文档内容
专题 03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：构造法...................................................2
题型二：倒数法...................................................5
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练............................8
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
n+1 n
p
（其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而
a +m=k(a +m) k−1 {a +m} {a +m}
n+1 n n n
{a }
求出数列 的通项公式.
n
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，kp≠0）
n+1 n
类型2：用“同除法”构造等差数列
a a
（1）形如 a =qa+p⋅qn+1 (n∈N¿) ，可通过两边同除 qn+1，将它转化为 q n n + + 1 1 = q n n +p，从而构造数列
n+1 n
{a } {a }
n n
为等差数列，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
qn qn {a }
n
（2）形如 ，可通过两边同除 ，将它转化为 ，换元令：
qn+1
，则原式化为： ，先利用构造法类型1求出 ，再求出 的通项公式.
{a }
n
1 1
（3）形如 的数列，可通过两边同除以 ，变形为 − =−k 的形式，从而
a −a =ka a (k≠0) a a a a
n n+1 n+1 n n+1 n n+1 n{1 } {1 }
构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，便可求得 的通项公式.
a a {a }
n n n
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形为
n+1 pa+q
p,q
pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
= + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，即可求得 .
a a q a a q a a a
n+1 n n+1 n n n n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两边取“倒”，
p,q
变形为 ，可通过换元： ，化简为： （此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
n+1 n
p
法”将原等式变形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n
{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
例题1．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列 中， ，则数列
的通项 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解法一：在递推公式 的两边同时除以 ，得 ①，
令 ，则①式变为 ，即 ，
所以数列 是等比数列，其首项为 ，公比为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
解法二：设 ，则 ，
与 比较可得 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ，所以 ，
故选：D
例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足
， ，则（ ）
A． B． C．数列 为等差数列 D． 为等比数列
【答案】ABC
【详解】由 得 ，两式相减得 ，
，
又当 时， ，则 ，故 为首项是1，公差为 的等差数列，
即 .
显然A、C正确；
，故B正确；
由通项公式易得 ， ， ，三者不成等比数列，故D错误．
故选：ABC．
例题3．（2023春·山东淄博·高二校考期中）已知 数列满足 ， ，则数列 的通
项公式为
【答案】
【详解】由 得 ，故 为等差数列，公差为1，首项为1，
所以
所以 .
故答案为：
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的前 项和
为 ．
【答案】
【详解】解：因为 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，则 ，
令数列 的前 项和为 ，
则
故答案为：
例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且 ，求 .
【答案】
【详解】由 ，得 ，
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 ，即 .
当 时， ，此式也满足 ，
故 .
例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列 的前n项和为 ，
．
(1)求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．【答案】(1)证明见解析，
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，则 ，
整理得 ，故 ， ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ．所以
例题7．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由于 ，故 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，可得 ，
所以数列 是一个首项为1，公比为2的一个等比数列；
例题8．（2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列 满足 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）数列 中， ，由 ，可得
又 ，则数列 是首项为1公差为1的等差数列，则 ，
则数列 的通项公式为
题型二：倒数法
例题1．（多选）（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列 满足 ，则（ ）
A． 为等比数列
B． 的通项公式为
C． 为单调递减数列
D． 的前n项和
【答案】BCD
【详解】因为 ，所以 是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；
，即 ，故选项B正确；
根据函数 在 上单调递增，且 ，则函数 在 上单调递减，
又因为 ， ，则数列 为单调递减数列，故选项C正确；
的前 项和 ，故选项D正确,
故选：BCD.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】
【详解】设 ，令 得： ，解得： ；
，化简得， ，
所以 ，从而 ，
故 ，
又 ，所以 是首项和公差均为 的等差数列，
从而 ，故 ．故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通
项公式．
【答案】
【详解】令 ．先求出数列的不动点 ，解得 ．
将不动点 代入递推公式，得 ，
整理得 ， ，
∴ ．
令 ，则 ， ．
∴数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列．
∴ 的通项公式为 ．
将 代入，得 ．
∴ ．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
【答案】 ．
【详解】由题意，
，
所以 ，则 ，而 ，
故 是以 为首项，3为公比的等比数列．于是 ．
例题5．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列 的首项 ， ， .
(1)设 ，求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
取倒得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 是 ， 的等比数列，
所以 ．
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， .
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：假设 ，因 ， ，则 ，解得 或 ，
于是得 或 ，与题设 且 矛盾，故假设不成立，所以 成立.
7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 为等比数列：
【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：由 ，可得 ，
又
故数列 为等比数列.
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，而 ，
故 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，即 .
故选：D
二、填空题
2．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列 满足 ，
，则满足 的最小正整数 ．
【答案】5
【详解】由 ，解得 ，
又 ，所以 ．
另一方面由 ，可得 ，
所以 是首项为 ，公比为3的等比数列，
所以 ，易知 是递增数列，
又 ， ，
所以满足 的最小正整数 ．故答案为：5．
3．（2023·全国·高三对口高考）数列 中， ， ，则 ．
【答案】
【详解】由 ， ，可得 ，
所以 ，即 (定值)，
故数列 以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列 中， ， ，则此数列
的通项公式 .
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 .
故答案为：
5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为
.
【答案】 ．
【详解】∵ ，所以 ，即 ，
∴ 是等差数列，而 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
6．（2023·全国·高二专题练习）设 为数列 的前 项和，已知 ， ，则
【答案】
【详解】 ，
令 ，
则 ，
∴又 ， ，
∴ ；
故答案为： ；
三、解答题
7．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列 满足： 求通项 .
【答案】
【详解】取倒数： ，故 是等差数列，首项为 ，公差为2，
，
∴ .
8．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知： ， 时， ，求 的通项公式．
【答案】
【详解】设 所以
， ，∴ ，解得： ，
又 ∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
，
∴ ∴
， ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， .若 ，求数列 的
通项公式.
【答案】
【详解】将 代入已知可得 .
因为 ，所以 ，
所以有 ，所以 .
又 ，
所以，数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以， ，
所以， .
10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 中， ，求数列 的通项公
式；
【答案】 ．
【详解】解：由 ，
得： ，
∴ ，
即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，∴ ，
得 ．
11．（2023秋·江苏·高二专题练习）设 是数列 的前n项和，且 ， ．
(1)求 ；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
两边同除以 得 ，
因为 ，所以 ，
因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 .
12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为
(1)试求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意 ，两边同时除以 ，将其变形为 ，即 ，
由等差数列的定义可知 是以首项为 、公差为 的等差数列，
所以 ，即 .
13．（2023春·海南儋州·高二校考阶段练习）已知数列 的首项， ， .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是以 为公比， 为首项的等比数列，
所以 ，得 ，
所以 ，
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， ， ．
(1)求证：数列 是等差数列．
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴
，
∴ 是首项为 ，公差为 的等差数列；
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .求数列 的通项公
式；
【答案】
【详解】由 两边取倒数，得 ，所以 ，
又 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 ，即 ，
所以 .
16．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为 ，令 ，则 ，又 ，所以 .
对 两边同时除以 ，得 ，
又因为 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，故 ；
四、双空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 ， ，则
；若 ， ，则 .
【答案】 85
【详解】解：因为 ，当 ， 时 ，所以
， ， ；
当 ， 时 ，则 ，又 ，所
以 ，即
故答案为： ； ；
