高三校联考阶段练习）（多选）已知各项都是实数的数列 的前 项和为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是递减数列
B．若 ，则数列 无最大值
C．若数列 为等比数列，则 为等比数列
D．若数列 为等差数列，则 为等差数列
13．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．数列 是递增数列
C．数列 的最小项为 和 D．满足 的最大正整数
14．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，存在 ， ，使得数列 是等差数列
B．当 时，存在 ， ，使得数列 是等比数列
C．当 时，存在 ， ，使得数列 是等差数列
D．当 时，存在 ， ，使得数列 是等比数列
15．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的最小值.
16．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在等差数列 中，已知公差 ， ，且 ， ，
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求 的值.
